I costi sostenuti dall’impresa si suddividono in: costo totale (CT) , costo fisso (CF) e costo variabile (CV).
Il costo totale è definito come la somma del costo fisso e del costo variabile.
$$CT=CF+CV$$
INDICE
COSTO FISSO (CF)
Il costo fisso è quella parte di costo che è indipendente dalla quantitàprodotto.
Tra questo tipo di costo troviamo ad esempio l’investimento in macchinari, terreni, fabbricati, tecnologie e brevetti.
Tali costi sono in genere accompagnati da notevoli esborsi monetari.
Nella contabilità aziendale compaiono nell’attivo dello stato patrimonialenella voce immobilizzazioni.
A livello economico sono invece contabilizzati nel conto economico sotto la voce ammortamento.
COSTO VARIABILE (CV)
I costi variabili sono invece quei costi che dipendono dalla quantità prodotta.
Ne sono esempi i costi per le materie prime, i servizi, i salari e stipendi.
Nella contabilità sono segnalati nel conto economico nella voce B: costi della produzione.
GRAFICO DEL COSTO TOTALE, FISSO E VARIABILE
Il modo più semplice per rappresentare i costi è tramite funzioni all’interno del sistema cartesiano.
In tale grafico fissiamo lungo l’asse orizzontale la quantità x di beni prodotti dall’azienda.
Mentre sull’asse verticale misuriamo il valore dei costi.
COSTO FISSO (CF)
Il grafico del costo fisso è una retta orizzontale, parallela all’asse x che si trova al livello del valore dei costi fissi.
L’inclinazione orizzontale della retta significa che all’aumentare della quantità prodotta il costo non incrementa poiché è stato interamente sostenuto nella fase iniziale.
Tale costo risulta dunque indipendente dalla quantità prodotta.
Dal punto di vista matematico diciamo che la derivata prima del costo fisso rispetto alla quantità è pari a zero
$$CT’=0$$
COSTO VARIABILE (CV)
Il costo variabile è una funzione che parte dall’origine ed è strettamente crescente.
La funzione parte dall’origine perché quando la quantità prodotta è pari a zero il costo associato a questa quantità risulta nulla.
L’andamento della funzione è crescente poiché se aumenta la quantità prodotta deve necessariamente aumentare anche il costo associato.
Matematicamente parlando diciamo che la derivata prima dei costi variabili è certamente maggiore di zero
$$CV’>0$$
Nel caso più elementare (che rappresentiamo sotto) il costo variabile è identificato da una retta inclinata positivamente passante per l’origine del tipo
$$CV=cx$$
Dove il coefficiente angolare c della retta rappresenta il costo unitario per ogni nuova unità prodotta che rimane sempre costante
COSTO TOTALE (CT)
Il costo totale è per definizione la somma del costo fisso e di quello variabile.
CT=CV+CF$$
Dal punto di vista grafico è una traslazione della curva di costo variabile verso l’alto di un valore pari ai costi fissi.
Il punto di partenza di questa funzione è proprio il costo fisso, mentre risulta perfettamente parallela al costo variabile.
In termini matematici la derivata prima della funzione di costo totale è identica a quella del costo variabile
$$CT’=CV’$$
ESEMPIO PRATICO DI COSTO
Diamo ora una rappresentazione più concreta di costo totale, fisso e variabile.
Nella tabella sottostante sono riportati i costi fissi, variabili e totali di un impresa in riferimento alle prime 10 unità di bene prodotto
Sulla prima colonna è indicata la quantità x che varia da zero a 10.
Nella seconda colonna troviamo il costo fisso e come possiamo facilmente notare è sempre costante, ovvero è indipendente dalla quantità
Lungo la terza colonna è invece rappresentato il costo variabile.
I valori di questa colonna sono sempre in aumento.
Se notiamo bene però aumentano meno velocemente in un prima fase per aumentare poi più rapidamente in una seconda fase.
Nell’ultima colonna troviamo infine il costo totale dati dalla somma dei costi fissi e di quelli variabili.
L’aumento dei costi totali è esattamente identico a quello del costo variabile.
Nel grafico sottostante rappresentiamo i punti e le funzioni di costo che ne derivano.
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RENDIMENTI DI SCALA COSTANTI, CRESCENTI E DECRESCENTI
Osservando la funzione di costo variabile possiamo immediatamente capire se la funzione di produzione dell’impresa esprime rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti.
In particolare quando la funzione di costo variabile è lineare abbiamo rendimenti di scala costanti.
Quando invece tale funzione è concava ovvero presenta una concavità rivolta verso il basso i rendimenti di scala sono crescenti.
Infine abbiamo il caso della funzione convessa cioè con la concavità rivolta verso l’alto che indica la presenza di rendimenti decrescenti.
Vediamo meglio nel dettaglio questo aspetto.
RENDIMENTI DI SCALA COSTANTI
Quando la funzione di costo variabile è una funzione lineare (ovvero senza concavità) la funzione di produzione sottostante presenta rendimenti di scala costanti.
La linearità della funzione di costo si indica che per ottenere certo incremento percentuale della produzione ci basta incrementare i costi variabili della stessa percentuale.
Ad esempio se cogliamo ottenere un aumento della produzione del 30% ci basterà aumentare i costi variabili esattamente del 30%.
Questo significa che dovremo incrementare l’utilizzo del fattore (o dei fattori) produttivi esattamente nella misura del 30%.
Il che a sua volta significa che l’incremento dei fattori produttivi utilizzato (ad esempio capitale e lavoro) è direttamente proporzionale all’aumento della produzione.
Dal punto di vista matematico tale funzione di costo variabile si presenta nella forma
$$CV=cx$$
che è una retta passante per il centro.
In particolare il coefficiente c è il costo unitario variabile, ovvero il costo associato alla produzione di un bene in più che resta sempre costante.
Mentre x rappresenta il numero di unità della produzione (output)
Inoltre c rappresenta anche il coefficiente angolare della retta.
Dunque sempre il nostro c è anche la derivata prima del costo variabile.
$$CV’=c$$
Da notare che la derivata seconda di tale funzioni è pari a zero, in quanto la derivata prima di una costante
$$CV”=0$$
Questo indica l’assenza di concavità della funzione.
Nel grafico mostriamo dunque la funzione di costo variabile associata a rendimenti di scala costante.
RENDIMENTI DI SCALA CRESCENTI
Quando la funzione di costo variabile è una funzione concava (ovvero con concavità rivolta verso il basso) la funzione di produzione sottostante presenta rendimenti di scala crescenti.
La concavità della funzione di costo si indica che per ottenere certo incremento percentuale della produzione incrementiamo i costi variabili di una percentuale minore.
Ad esempio se cogliamo ottenere un aumento della produzione del 30% dovremo aumentare i costi variabili di una percentuale inferiore al 30%.
Questo significa che dovremo incrementare l’utilizzo del fattore (o dei fattori) produttivi di una misura inferiore del 30%.
Il che a sua volta significa che l’incremento dei fattori produttivi utilizzato (ad esempio capitale e lavoro) è meno che proporzionale rispetto all’aumento della produzione.
Oppure potremo dire che l’incremento della produzione è più che proporzionale rispetto all’incremento dei costi e quindi all’incremento dei fattori produttivi
Quindi i rendimenti di scala sono crescenti.
Una forma matematica molto utilizzata per esprimere questa relazione sfrutta la potenza con esponente positivo e minore di 1
$$CV=c\ x^\alpha\quad0<\alpha<1$$
In particolare il coefficiente c è il costo unitario variabile riferito ad una certa potenza della quantità prodotta
Mentre x rappresenta il numero di unità della produzione (output)
La derivata prima della funzione in questo caso è
$$CV’=\alpha c x^{\alpha-1}=\frac{\alpha c}{x^{1-\alpha}}\quad\text{con }\ 1-\alpha>0$$
Si tratta di una funzione positiva ma decrescente.
Ciò significa che il tasso di crescita della funzione diminuisce.
Questo fa si che la derivata seconda
$$CV”=\alpha(\alpha-1)c\ x^{alpha-2}=-\alpha(1-\alpha)\frac{c}{x^{2-\alpha}}$$
Non spaventatevi se non riuscite a comprendere queste scritture (molto spesso anche io quando le guardo ci capisco poco)
Il modo migliore è sempre fare un esempio pratico.
Consideriamo ad esempio la seguente funzione di costo variabile
$$CV=3x^{0,6}$$
La derivata prima è
$$CV’=3\cdot0,6\ x^{-0,4}=\frac{2,4}{x^{0,4}}$$
Questa risulta certamente positiva per le x reali e positive, dunque la funzione è crescente.
Passiamo alla derivata seconda
$$CV”=-0,4\cdot2,4\ x^{-1,4}=-\frac{0,96}{x^{1,4}}$$
Questa funzione è sempre negativa per le x positive dunque la funzione CV presenta una concavità negativa o verso il basso (concava)
Mostriamola nel grafico.
RENDIMENTI DI SCALA DECRESCENTI
Quando la funzione di costo variabile è una funzione convessa (ovvero con concavità rivolta verso l’alto) la funzione di produzione sottostante presenta rendimenti di scala decrescenti.
La convessità della funzione di costo si indica che per ottenere certo incremento percentuale della produzione incrementiamo i costi variabili di una percentuale maggiore.
Ad esempio se cogliamo ottenere un aumento della produzione del 30% dovremo aumentare i costi variabili di una percentuale superiore al 30%.
Questo significa che dovremo incrementare l’utilizzo del fattore (o dei fattori) produttivi di una misura maggiore del 30%.
Il che a sua volta significa che l’incremento dei fattori produttivi utilizzato (ad esempio capitale e lavoro) è più che proporzionale rispetto all’aumento della produzione.
Oppure potremo dire che l’incremento della produzione è meno che proporzionale rispetto all’incremento dei costi e quindi all’incremento dei fattori produttivi
Quindi i rendimenti di scala sono decrescenti.
Una forma matematica molto utilizzata per esprimere questa relazione sfrutta la potenza con esponente positivo e maggiore di 1
$$CV=c\ x^\alpha\quad\alpha>1$$
In particolare il coefficiente c è il costo unitario variabile riferito ad una certa potenza della quantità prodotta
Mentre x rappresenta il numero di unità della produzione (output)
La derivata prima della funzione in questo caso è
$$CV’=\alpha c\ x^{\alpha-1}\quad\alpha-1>0$$
Si tratta di una funzione positiva e crescente.
Ciò fa si che il tasso di crescita della funzione aumenti.
Dunque la derivata seconda è certamente positiva, ovvero la concavità è rivolta verso l’alto)
$$CV”=\alpha(\alpha-1)c\ x^{\alpha-2}
Anche qui il modo migliore di affrontare il tema è sempre tramite un esempio pratico.
Consideriamo ad esempio la seguente funzione di costo variabile
$$CV=2x^{1,5}$$
La derivata prima è
$$CV’=2\cdot1,5\ x^{0,5}=3x^{0,5}$$
Questa risulta certamente positiva per le x reali e positive, dunque la funzione è crescente.
Passiamo alla derivata seconda
$$CV”=3\cdot0,5\ x^{-0,5}=\frac{1,5}{x^{0,5}}$$
Questa derivata è sempre positiva per le x positive dunque la funzione CV presenta una concavità positiva o verso l’alto (convessa)
Mostriamola nel grafico.
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