FUNZIONE DI PRODUZIONE CON DUE FATTORI PRODUTTIVI 

FUNZIONE DI PRODUZIONE CON DUE FATTORI PRODUTTIVI 

La funzione di produzione che utilizza due fattori produttivi amplia il ragionamento che abbiamo fatto a proposito della funzione con un fattore produttivo.

Ipotizziamo dunque che la produzione della nostra azienda dipenda ora da due fattori produttivi ad esempio X1 e X2.

Dunque possiamo scrivere la quantità prodotta in questo modo

$$Q=f(x_1,x_2)$$

Tanto per rendere più reale la percezione di questi fattori produttivi (input) diamogli anche dei nomi: ad esempio lavoro L e capitale K.

Che fantasia 😉

Dunque possiamo scrivere la quantità prodotta (output) come funzione di K e L

$$Q=f(L,K)$$

Un esempio di funzione molto utilizzate che sfrutta potenze di funzioni è la funzione di produzione di Cobb-Douglass applicata all’impresa del tipo 

$$Q=L^\alpha K^\beta$$

 dove A è un coefficiente reale positivo e 𝛼 e 𝛽 che sono i coefficienti tecnologici associati al lavoro L e al capitale K.

ESEMPIO DI FUNZIONE DI PRODUZIONE A DUE FATTORI

Un esempio di funzione di produzione che sfrutta due input nel processo produttivo è 

$$Q=L^{0,6}K^{0,4}$$

Questa funzione permette di calcolare il livello di output ovvero la quantità prodotta quando si conosce la quantità di input immessi, ovvero i fattori produttivi lavoro L e capitale K.

Ad esempio proviamo a calcolare il livello di output quando immettiamo 5 unità di capitale e 4 unità di lavoro

$$Q=f(L,K)$$

(chiaramente usiamo una calcolatrice) 

(non lasciamoci spaventare dai risultati con la virgola) 

Allo stesso modo andiamo a calcolare le quantità di output in riferimento alle seguenti combinazioni del tipo (L,K) : (2,8) , (7,3) , (10,1) , (7, 8) 

$$\begin{array}{l} (L,K)=(2,8)&\to&Q=2^{0,6}\cdot8^{0,4}=3,482\\(L,K)=(7,3)&\to&Q=7^{0,6}\cdot3^{0,4}=4,987\\ (L,K)=(10,1)&\to&Q=10^{0,6}\cdot1^{0,4}=3,981\\ (L,K)=(7,8)&\to&Q=7^{0,6}\cdot8^{0,4}=7,981\\ \end{array}$$

La cosa interessante è che quando siamo di fronte a funzioni che combinano due fattori possiamo rappresentare queste combinazioni all’interno di un sistema cartesiano.

In particolare costruiamo un sistema cartesiano dove sull’asse orizzontaleabbiamo la quantità di lavoro L mentre sull’asse verticale la quantità di capitale K.

Ogni punto del sistema cartesiano indica una combinazione di fattori che inserita nella funzione ci fa ottenere un certo output.

Rappresentiamo quindi le combinazioni appena viste indicandone l’output della funzione.

Proviamo ora ad immaginare che il valore della quantità lo possiamo posizionare su un terzo asse di solito chiamato asse z , in questo caso asse delle Q.

E pensiamo di posizionare a terra il piano (XOY) che nel nostro caso è (LOK)mentre l’asse delle Q si sviluppa verso l’alto perpendicolarmente alla terra.

Se facciamo un numero sufficiente di punti saremo in grado di visualizzare una superficie.

Tale superficie è la nostra funzione a due variabili Q=f(L,K) 

GLI ISOQUANTI NELLE FUNZIONI DI PRODUZIONE

Gli isoquanti sono un insieme di combinazioni di fattori (input)  che si trova allostesso livello di produzione (output).

Graficamente un isoquanto è una curva della funzione di produzione che si trova alla stesso livello Q.

Otteniamo tale curva intersecando la funzione di produzione con un piamo parallelo al piano di riferimento

Matematicamente possiamo calcolare l’equazione della curva mettendo a sistema la funzione di produzione con l’equazione del piano costante.

$$\begin{cases} Q=f(L,K)\\ Q=Q_0\end{cases}$$

In pratica basta eguagliare la funzione di produzione al livello Q₀ desiderato

$$f(L,K)=Q_0$$

ESEMPIO DEL CALCOLO DI ISOQUANTI

Andiamo ora a rappresentare gli isoquanti all’interno del sistema bidimensionale

Consideriamo la funzione di produzione vista sopra

$$Q=L^{0,6}K^{0,4}$$

Leggiamo l’equazione al contrario ed esplicitiamo il valore deK in funzione di L e Q

$$L^{0,6}K^{0,4}=Q$$

Dividiamo per L^0,6

$$K^{0,4}=\frac{Q}{L^{0,6}}$$

Eleviamo quindi tutto alla 1/0,4

$$(K^{0,4})^\frac{1}{0,4}=\left(\frac{Q}{L^{0,6}}\right)^\frac{1}{0,4}$$

Applichiamo qualche proprietà delle potenze (ovviamente possiamo anche tenere la forma precedente) 

$$K=\left(\frac{Q}{L^{0,6}}\right)^\frac{1}{0,4}=\frac{Q^\frac{1}{0,4}}{L^\frac{0,6}{0,4}}=\frac{Q^\frac{10}{4}}{L^\frac{6}{4}}=\frac{Q^\frac{5}{2}}{L^\frac{3}{2}}$$

Ecco che abbiamo ricavato l’equazione del nostro isoquanto generico 

$$K=\frac{Q^\frac{5}{2}}{L^\frac{3}{2}}$$

Fissiamo ora un certo livello di quantità Q ad esempio Q=3

$$Q=3\quad\to\quad K=\frac{3^\frac{5}{2}}{L^\frac{3}{2}}=\frac{15,588}{L^\frac{3}{2}}$$

Ora possiamo determinare le combinazioni di lavoro e capitale per ottenere un output pari a 3 semplicemente dando ad L alcuni valori e calcolando i corrispondenti valori di K.

Diamo ad esempio ad L i valori : 2,3,4,5,6

$$\begin{array}{l}L=2&\to&K=\frac{15,588}{2^\frac{3}{2}}=5,51&\to&(L,K)=(2;\ 5,51)\\ L=3&\to&K=\frac{15,588}{3^\frac{3}{2}}=3&\to&(L,K)=(3;\ 3)\\ L=4&\to&K=\frac{15,588}{4^\frac{3}{2}}=1,95&\to&(L,K)=(4;\ 1,95)\\ L=5&\to&K=\frac{15,588}{5^\frac{3}{2}}=1,39&\to&(L,K)=(5;\ 1,39)\\ L=6&\to&K=\frac{15,588}{6^\frac{3}{2}}=1,06&\to&(L,K)=(2;\ 1,06)\\ \end{array}$$

Rappresentiamo dunque i punti nel sistema cartesiano unendoli attraverso la curva dell’isoquanto 

Seguendo la stessa procedura possiamo rappresentare anche gli isoquanti con valore di produzione 1,2,4,5

Nella figura sotto possiamo ammirarli anche in una prospettiva tridimensionale

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CARATTERISTICHE DEGLI ISOQUANTI

Le curve che descrivono gli isoquanti hanno tre importanti caratteristiche: decrescenza, convessità e non intersezione.

DECRESCENZA

La prima caratteristica è la decrescenza della curva.

L’isoquanto è una curva decrescente perché quando aumentiamo l’impego di un fattorenel processo produttivo dobbiamo per forza diminuire l’impiego dell’altro fattore per lasciare inalterato l’output prodotto.

Ad esempio quando se aumentiamo le unità di lavoro dobbiamo diminuire l’impiego del capitale per far si che la produzione non cambi.

CONVESSITA’

La caratteristica della convessità degli isoquanti ha la seguente ragione.

A mano a mano togliamo capitale nel processo di produzione dobbiamo inserire lavoro in maniera più che proporzionale per lasciare identico il livello di produzione totale.

Lo stesso ragionamento vale viceversa.

Nella figura sotto si può ben notare che ogni volta che diminuiamo il capitale impiegato aggiungiamo via via sempre più lavoro per non modificare la produzione.

Questa caratteristica può essere riassunta con il concetto di saggio marginale di sostituzione tecnica che varia costantemente lungo l’isoquanto.

NON INTERSEZIONE DEGLI ISOQUANTI 

La terza importante caratteristica degli isoquanti è la non intersezione.

Questo aspetto è importante perché ogni punto dell’isoquanto  è associato ad unadeterminata quantità prodotta che rimane costante lungo tutto quell’isoquanto.

Se due isoquanti si intersecano significa che quel punto di intersezione permette di ottenere due livelli produttivi differenti, il che è impossibile.

SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE TECNICA

Abbiamo già notate come lungo ogni curva di utilità vari continuamente il saggio marinale di sostituzione tecnica tra i fattori di produzione

Con questo termine intendiamo la quantità di capitale K cui si deve rinunciare nel processo produttivo per immettere una unità in più di lavoro L per lasciare inalterato il valore della produzione.

Nel punto A  della figura l’impresa dispone relativamente di una quantità maggiore di capitale K rispetto al lavoro L.

La quantità di capitale K cui si rinuncia per avere una unità in più del fattore lavoro L è quindi percepita in modo più marcato.

In particolare definiamo questa quantità come il saggio marginale della curva nel punto A e scritto in linguaggio matematica è:

$$SMST(A)=\frac{\Delta\ K_A}{\Delta\ L_A}$$

Detto in altre parole quando ci troviamo in prossimità del punto A sia disposti a rinunciare alla quantità ∆K_A di capitale in cambio di una quantità ∆L_A del fattore lavoro per fare in modo che la produzione totale non cambi.

Nel punto B l’impresa dispone di una quantità di fattore K relativamente uguale rispetto al valore di L.

In questo caso quindi la quantità ∆K_B cui è disposto a rinunciare per immettere una quantità ∆L_B di modo da lasciare inalterato il valore della produzione è relativamente minore rispetto al punto A.

Il rapporto di tali quantità (∆K rispetto a ∆L) viene definito saggio marginale di sostituzione tecnica nel punto B.

$$SMST(B)=\frac{\Delta\ K_B}{\Delta\ L_B}$$

La cosa è maggiormente evidente nel punto C dove l’impresa dispone di ancora più capitale e il saggio marginale sarà ancora minore

Muovendoci lungo la curva di isoquanto vi è la tendenza alla diminuzione del saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro

Possiamo quindi affermare che 

$$|SMST(C)|<|SMST(B)|<|SMST(A)|$$

Da un punto di vista strettamente geometrico i saggi marginali di sostituzione tecnica indicano la pendenzaovvero il coefficiente angolare della retta tangente all’isoquanto in quel paniere

Si può dimostrare che tale valore è il rapporto tra le derivate parziali della funzione di produzione (x rispetto alla y) calcolate in quel punto.

Matematicamente possiamo calcolare il saggio marginale di sostituzione tecnica come lo abbiamo inteso come il rapporto tra le derivate parziali (lavoro su capitale) 

$$SMST=\frac{\frac{\partial Q}{\partial L}}{\frac{\partial Q}{\partial K}}=\frac{Q’_L}{Q’_K}$$

Risulta dunque chiaro che per calcolare il saggio marginale dobbiamo conoscere le regole di derivazione di funzioni a due variabili.

Calcoliamo questo saggio nel caso della funzione di Cobb-Douglass per la produzione

$$Q(L,K)=L^\alpha\ K^\beta$$

La derivata parziale della funzione utilità rispetto alla L è:

$$\frac{\partial Q}{\partial L}=Q’_L=\alpha\ L^{\alpha-1}\ K^\beta$$

Mentre la derivata parziale rispetto alla K risulta

$$\frac{\partial Q}{\partial L}=Q’_K=\beta\ L^\alpha\ K^{\beta-1}$$

Dunque avremo che il saggio marginale di sostituzione tecnica della funzione di produzione è:

$$SMST=\frac{\frac{\partial Q}{\partial L}}{frac{\partial Q}{\partial K}}=\frac{Q’_L}{Q’_K}=\frac{\alpha\ L^{\alpha-1}\ K^\beta}{\beta\ L^\alpha\ K^{\beta-1}}=\frac{\alpha\ K}{\beta\ L}$$

LA FUNZIONE DI PRODUZIONE DI LEONTIEF 

Tra le varie categorie di funzioni di produzione ve n’è una molto particolare che prende il nome di funzione di Leontief.

La forma tipica di questa funzione è 

$$Q=\text{min}(\alpha\ L,\ \beta\ K)$$

Dove min(…) sta per : il minimo valore tra

La particolarità di questa funzione è nella forma dei suoi isoquanti che sono ad angolo retto.

La forma in oggetto è usata per quei processi produttivi che utilizzano gli input in quantità stabilite:   𝛽 unità di lavoro e 𝛼 unità di capitale (non è un errore)

Ad esempio per raggiungere un certo livello di produzione per ogni 2 unità di lavoro se ne impiegano 3 di capitale.

Il meccanismo è talmente rigido che se teniamo fisso uno dei due fattori e incrementiamo l’altro la produzione non aumenta.

Se ad esempio stiamo usando 2 unità di lavoro e ne usiamo 4,5 o di capitale il risultato è lo stesso che usarne 3 di capitale.

Possiamo descrivere proprio questo esempio con la funzione 

$$\begin{aligned}&Q=\text{min}(3L,2K)\\&\\&\text{min}(3L,2K)\ \text{significa il valore minimo tra $3L$ e $2K$}\end{aligned}$$

Proviamo ad esempio a calcolare il quantitativo Q di output proprio in riferimento a 2 unità di lavoro (L=2) e 3 unità di capitale (K=3) 

$$(L=2,\ K=3)\quad\to\quad Q=\text{min}(3\cdot2, 2\cdot3)=\text{min}(6,6)=6$$

Se rispetto a questa situazione incrementiamo il capitale (ad esempio 4,5 o 6) la produzione resta comunque ancorata a 6

$$\begin{array}{l}(L=2,K=4)&\to&Q=\text{min}(3\cdot2,2\cdot4)=\text{min}(6,8)=6\\(L=2,K=5)&\to&Q=\text{min}(3\cdot2,2\cdot5)=\text{min}(6,10)=6\\(L=2,K=6)&\to&Q=\text{min}(3\cdot2,2\cdot6)=\text{min}(6,12)=6\end{array}$$

La stessa cosa accade quando lasciamo fisso il capitale a 3 unità ed incrementiamo il lavoro oltre le due unità ad esempio ai livello 3,4 o 5

$$\begin{array}{l}(L=3,K=3)&\to&Q=\text{min}(3\cdot3,2\cdot3)=\text{min}(9,6)=6\\(L=4,K=3)&\to&Q=\text{min}(3\cdot4,2\cdot3)=\text{min}(12,6)=6\\(L=5,K=3)&\to&Q=\text{min}(3\cdot5,2\cdot3)=\text{min}(15,6)=6\end{array}$$

Questo significa che tutte le combinazioni di fattori appena viste si trovano sullo stesso isoquanto al livello di produzione 6.

Tale isoquanto risulta essere ad angolo retto

RENDIMENTI DI SCALA CRESCENTI, DECRESCENTI E COSTANTI

Dalla posizione dei gli isoquanti possiamo immediatamente renderci conto se i rendimenti di produzione sono crescenti, decrescenti o costanti.

RENDIMENTI DI SCALA COSTANTI 

Consideriamo una funzione di produzione e isoquanti con variazioni costanti di quantità.

Ad esempio per Q=100 , Q=200, Q=300 e così via

Quando la distanza tra questi isoquanti è costante allora diciamo che la funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti.

Ovvero se immettiamo ad esempio il 30% in più di input (dunque aumentiamo del 30% sia il lavoro che il capitale) anche la produzione aumenta del 30%.

Per valutare la distanza tra gli isoquanti possiamo ad esempio valutare la distanza tra i vertici degli stessi.

Consideriamo ad esempio la funzione di produzione vista prima.

$$Q=L^{0,5}K^{0,5}$$

Rappresentiamo gli isoquanti ai livelli 20,30,40, 50.

Osserviamo facilmente che la distanza tra i vertici degli isoquanti e quindi tra gli isoquanti stessi rimane costante.

Dunque possiamo affermare che i rendimenti della funzione di produzione sono costanti 

Per le funzioni del tipo Cobb-Douglass esiste un piccolo trucchetto per capire matematicamente se i rendimenti di scala sono costanti.

Ci basta semplicemente che la somma degli esponenti sia pari ad uno.

$$Q=L^\alpha\ L^\beta\quad\alpha+\beta=1\quad\to\quad\text{rendimenti di scala costanti}$$

RENDIMENTI DI SCALA CRESCENTI 

Considerata sempre la funzione di utilità e i suoi isoquanti con differenza di produzione costante diciamo che i rendimenti di scala sono crescenti se la distanza tra gli isoquanti diminuisce.

Questo significa che se vogliamo incrementare il livello di produzione della stessa quantità servirà un utilizzo di input meno che proporzionale.

In parole più semplici se vogliamo aumentare la produzione del 30% dobbiamo aumentare gli input di produzione meno del 30%.

Prendiamo ad esempio in esame la funzione di produzione

$$Q=L^{0,8}K^{0,9}$$

Rappresentiamo gli isoquanti ai livelli 100, 200, 300, 400.

Osserviamo facilmente che la distanza tra i vertici degli isoquanti e quindi tra gli isoquanti stessi diminuisce.

Dunque possiamo affermare che i rendimenti della funzione di produzione sono crescenti

Nella funzione di Cobb-Douglass per la produzione ci accorgiamo subito perché la somma degli esponenti (positivi) è maggiore di uno

$$Q=L^\alpha\ L^\beta\quad\alpha+\beta>1\quad\to\quad\text{rendimenti di scala crescenti}$$

RENDIMENTI DI SCALA DECRESCENTI 

Considerata sempre la funzione di utilità e i suoi isoquanti con differenza di produzione costante diciamo che i rendimenti di scala sono decrescenti se la distanza tra gli isoquanti aumenta.

Questo significa che se vogliamo incrementare il livello di produzione della stessa quantità servirà un utilizzo di input più che proporzionale.

usando parole più semplici se vogliamo aumentare la produzione del 30% dobbiamo aumentare gli input di produzione più del 30%.

Prendiamo ad esempio in esame la funzione di produzione

$$Q=L^{0,3}K^{0,2}$$

Rappresentiamo gli isoquanti ai livelli 4, 6, 8, 10.

Osserviamo facilmente che la distanza tra i vertici degli isoquanti e quindi tra gli isoquanti stessi aumenta.

Dunque possiamo affermare che i rendimenti della funzione di produzione sono decrescenti 

Nella funzione di Cobb-Douglass per la produzione ci accorgiamo subito perché la somma degli esponenti (positivi) è minore di uno

$$Q=L^\alpha\ L^\beta\quad\alpha+\beta<1\quad\to\quad\text{rendimenti di scala decrescenti}$$

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