Se vuoi imparare a risolvere gli integrali senza andare nel panico, c’è solo un punto di partenza: gli integrali elementari. Queste sono le “tabelline” dell’integrazione, ovvero quelle funzioni di cui conosciamo immediatamente la primitiva perché derivano direttamente dal calcolo delle derivate fondamentali.
Le regole d’oro da stampare nella memoria sono tre:
- Regola delle potenze: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ (valida per ogni numero $n \neq -1$).
- Il caso speciale $n = -1$: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c$. Attenzione al valore assoluto! Serve a garantire che il dominio della primitiva coincida con quello dell’integranda.
- Esponenziali e goniometriche: Riconoscere al volo che $\int e^x dx = e^x + c$, $\int \cos x dx = \sin x + c$ e che $\int \sin x dx = -\cos x + c$ (attenzione al segno meno che qui si inverte rispetto alla derivata!).
Mettiti alla prova con questi 15 quiz, organizzati in ordine di difficoltà crescente. Ripassa bene radici ed esponenti negativi, ti serviranno!
INDICE
I 15 Quiz: Risolvi gli Integrali Elementari
Livello Base: La Regola delle Potenze
1. Calcola $\int x^3 dx$
- A) $3x^2 + c$
- B) $\frac{x^4}{4} + c$
- C) $x^4 + c$
- D) $\frac{x^3}{3} + c$
2. Calcola $\int x dx$
- A) $1 + c$
- B) $x^2 + c$
- C) $\frac{x^2}{2} + c$
- D) $2x^2 + c$
3. Calcola $\int x^5 dx$
- A) $\frac{x^6}{5} + c$
- B) $5x^4 + c$
- C) $\frac{x^6}{6} + c$
- D) $\frac{1}{6x^6} + c$
4. Calcola l’integrale della costante: $\int 4 dx$
- A) $4x + c$
- B) $0 + c$
- C) $x^4 + c$
- D) $\frac{4}{x} + c$
5. Calcola l’integrale con esponente negativo: $\int x^{-2} dx$
- A) $-\frac{1}{x} + c$
- B) $-2x^{-3} + c$
- C) $\frac{1}{x^3} + c$
- D) $-x^{-1} + c$
Livello Intermedio: Radici e Funzioni Trascendenti Base
6. Calcola $\int e^x dx$
- A) $x e^{x-1} + c$
- B) $e^x + c$
- C) $\frac{e^{x+1}}{x+1} + c$
- D) $\ln(e^x) + c$
7. [ATTENZIONE] Calcola $\int \frac{1}{x} dx$
- A) $x^{-2} + c$
- B) $\frac{x^0}{0} + c$
- C) $\ln x + c$
- D) $\ln|x| + c$
8. Calcola $\int 2^x dx$
- A) $2^x + c$
- B) $2^x \ln 2 + c$
- C) $\frac{2^x}{\ln 2} + c$
- D) $\frac{2^{x+1}}{x+1} + c$
9. Calcola $\int \sqrt{x} dx$ (Suggerimento: trasformalo in $x^{1/2}$)
- A) $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + c$
- B) $\frac{1}{2\sqrt{x}} + c$
- C) $x\sqrt{x} + c$
- D) $\frac{3}{2}x^{3/2} + c$
10. Calcola $\int \frac{1}{x^3} dx$
- A) $-\frac{1}{2x^2} + c$
- B) $-\frac{3}{x^4} + c$
- C) $\frac{1}{4x^4} + c$
- D) $\ln|x^3| + c$
Livello Avanzato: Goniometriche e Funzioni Inverse
11. Calcola $\int \cos x dx$
- A) $-\sin x + c$
- B) $\sin x + c$
- C) $-\cos x + c$
- D) $\frac{\sin x}{x} + c$
12. Calcola $\int \sin x dx$
- A) $\cos x + c$
- B) $-\cos x + c$
- C) $\sin^2 x + c$
- D) $-\sin x + c$
13. Qual è l’integrale elementare che ha come risultato $\tan x + c$?
- A) $\int \cot x dx$
- B) $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$
- C) $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx$
- D) $\int \sec x dx$
14. Calcola $\int \frac{1}{1+x^2} dx$
- A) $\arcsin x + c$
- B) $\arctan x + c$
- C) $\ln(1+x^2) + c$
- D) $\tan x + c$
15. Calcola $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
- A) $\arccos x + c$
- B) $\arcsin x + c$
- C) $\sqrt{1-x^2} + c$
- D) $\ln|\sqrt{1-x^2}| + c$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Verifica qui le tue risposte e memorizza bene queste formule, ti salveranno la vita all’esame!
1. Risposta B ($\frac{x^4}{4} + c$)
Regola delle potenze: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Qui $n=3$, quindi $\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.
2. Risposta C ($\frac{x^2}{2} + c$)
Ricorda che $x$ equivale a $x^1$. Quindi applichiamo la regola con $n=1$: $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.
3. Risposta C ($\frac{x^6}{6} + c$)
Con $n=5$, otteniamo direttamente $\frac{x^6}{6}$.
4. Risposta A ($4x + c$)
Possiamo vedere la costante $4$ come $4x^0$. Integrando otteniamo $4 \cdot \frac{x^1}{1} = 4x$.
5. Risposta A ($-\frac{1}{x} + c$)
Usiamo la regola delle potenze con $n=-2$. Diventa $\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$.
6. Risposta B ($e^x + c$)
L’esponenziale di base $e$ è l’unica funzione che rimane identica sia quando viene derivata sia quando viene integrata.
7. Risposta D ($\ln|x| + c$)
L’integrale di $1/x$ è un caso speciale perché la regola della potenza darebbe denominatore zero ($x^0 / 0$). Dà origine al logaritmo. L’uso del valore assoluto è fondamentale per garantire che la funzione sia definita anche per le $x$ negative!
8. Risposta C ($\frac{2^x}{\ln 2} + c$)
Per un esponenziale con base $a$ diversa da $e$, la formula è $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + c$. Invece di moltiplicare per il logaritmo (come nelle derivate), qui si divide!
9. Risposta A ($\frac{2}{3}x\sqrt{x} + c$)
Scriviamo la radice come potenza frazionaria: $x^{1/2}$. Applichiamo la regola: $\frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$. Che equivale a $\frac{2}{3}x\sqrt{x}$.
10. Risposta A ($-\frac{1}{2x^2} + c$)
Riscriviamo la frazione come $x^{-3}$. Integriamo: $\frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.
11. Risposta B ($\sin x + c$)
Attenzione ai segni: la derivata del seno è il coseno, quindi l’integrale del coseno è il seno (positivo).
12. Risposta B ($-\cos x + c$)
La derivata del coseno è il meno seno. Quindi, per tornare indietro da un seno positivo, dobbiamo prendere il meno coseno!
13. Risposta C ($\int \frac{1}{\cos^2 x} dx$)
La derivata di $\tan x$ è proprio $1/\cos^2 x$ (oppure $1 + \tan^2 x$). Di conseguenza, questo è il suo integrale elementare.
14. Risposta B ($\arctan x + c$)
Questa è una delle forme integrali inverse più frequenti negli esami. Imparala a memoria!
15. Risposta B ($\arcsin x + c$)
Un’altra formula inversa fondamentale. Da non confondere con le radici semplici o i logaritmi.
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Hai memorizzato le tabelline dell’integrazione? Perfetto! Ma questo è solo il riscaldamento. All’esame non troverai integrali così semplici, ma funzioni fratte, composte ed esponenziali mescolate tra loro. Per risolverle dovrai usare tecniche come la sostituzione o l’integrazione per parti. Nei miei corsi completi ti insegno a “smascherare” l’integrale complesso per ricondurlo sempre a una di queste forme elementari che hai appena imparato. Smetti di improvvisare e impara il metodo infallibile per superare l’esame!
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