FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE – GONIOMETRIA

Nella goniometria le formule di addizione e sottrazione permettono di riscrivere le funzioni goniometriche associate ad una somma oppure una differenza di angoli.

Le formule di addizione e sottrazione che vediamo in questo articolo si riferiscono a seno, coseno e tangente.

Per il caso del seno abbiamo:

$$ \begin{array}{l} \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\cos\beta \\ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\cos\beta \end{array}$$

Nel caso del coseno abbiamo:

$$ \begin{array}{l} \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cos\beta \\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\cos\beta \end{array}$$

Mentre per la tangente 

$$ \begin{array}{l} \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{array}$$

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO

Dalla formula di sottrazione del coseno derivano tutte le formule di addizione e di sottrazione per le altre funzioni goniometriche.

Quindi scriviamo la sua dimostrazione.

Cominciamo con il considerare due angoli 𝛼 e 𝛽 come in figura.

L’angolo 𝛼 è l’arco AP, mentre 𝛽 è l’arco AQ.

L’arco PQ identifica dunque l’angolo differenza 𝛼–𝛽

Sempre dal punto A tracciamo l’arco AB congruente a PQ dunque con ampiezza 𝛼–𝛽

I punti che abbiamo a disposizione sono 

$$\begin{array}{l} A(0,1)& B(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta))\\P(\cos\alpha,\sin\alpha)&Q(\cos\beta,\sin\beta) \end{array}$$

Dalla congruenza dei triangoli AOB e POQ  per il primo criterio di congruenza possiamo eguagliare i segmenti AB e PQ.

$$ AB=PQ$$

Dunque applicando la formula della distanza tra due punti 

$$ \sqrt{(\cos(\alpha-\beta)-1)^2+(\sin(\alpha-\beta))^2}= \sqrt{(\cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\beta-\sin\alpha)^2}$$

Eleviamo ambo i membri al quadrato 

$$ (\cos(\alpha-\beta)-1)^2+(\sin(\alpha-\beta))^2= (\cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\beta-\sin\alpha)^2$$

Siccome i ciacoli sono un po’ lunghi sviluppiamo separatamente i membri dell’equazione:

MEMBRO 1

$$ (\cos(\alpha-\beta)-1)^2+(\sin(\alpha-\beta))^2 = \\ \cos^2(\alpha-\beta)+1-2\cos(\alpha-\beta)+\sin^2(alpha-\beta)=$$

Per la relazione fondamentale della trigonometria la somma dei quadrati del seno e coseno dello stesso angolo vale 1 dunque il membro di sinistra diventa

$$ \begin{array}{l} (\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta))+1-2\cos(\alpha-\beta)= \\ 1+1-2\cos(\alpha-\beta)=\\ 2-2\cos(\alpha-\beta)=\\ 2(1-\cos(\alpha-\beta)) \end{array}$$

MEMBRO 2

Sviluppiamo i calcoli del membro di destra

$$ (\cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\beta-\sin\alpha)^2=\\ \cos^2\beta+\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\sin^2\beta+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta $$

Ancora una volta sfruttiamo la relazione fondamentale

$$ \begin{array}{l} (\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta=\\ 1+1-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta=\\ 2(1-\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) \end{array} $$

Adesso eguagliamo i due membri

$$ 2(1-\cos(\alpha-\beta)) = 2(1-\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)$$

Dividiamo per due e semplifichiamo gli 1 cambiando i segni.

Otteniamo proprio la formula per il coseno della differenza di angoli

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\cos\beta$$

Adesso che siamo in possesso di un risultato così incredibile possiamo trasferire questa unica informazione per ricavare tutte le altre formule di addizione e sottrazione.

FORMULE DI ADDIZIONE DEL COSENO

Partiamo ora dal risultato precedente per ricavare a formula di addizione del coseno.

$$\cos(\alpha+\beta)=$$

Ci basterà sostituire nella formula di sottrazione al posto dell’angolo 𝛽 il suo opposto ovvero –𝛽

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\left(\alpha-(-\beta)\right)=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)$$

Per la teoria degli angoli associati ad un angolo opposto sappiamo che il coseno non cambia di segno mentre il seno cambia infatti

$$\cos(-\beta)=\cos\beta \quad \sin(-\beta)=-\sin\beta $$

Dunque possiamo scrivere

$$\cos(\alpha+\beta)= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha(-\sin\beta)$$

Ecco che abbiamo ottenuto la nostra formula di addizione per il coseno

$$\cos(\alpha+\beta)= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

FORMULE DI ADDIZIONE DEL SENO

Passiamo ora alla formula di addizione del seno.

Ricordiamo che per la teoria degli angoli associati il coseno di π/2-𝜃  seno è uguale al seno  di 𝜃 e viceversa

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta$$

Inserendo nella formula di addizione del coseno al posto dell’angolo 𝛼+𝛽 l’angolo π/2-𝛼–𝛽

$$\sin(\alpha+\beta)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)$$

Usiamo a questo punto i risultati della formula di sottrazione del coseno con questi nuovi dati

$$ \cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right) =\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta$$

Per le relazioni degli angoli associati abbiamo che:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha \quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Dunque la formula diventa:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta$$

FORMULA DI SOTTRAZIONE PER IL SENO

Andiamo a ricavare la formula di sottrazione per il seno usando il metodo di sostituzione.

Ripartendo dal risultato precedente sostituiamo al posto dell’angolo 𝛽 il suo opposto

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\left(\alpha+(-\beta)\right)=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)$$

Per le relazioni degli angoli associati ad un angolo opposto sappiamo che il coseno non cambia di segno mentre il seno cambia infatti

$$\cos(-\beta)=\cos\beta \quad \sin(-\beta)=-\sin\beta$$

Dunque possiamo scrivere in maniera definitiva la formula di sottrazione per il seno

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta$$

Riepiloghiamo brevemente i risultati fino a qui trovati

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE PER LA TANGENTE

Passiamo ora alla formula di addizione per la tangente

Sappiamo che la tangente è il rapporto tra il seno e il coseno:

$$ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

In modo analogo la tangente di una somma di angoli è data da

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$$

Esplicitiamo le formule di addizione per il seno e per il coseno

$$\tan(\alpha+\beta)= \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$$

Ora usiamo questo stratagemma, ovvero dividiamo sia il numeratore che il denominatore  per il prodotto dei coseni di alfa e beta

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} – \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$$

In questo modo perveniamo alla nota formula di addizione per la tangente:

$$\tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} $$

Ecco la nostra relazione.

FORMULA DI SOTTRAZIONE PER LA TANGENTE 

Per ricavare la formula di sottrazione per la tangente ci basta sostituire al posto dell’angolo 𝛽 il suo opposto

$$\tan(\alpha-\beta)= \tan(\alpha+(-\beta))=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)} $$

Dalla teoria degli angoli associati sappiamo che tangente di un angolo opposto cambia di segno

$$\tan(-\beta)=-\tan\beta$$

Arriviamo dunque alla relazione:

$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

RIEPILOGO DELLE FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Facciamo ancora un breve riepilogo sui risultati che abbiamo trovato

UTILITA’ DELLE FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Grazie alle formule di addizione e sottrazione possiamo:

• Calcolare valori di seno, coseno e tangente sconosciuti
• semplificare espressioni in apparenza ostiche
• Risolvere problemi con i triangoli
• Risolvere più agevolmente alcuni tipi di equazione
• Riscrivere meglio alcune funzioni
• Calcolare la derivata di funzioni goniometriche

CALCOLARE SENO, COSENO E TANGENTI SCONOSCIUTI

Supponiamo di voler calcolare i valori di seno, coseno e tangente di 75 gradi e di 15 gradi.

Consideriamo il fatto che 75 gradi possono essere visto come la somma di 45 gradi e 30 gradi che sono angoli noti.

Mentre 15 gradi è è pari alla differenza di questi due angoli

Elenchiamo dunque le caratteristiche di questi angoli nel seguente modo:

$$ \alpha\ (\cos\alpha,\sin\alpha,\tan\alpha)$$

Dunque avremo

$$ 45^o\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right) \quad 30^o\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

Partiamo dall’angolo somma di 75 gradi e applichiamo le formule di addizione.

$$ \begin{array}{l} \cos(75^o)=\cos(45^o+30^o)=\cos45^0\cos30^o-\sin45^o\sin30^o\\ \cos(75^o)= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6} \\ \ \\ \sin(75^o)=\sin(45^o+30^o)=\sin45^o\cos30^o+\cos45^o\sin30^o\\ \sin(75^o)= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6} \\ \ \\ \tan(75^o)=\tan(45^o+30^o)=\frac{\tan 45^o+\tan30^o}{1-\tan45^o\tan30^o} \\ \tan(75^o)=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \end{array}$$

Razionalizziamo il risultato

$$\tan(75^o)= \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{3+1+2\sqrt{3}}{3-1}=2+\sqrt{3}$$

Possiamo procedere allo stesso modo per l‘angolo di 15 gradi applicando le formule di sottrazione

$$ \begin{array}{l} \cos(15^o)=\cos(45^o-30^o)=\cos45^0\cos30^o+\sin45^o\sin30^o\\ \cos(15^o)= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6} \\ \ \\ \sin(15^o)=\sin(45^o-30^o)=\sin45^o\cos30^o-\cos45^o\sin30^o\\ \sin(15^o)= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6} \\ \ \\ \tan(15^o)=\tan(45^o+30^o)=\frac{\tan 45^o-\tan30^o}{1+\tan45^o\tan30^o} \\ \tan(15^o)=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \end{array}$$

Razionalizziamo il risultato

$$\tan(15^o)= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{3+1-2\sqrt{3}}{3-1}=2-\sqrt{3}$$

SEMPLIFICARE ESPRESSIONI IN APPARENZA OSTICHE

Semplifichiamo la seguente espressione

$$ \frac{\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}$$

Svolgiamo separatamente le quattro formule di addizione e sottrazioneper il seno e il coseno:

$$ \begin{array}{l} \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)= \cos\alpha\cos\frac{\pi}{6}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{6}= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha\\ \cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)= \cos\alpha\cos\frac{\pi}{6}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{6}= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha \\ \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)= \sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}= \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}\cos\alpha \\ \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)= \sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}-\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}= \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha-\frac{1}{2}\cos\alpha \end{array}$$

Ora inseriamo tutti questi calcoli nel testo di partenza

$$ \begin{array}{l} \frac{\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}= \\ \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha}{ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}\cos\alpha – \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}\cos\alpha } \end{array}$$

Semplifichiamo e sommiamo ottenendo:

$$ \frac{\sqrt{3}\cos\alpha}{\cos\alpha}= \sqrt{3}$$

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RISOLVERE PROBLEMI CON I TRIANGOLI

Consideriamo il seguente problema con i triangoli.

Dato il triangolo di angoli 𝛼, 𝛽 e 𝛾, determina la tangente di 𝛾 sapendo che:

$$ \cos\alpha=\frac{12}{13} \quad \cos\beta=\frac{4}{5}$$

Puoi dire se il triangolo è acutangolo o ottusangolo?

Cominciamo col dire che siccome i coseni sono entrambi positivi gli angoli 𝛼 e 𝛽 sono certamente acuti, quindi anche i loro seni e le loro tangenti sono postivi.

In secondo luogo facciamo una considerazione sulla tangente di 𝛾 che è la tangente dell’angolo supplementare alla somma di 𝛼 e 𝛽

(infatti sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo vale 180 gradi ovvero π in radianti) 

$$ \tan\gamma=\tan\left(\pi-(\alpha+\beta)\right)$$

Per le proprietà degli angoli associati possiamo dire che si tratta dell’opposto della tangente della somma 𝛼+𝛽

$$ \tan\gamma=\tan\left(\pi-(\alpha+\beta)\right)=-\tan(\alpha+\beta)$$

A sua volta possiamo scrivere la tangente di 𝛼+𝛽 con le formule di addizione

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

Per calcolare questo valore non ci resta che calcolare le tangenti di 𝛼 e di 𝛽 che possiamo ricavare dal valore dei seni degli angoli (ricordiamo positivi) 

Per determinare i valori dei seni degli angoli sfruttamo la relazione fondamentale della goniometria secondo cui:

$$ \begin{array}{l} \sin\alpha&=& \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}&=&\frac{5}{13}\\ \sin\beta&=& \sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}&=&\frac{3}{5}\end{array} $$

Dunque calcoliamo le tangenti degli angoli 𝛼 e 𝛽 con la definizione: seno/coseno

$$ \begin{array}{l} \tan\alpha&=&\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}&=&\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}&=&\frac{5}{12}\\ \tan\beta&=&\frac{\sin\beta}{\cos\beta}&=&\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}&=&\frac{3}{4}\end{array}$$

Ora calcoliamo la tangente di 𝛼+𝛽

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\frac{5}{12}+\frac{3}{4}}{1-\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{4}}=\frac{56}{33}$$

Ricordiamo infine che la tangente di 𝛾 risulta l’opposto di tale valore per il ragionamento fatto sopra

$$\tan\gamma=\tan\left(\pi-(\alpha+\beta)\right)=-\tan(\alpha+\beta)=-\frac{56}{33}$$

Dal momento che il valore di questa tangente è negativa concludiamo che si tratta di un angolo ottuso, dunque il triangolo è ottusangolo

RISOLVERE ALCUNI TIPI DI EQUAZIONE 

Facciamo un esempio.

Dobbiamo trovare due angoli di cui sappiamo che il seno della loro somma è pari 1/2 , mentre il seno della loro differenza è pari a 2/5.

Sapendo che questi angoli sono compresi tra 0 e 90 gradi (si trovano nel primo quadrante) calcolare gli angoli in modo approssimato.

In questo caso impostiamo un sistema del tipo:

$$ \begin{cases} \sin(x+y)=\frac{1}{2}\\ \sin(x-y)=\frac{2}{5}\\ x,y\in (0^o,90^o) \end{cases}$$

Applichiamo le formule di addizione e sottrazione per gli angoli

$$ \begin{cases} \sin x\cos y+\cos x\sin y=\frac{1}{2}\\ \sin x\cos y-\cos x\sin y=\frac{2}{5}\\ \ x,y\in (0^o,90^o) \end{cases}$$

Sommando le due equazione otteniamo 

$$ 2\sin x \cos y = \frac{1}{2}+\frac{2}{5} = \frac{9}{10} \to \sin x \cos y =\frac{9}{20}$$

Sostituiamo questo risultato nella prima equazione

$$ \frac{9}{20}+\cos x \sin y = \frac{1}{2} \to \cos x \sin y = \frac{1}{2}-\frac{9}{20}=\frac{1}{20}$$

A questo punto il sistema diventa (scriviamo solo le due equazioni) 

$$ \begin{cases} \sin x \cos y =\frac{9}{20}\\ \cos x \sin y = \frac{1}{20} \end{cases}$$

Ricaviamo dunque il seno e il coseno di x in funzione del coseno e del seno di y

$$ \begin{cases} \sin x \cos y =\frac{9}{20}\\ \cos x \sin y = \frac{1}{20} \end{cases} \to \begin{cases} \sin x = \frac{9}{20 \cos y} \\ \cos x= \frac{1}{20 \cos y} \end{cases}$$

Dalla relazione fondamentale della goniometria sappiamo che:

$$ \cos^2x+\sin^2x=1$$

Dunque mettiamo le variabili in y

$$ \left(\frac{9}{20 \cos y}\right)^2+\left(\frac{1}{20 \cos y}\right)^2=1 \\ \ \\ \frac{81}{400 \cos^2y}+\frac{1}{400 \sin y}=1 \\ 81\sin^2y+\cos^2y=400\sin^2\cos^2y$$

Ora sfruttiamo ancora la relazione fondamentale della goniometria secondo cui:

$$\cos^2y=1-\sin^2y$$

Dunque sostituendo

$$81\sin^2y+(1-\sin^2y)=400\sin^2(1-\sin^2y)$$

Sviluppando i calcoli otteniamo una equazione di quarto grado con il seno

$$ \begin{array}{l} 81\sin^2y+1-\sin^2y=400\sin^2-400\sin^4y \\ 400\sin^4y-320\sin^2y+1=0 \end{array}$$

Per giungere ad una equazione di secondo grado chiamiamo t il quadrato del seno di y

$$ t=\sin^2y \to 400t^2-320t+1=0$$

Applichiamo due la formula risolutiva

$$ t_{1,2}=\frac{320\pm \sqrt{320^2-4\cdot 400\cdot 1}}{2\cdot 400} \\ t_1=0,0031373 \lor t_2=0,796863$$

Le due soluzione sono accettabili in quanto numeri positivi.

Partiamo dalla prima soluzione di t per determinare i corrispondenti angoli x e y

$$ t_1=0,0031373 \to \sin^2y=0,0031373 \to \sin y = \pm\sqrt{0,0031373}$$

A tal proposito siccome l’angolo y appartiene al primo quadrante accettiamo solamente la soluzione in cui il seno è positivo:

$$ \sin y = \sqrt{0,0031373}\approx 0,056012$$

Ricordiamo inoltre che il seno dell’angolo x è determinato in funzione del coseno:

$$ \cos x = \frac{1}{20\sin y}= \frac{1}{20\cdot\sqrt{0,0031373}}\approx 0,892672$$

Dai rispettivi valori di seno e coseno siamo in grado di determinare i valori della prima coppia di angoli x e y

$$ \begin{array}{l} \cos x \approx 0,892672 &\to& x=\cos^{-1}0,892672 \approx 26,789^o \\ \sin y \approx 0,056012 &\to& y=\sin^{-1}0,056012 \approx 3,211^o \end{array}$$

Passiamo ora al secondo valore di t:

$$ t_2=0,796863\to \sin^2y=0,796863 \to \sin y = \pm\sqrt{0,796863}$$

A tal proposito siccome l’angolo y appartiene al primo quadrante accettiamo solamente la soluzione in cui il seno è positivo:

$$\sin y= \sqrt{0,796863} \approx 0,892672$$

Ricordiamo inoltre che il seno dell’angolo x è determinato in funzione del coseno:

$$ \cos x = \frac{1}{20\sin y}= \frac{1}{20\cdot\sqrt{0,796863}}\approx 0,056012$$

Dai rispettivi valori di seno e coseno siamo in grado di determinare i valori della prima coppia di angoli x e y

$$ \begin{array}{l} \cos x \approx 0,056012 &to& x=\cos^{-1}0,056012 \approx 86,789^o \\ \sin y \approx 0,892672 &to& y=\sin^{-1}0,892672 \approx 63,211^o \end{array}$$

Dunque le soluzioni approssimate di x e y sono:

$$\begin{cases} x\approx 26,789^o\\ y\approx 3,211^o \end{cases} \cup \begin{cases} x\approx 86,789^o\\ y\approx 63,211^o \end{cases}$$

RISCRIVERE MEGLIO ALCUNE FUNZIONI

Le formule di addizione e sottrazione possono servire allo scopo di riscrivere in maniera più compatta alcune funzioni goniometriche

Consideriamo ad esempio il seguente caso.

Vogliamo rappresentare la funzione goniometrica

$$ y=\frac{\tan^2x}{\sin^2x}\sin60^o\cos^3x+\tan x \tan30^o\cos x \sin60^o$$

Certo che scritta in questa maniera diventa improponibile da rappresentare ad occhio, anche in maniera qualitativa

Cerchiamo dunque di semplificare il più possibile l’espressione ad esempio riscrivendo la tangente come rapporto tra il seno e il coseno

$$ y=\frac{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}{\sin^2x}\cos^3x\sin60^o+\frac{\sin x}{\cos x} \cos x \frac{\sin30^o}{\cos30^o} \sin60^o$$

Semplificando otteniamo:

$$ y=\cos x \sin60^o +\sin x \frac{\sin30^o}{\cos30^o}\sin60^o$$

Ridiamo che per gli angoli associati il seno di un angolo è uguale al coseno di un angolo complementare dunque:

$$\cos30^o=\sin60^o$$

Possiamo dunque riscrivere il primo addendo e semplificare nel secondo addendo dell’espressione che a questo punto diventa

$$y=\cos x \cos30^o+\sin x \sin30^o$$

A questo punto ci rendiamo conto che la funzione può essere riscritta come il coseno di una differenza di angoli

$$y=\cos(x-30^o)$$

Utilizzando la scrittura degli angoli in radianti possiamo scrivere:

$$ y=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$

Questa funzione altro non è che la funzione elementare coseno di x traslata di π/6 verso destra lungo l’asse delle x

CALCOLARE LA DERIVATA DI FUNZIONI GONIOMETRICHE

Vediamo come esempio la derivata del seno di x

Consideriamo la funzione goniometrica sinx :

$$ f(x)\sin x$$

Applichiamo per il calcolo il limite del rapporto incrementale

$$\begin{array}{l} f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\frac{0}{0}\end{array}$$

Applichiamo le formule di addizione

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}\right)=$$

Notiamo che quando la h tende a zero il cosh tende a  1

$$ h\to0:\cos h\sim1$$

Dunque riscriviamo il nostro limite come

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin x+\sin h\cos x-\sin x}{h}\right)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin h\cos x}{h}\right)$$

Per le proprietà dei limiti notevoli la funzione sinh tende ad h quando h tende a zero

$$ h\to0:\cos h\sim h$$

Dunque il nostro limite è in maniera asintotica risulta

$$ f'(x) =\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin h\cos x}{h}\right) \sim \lim_{h\to0}\left(\frac{h\cos x}{h}\right) =\cos x$$

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