Il costo medio e il costo marginale sono due elementi fondamentali della teoria dell’impresa all’interno della microeconomia.
Lo scopo di questo articolo è dunque comprenderne il significato recondito.
Nel corso della trattazione useremo nelle formule una terminologia inglese questo per evitare il conflitto che si determina tra il costo medio (ATC) e il costo marginale (MC)
In particolare la lettera A inglese sta per “average” che significa “medio“.
Mentre la lettera inglese M sta per “marginal” che significa “marginale“
INDICE
COSTO MEDIO E COSTO MARGINALE – DEFINIZIONE
Cominciamo con il dare la definizione al livello matematico di costo medio e di costo marginale
COSTO MEDIO (AVERAGE COST)
Il costo medio è il costo totale diviso per la quantità.
$$ATC=\frac{TC}{q}$$
Con la scrittura ATC (average total cost) intendiamo il costo medio totale
Ricordiamo che il costo totale TC (total cost) è dato dalla somma del costo fisso FC (fix cost) e del costo variabile VC (variable cost).
$$TC=FC+VC$$
Dividiamo ora entrambi i lati dell’equazione per la quantità q
$$\frac{TC}{q}=\frac{FC}{q}+\frac{VC}{q}$$
Dunque possiamo affermare che il costo medio totale ATC (average total cost) è la somma tra il costo medio fisso AFC (average fix cost) e il costo medio variabile AVC(average variable cost)
$$ATC=AFC+AVC$$
COSTO MARGINALE (MARGINAL COST)
Il costo marginale è il costo associato alla produzione di una unità aggiuntiva di output.
Dunque la domanda che ci poniamo è:
“Se stiamo producendo il centesimo bene, quale è il suo costo associato?
Di quanto stanno aumentando i costi totali passando dall’unità 99 all’unità 100?”
Chiaramente il numero 100 serve solo da esempio e questo concetto può essere esteso ad ogni quantità prodotta.
Dal punto di vista matematico il costo marginale MC (marginale cost) è la derivata prima rispetto alla quantità della funzione costo totale che è uguale alla derivata prima del costo marginale
$$MC=TC’=VC’$$
SPIEGAZIONE DELL’EQUAZIONE
Questa ultima uguaglianza necessita di un chiarimento tecnico.
Infatti per essere più precisi dovremmo parlare di costo marginale totale MTC (marginal total cost) che è la derivata prima del costo totale TC
$$MTC=TC’$$
Per lo stesso ragionamento fatto sopra possiamo scomporre il costo marginale totale nella somma tra il costo marginale fisso MFC (marginal fix cost) e il costo marginale variabile MVC (marginal variable cost)
Dove MFC è la derivata prima dei costi fissi FC.
Mentre MVC è la derivata prima dei costi variabili VC.
Dunque in termini di derivate possiamo scrivere
$$TC’+FC’+VC’$$
La derivata prima del costo totale è certamente pari a zero (derivata di una costante) in quanto i costi fissi risultano indipendenti dalla quantità.
$$FC’=0$$
Dunque possiamo tranquillamente sostenere che la derivata del costo totale è uguale alla derivata del costo marginale.
$$TC’=VC’$$
Dunque per definizione il costo marginale totale MTC è uguale al costo marginale variabile MVC e quindi possiamo semplicemente parlare di costo marginale MC(marginal cost)
$$MC=MTC=MVC$$
Da che ne consegue l’affermazione fatta all’inizio
$$MC=TC’=VC’$$
UN ASPETTO GRAFICO IMPORTANTE
Dal punto di vista grafico esiste una importante relazione tra il costo medio (totale e variabile) e il costo marginale.
Quando la funzione di costo marginale interseca le funzioni di costo medio in quel punto ovvero per quella quantità le funzioni di costo medio toccano il punto di minimo.
Questo significa che a quel livello di produzione si realizzano i costi medi più bassidel processo.
Nel grafico sottostante mostriamo questo aspetto grafico.
COSTO MARGINALE = COSTO MEDIO VARIABILE: CHIUSURA
In corrispondenza dell’intersezione tra il ricavo marginale e i costi medi variabili abbiamo la quantità q1.
Tale è la quantità dove il costo medio variabile raggiunge il punto di minimo.
Prima di questa quantità il costo medio variabile si trova al di sotto dei costi marginali e la funzione che rappresenta questi ultimi è decrescente.
Mentre dopo la quantità q1 il costo medio variabile è al di sora dei costi marginali e tali costi sono crescenti.
La quantità q1 è definita anche quantità di chiusura ovvero la quantità minima che l’impresa produce nel mercato.
Oltre questa quantità l’impresa continua a restare nel mercato nel breve periodo perché riesce sicuramente a recuperare i costi variabili che sono necessari per remunerare i fattori produttivi.
Possiamo quindi definire P1 il prezzo minimo di chiusura che coincide con il valore sia del costo marginale che del costo medio variabile in corrispondenza della quantità q1
$$P_1=MC(q_1)=AVC(q_1)=\text{prezzo di chiusura}$$
L’impresa non può dunque vendere al di sotto del prezzo di chiusura perché altrimenti non riesce neanche a recuperare i costi variabili.
Questa condizione la farebbe certamente uscire dal mercato
Diversamente l’impresa continua ad operare nel mercato riuscendo sicuramente a remunerare il fattori variabili di produzione
COSTO MARGINALE = COSTO MEDIO TOTALE: PROFITTO NULLO
In modo analogo in corrispondenza dell’intersezione tra il costo marginale e il costo medio totale troviamo la quantità q2 detta anche quantità di profitto nullo
Quando il livello di produzione dell’impresa raggiunge questo livello i costi medi totali raggiungono il loro minimo.
Prima di questa quantità la funzione di costo medio totale si trova al di sotto del costo marginale ed è decrescente.
Mentre dopo il punto la quantità q2 il costo medio totale risulta crescente e si trova al di sopra del costo marginale.
Dal punto di vista economico la quantità q2 permette di remunerare completamente tutti i costi totali e il profitto dell’impresa è nullo.
Questo punto di pareggio dell’utile è anche definito equilibrio di lungo periodo dell’impresa.
IMPARA LA MICROECONOMIA
Comincia un viaggio che parte dalle scelte dei consumatori e delle imprese fino ad arrivare alle forme di mercato come libera concorrenza perfetta e il monopolio.
LA CURVA DI OFFERTA DELL’IMPRESA DI BREVE PERIODO
Nel breve periodo l’impresa continua a produrre quando riesce a remunerare tutti i fattori variabili di produzione.
Pertanto diciamo che la curva di offerta dell’impresa coincide con il tratto crescente di curva di costo marginale che si trova dopo il punto di chiusura q1.
I PROFITTI DELL’IMPRESA IN CONCORRENZA PERFETTA
Quando ci troviamo in concorrenza perfetta l’impresa è “price taker”, ovvero prende il prezzo come dato dal mercato.
Tale prezzo coincide dunque anche con il ricavo marginale MR (marginal revenue).
Ricordiamo che lo scopo principale dell’impresa è conseguire il massimo profitto possibile.
Per far si che si verifichi questa condizione si deve realizzare che il costo marginale MC eguagli il ricavo marginale MR.
$$MC=MR\ \to\ \text{massimo profitto}$$
Definiamo questa situazione come la condizione della massimizzazione del profitto.
Dunque in concorrenza perfetta deve valere la condizione
$$MC=MR=P$$
dove P rappresenta il prezzo di mercato.
Quando l prezzo di mercato P è al di sotto del prezzo di chiusura P1 non vi sarà nessuna quantità prodotta dall’impresa.
Infatti se avviene ciò l’impresa risulta in perdita e non riesce a remunerare neanche i costi variabili.
$$P<P_1\quad\to\quad \text{nessuna offerta}$$
Se il prezzo P è uguale a P1 l’impresa è in perdita e tale perdita (profitto π negativo) coincide esattamente con i costi fissi
Se nel mercato tutte le imprese hanno la stessa struttura dei costi nessuna impresa opera all’interno di questo mercato.
$$P=P_1\quad\to\quad \pi=-FC\quad\to\quad\text{perdita$=$\ costi fissi}$$
Nella zona di prezzo che va da P1 a P2 l’azienda è in perdita ma continua a restare nel mercato nel breve periodo.
Infatti in questa zona pur avendo un profitto negativo l’impresa riesce a remunerare i costi dei fattori produttivi variabili.
La perdita è compresa tra zero e i costi fissi
Supponendo che nel mercato vi siano imprese con identità struttura dei prezzinessuna impresa nuova entra nel mercato con una data situazione.
Vi sarà invece una progressiva riduzione nel corso del tempo delle imprese che non trovano più gradevole questa situazione.
La diminuzione delle imprese fa calare la concorrenza tra queste che possono fissare prezzi via via più alti.
Questo processo di aggiustamento finisce quando il prezzo raggiunge la soglia P2 di profitto nullo
$$P_1<P<P_2\quad\to\quad-FC<\pi<0\quad\to\quad\text{perdita$<$costi fissi}$$
Quando il prezzo è esattamente uguale a P2 l’azienda realizza un profitto π nullo, ovvero non ha profitti ne perdite.
Questa è anche definita una situazione di equilibrio nel lungo periodo nella concorrenza perfetta.
In una data situazione nessuna impresa entra e nessuna esce dal mercato.
Ci troviamo in una situazione di stabilità del mercato
$$P=P_2\quad\to\quad\pi=0\quad\to\quad\text{equilibrio di lungo periodo}$$
Infine quando il prezzo si trova al di sopra del prezzo P2 di profitto nullo l’impresa presenta un profitto positivo.
I ricavi saranno perciò in grado di remunerare sia i costi fissi che quelli variabili con un margine aggiuntivo di guadagno.
Questa è una situazione favorevole all’entrata nel mercato di nuove imprese che sono spinte dall’ambizione di profitto.
Questo processo di entrata aumenta la concorrenza tra le imprese e spinge gradualmente il livello dei prezzi a diminuire.
Tale diminuzione detto processo di aggiustamento continua fino al punto in cui il prezzo ritorna a P2 e al conseguente raggiungimento dell’equilibrio di lungo periodo.
Per approfondire questi aspetti ti invito a leggere anche gli articoli:
- Massimizzazione del profitto delle imprese
- Equilibrio di concorrenza perfetta
ESEMPI MATEMATICI DI COSTO MEDIO E MARGINALE
Andiamo ora a svolgere qualche esempio più matematico ed economico sulle funzioni di costo
ESEMPIO 1
Sappiamo che l’azienda Alfa sostiene un costo fisso pari a 50, mentre per ha un costo variabile di 2 per ogni unità prodotta.
Determina:
- La funzione di costo totale, costo medio e costo marginale.
- Il prezzo di chiusura e la curva di offerta dell’impresa
- Rappresenta graficamente la situazione
SVOLGIMENTO
Partiamo dalla funzione di costo totale TC e chiamiamo x la quantità prodotta
$$TC(x)=50+2x$$
Si tratta di una retta con inclinazione pari a 2.
Possiamo inoltre riconoscere nel costo totale il costo fisso FC e il costo variabile VC
$$TC=FC+VC$$
$$FC=50$$
$$VC=2x$$
La funzione costo medio totale ATC è dunque
$$ATC=\frac{TC}{x}=\frac{50+2x}{x}=\frac{50}{x}+2=AFC+AVC$$
Dove in particolare possiamo distinguere i costi fissi medi AFC e i costi variabili medi AVC
$$AFC=\frac{50}{x}$$
$$AVC=2$$
La funzione di costo marginale MC è la derivata del costo totale o equivalentemente quella del costo variabile
$$MC=2$$
In questo caso notiamo subito che la funzione di costo marginale è esattamente uguale al costo medio variabile
Per determinare il prezzo di chiusura ovvero il prezzo al quale l’impresa comincia a produrre bisogna risolvere l’equazione per cui i costi marginali eguagliano i costi medi variabili
$$MC=AVC\quad\to\quad 2=2\ \forall x\in\mathbb{R}$$
In questo caso otteniamo un’identità pertanto il prezzo di chiusura diciamo che vale 2.
La curva di offerta dell’impresa perciò in questo caso è orizzontale e coincide sia con la curva di costo variabile medio che di costo marginale
$$O_i:\quad P=2$$
Rappresentiamo graficamente i grafici dei costi
IMPARA LA MICROECONOMIA
Comincia un viaggio che parte dalle scelte dei consumatori e delle imprese fino ad arrivare alle forme di mercato come libera concorrenza perfetta e il monopolio.
ESEMPIO 2
Sappiamo che l’azienda Beta sostiene un costo fisso pari a 50, mentre per ha un costo variabile di 2 per ogni unità prodotta ed un ulteriore costo variabile che è 0,1 volte il quadrato della quantità
Determina:
- La funzione di costo totale, costo medio e costo marginale.
- Il prezzo di chiusura e la curva di offerta dell’impresa
- Rappresenta graficamente la situazione
SVOLGIMENTO
Partiamo dalla funzione di costo totale TC e chiamiamo x la quantità prodotta
$$TC=50+2x+0,01x^2\quad TC=FC+VC$$
Ci troviamo di fronte ad una parabola con la concavità rivolta verso l’alto ed intercetta pari a 50
Possiamo inoltre riconoscere nel costo totale il costo fisso FC e il costo variabile VC
$$FC=50$$
$$VC=2x+0,1x^2$$
La funzione costo medio totale ATC è dunque
$$ATC=\frac{TC}{x}=\frac{50+2x+0,1x^2}{x}=\frac{50}{x}+2+0,1x\quad ATC=AFC+AVC$$
Dove in particolare possiamo distinguere i costi fissi medi AFC e i costi variabili medi AVC
$$AFC=\frac{50}{x}$$
$$AVC=2+0,1x$$
La funzione di costo marginale MC è la derivata del costo totale o equivalentemente quella del costo variabile
$$MC=2+0,2x$$
In questo caso notiamo subito che la funzione di costo marginale e costo medio variabile sono due rette con la stessa intercetta
Per determinare il prezzo di chiusura ovvero il prezzo al quale l’impresa comincia a produrre bisogna risolvere l’equazione per cui i costi marginali eguagliano i costi medi variabili
$$MC=AVC\quad\to\quad 0,1x+2=0,2x+2\ \to\ x=0$$
In questo caso otteniamo che la quantità di chiusura è zero e il prezzo di chiusura diciamo che vale 2.
La curva di offerta coincide dunque interamente con il costo marginale dell’impresa
$$O_i:\quad P=2+0,2x$$
ESEMPIO 3
Sappiamo che l’azienda Gamma ha la seguente funzione di costo totale
$$TC=200+40x^{0,5}+0,5x^{2,2}$$
Determina:
- La funzione di costo totale, costo medio e costo marginale.
- La curva di offerta
- Rappresenta graficamente la situazione
SVOLGIMENTO
La funzione di costo totale è
$$TC=200+40x^{0,5}+0,5x^{2,2}\quad TC=FC+AVC$$
di cui riconosciamo i costi fissi e i costi variabili
$$FC=2$$
$$VC=40x^{0,5}+0,5x^{2,2}$$
La funzione costo medio totale ATC è dunque
$$ATC=\frac{TC}{x}=\frac{200+40x^0,5+0,5x^{2,2}}{x}=\frac{200}{x}+\frac{40}{x^{0,5}}+0,5x^{1,2}$$
Dove in particolare possiamo distinguere i costi fissi medi AFC e i costi variabili medi AVC
$$AFC=\frac{200}{x}$$
$$AVC=\frac{40}{x^{0,5}}+0,5x^{1,2}$$
La funzione di costo marginale MC è la derivata del costo totale o equivalentemente quella del costo variabile
$$MC=\frac{20}{x^{0,5}}+1,1x^{1,2}$$
In questo caso notiamo subito che la funzione di costo marginale e costo medio variabile sono due rette con la stessa intercetta
Per determinare il prezzo di chiusura ovvero il prezzo al quale l’impresa comincia a produrre bisogna risolvere l’equazione per cui i costi marginali eguagliano i costi medi variabili
$$\begin{aligned}&MC=AVC\quad\to\quad \frac{20}{x^{0,5}}+1,1x^{1,2}=\frac{40}{x^{0,5}}+0,5x^{1,2}\\&\\&0,6x^{1,2}=\frac{20}{x^{0,5}}\ \to\ x^{1,7}=\frac{20}{0,6}\ \to\ x=\left(\frac{20}{0,6}\right)^\frac{1}{1,7}=7,867\end{aligned}$$
In questo caso otteniamo che la quantità di chiusura vale 7,867.
Determinare il prezzo di profitto nullo non è per nulla semplice quindi procediamo con la rappresentazione grafica
La curva di offerta dell’impresa coincide con la curva di costo marginale a partire dal prezzo di chiusura
$$O_i:\quad P=\frac{20}{x^{0,5}}+1,1x^{1,2}$$
HAI QUALCHE DOMANDA ?
Se questo articolo ti ha fatto venire qualche domanda scrivila nei commenti.
IMPARA LA MICROECONOMIA
Prepara al meglio il tuo esame di microeconomia, accedendo al corso.
Comincia un viaggio che parte dalle scelte dei consumatori e delle imprese fino ad arrivare alle forme di mercato come libera concorrenza perfetta e il monopolio.
L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?
Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale
Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica
Visita il canale YouTube!