Come si calcola il tempo nel regime composto?
Vediamo insieme un esempio in cui andremo ad applicare le formule per calcolarlo.
INDICE
ESEMPIO DI CALCOLO DEL TEMPO NEL REGIME COMPOSTO
Gloria intende investire i suoi guadagni pari a 1.570 euro conseguiti a luglio ed agosto lavorando in una pizzeria il fine settimana.
Calcola in quanto tempo Gloria potrà disporre di un montante pari a 3.000 se investe i suoi guadagni nel regime composto al tasso dell’8% annuo.
Per prima cosa rappresentiamo graficamente la situazione in questione:
L’asse orizzontale rappresenta la linea del tempo, sulla quale disponiamo il tempo iniziale e il tempo finale dell’investimento.
Sotto l’epoca zero (oggi) mettiamo il capitale che Gloria sta investendo, ovvero 1.570 euro.
Sotto è rappresentata una freccia che si muove verso destra, ad indicare che l’investimento sta procedendo verso tempi futuri.
Sopra la freccia è indicato il tasso di interesse del 8%.
Sotto il tempo finale, che dobbiamo calcolare, scriviamo il montante prodotto di 3.000 euro.
TEMPO – FORMULA INVERSA NEL REGIME COMPOSTO
Ricordiamo la formula nel regime composto per il calcolo del montante.
$$ M = C \cdot \left( 1+i \right) ^t $$
Dividiamo entrambi i membri per il capitale , ottenendo:
$$ \frac {M}{C} = \left( 1+i \right)^t $$
A questo punto possiamo affermare che il tempo t è l’esponente da dare alla base (1+i) per ottenere il rapporto montante/capitale M/C.
Scritto in forma matematica avremo:
$$ \log_{1+i} \left( \frac{M}{C} \right)$$
Per le proprietà dei logaritmi possiamo scrivere meglio questa cosa come:
$$ t = \frac{\ln \left( \frac{M}{C} \right)}{ \ln (1+i)}$$
Dove “ln” sta per “logaritmo naturale”.
Applichiamo ora questa formula
$$ t = \frac{\ln \left( \frac{M}{C} \right)}{ \ln (1+i)} = \frac{\ln \left( \frac{3.000}{1.570} \right)}{ \ln (1+0,08)} = 8,4138 $$
Il tempo che ne risulta è in anni, dal momento che abbiamo utilizzato il tasso di interesse annuo.
Abbiamo ottenuto 8,4138 anni.
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SCRIVERE CON LA CALCOLATRICE
Ancora una volta ricordiamo come scrivere questo calcolo usando la calcolatrice.
Nella figura sotto ho utilizzato una calcolatrice scientifica CASIO fx-CG50.
In questo caso si tratta anche di una calcolatrice grafica, ma in commercio se ne trovano con schermate simili a costi veramente molto accessibili.
Se la calcolatrice ve lo permette potete creare la linea di frazione mediante il tasto evidenziato in rosso nella prima figura e a livello di schermata dovrebbe comparirvi:
$$ \frac{\ln \left( \frac{3.000}{1.570} \right)}{ \ln (1+0,08)} $$
Se la calcolatrice non ve lo permette, o se preferite utilizzare il modo di scrittura classico potete scrivere il calcolo come nella seconda figura evidenziata in giallo.
$$ \textbf{ ln(3000:1570) : ln(1,08)}$$
Attenzione nel secondo caso a mettere la perentesi (evidenziata in giallo).
Per trasformare il numero in frazione (verde) nel caso in cui abbiate scelto la prima opzione potete schiacciare il tasto S<->D evidenziato in verde.
CALCOLO TEMPO IN ANNI, MESI E GIORNI
Il risultato ottenuto è come abbiamo visto 8,4138 espresso in anni.
Cosa dobbiamo fare per ottenere il risultato in anni mesi e giorni.
Per prima cosa dobbiamo registrare la parte intera del numero ottenuto, ovvero 8 anni.
Da qui andiamo a sottrarre al numero ottenuto il 8 ottenendo 0,4138 (anni).
Moltiplichiamo questo numero per 12, essendo che in un anno ci sono 12 mesi.
In questo modo facendo:
$$ 0,4138 \times 12 = 4,9659 $$
otteniamo il risultato in mesi: 4,9659 mesi
Registriamo la parte intera del numero: 4 mesi.
Fino a qui il tempo risulta 8 anni e 4 mesi.
Ora ci mancano i giorni.
Sottraiamo a 4,9659 la parte intera, in questo modo:
$$ 4,9659 – 4 = 0,9659 $$
La parte residua sono 0,9659 mesi, che dobbiamo trasformare in giorni.
Moltiplichiamo 0,9659 per 30, essendo che in un mese ci sono 28,9767 giorni.
In questo caso possiamo approssimare a 29 giorni.
Ed ecco che abbiamo ottenuto il tempo desiderato.
Ci vogliono 8 anni 4 mesi e 29 giorni affinché, investendo 1.570 euro nel regime a interesse semplice al tasso dell’8%, venga prodotto un montante pari a 3.000 euro.
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