In questo articolo parliamo della funzione di produzione e ci concentriamo in particolare su quella ad un fattore.
In un altro articolo ampliamo poi il discorso sulle funzioni di produzione che utilizzano due fattori.
INDICE
FUNZIONE DI PRODUZIONE – DEFINIZIONE
Una funzione di produzione esprime una relazione tra i fattori produttivi di un processo di produzione detti input e il valore della produzione.
Dal punto di vista matematico si presenta come una funzione del tipo
$$Q=f(x)$$
dove in particolare
$$\begin{aligned}&\text{$Q$ indica la quantità prodotta}\\&\\&\text{$x_1,x_2,\dots,x_n$ è la quantità in input nel processo di produzione}\end{aligned}$$
Possiamo pensare ad esempio al prodotto finale come un’automobile.
Per produrre questa automobile servono fattori produttivi come terra, lavoro e capitale.
Questi elementi sono combinate attraverso una funzione di produzione che segue regole matematiche
Per trattare questo interessante argomento partiamo da una funzione produttiva che dipende inizialmente da un solo input e quindi sarà una funzione ad una variabile reale del tipo:
$$Q=f(x)$$
In un secondo momento tratteremo di una funzione di produzione che dipende da due fattori produttivi che chiameremo per semplicità lavoro (L) e capitale (K).
Tale sarà rappresentato da una funzione a due variabili reali del tipo
$$Q=f(x_1,x_2)=f(L,K)$$
Un passaggio interessante sarà quello dedicato al passaggio da un breve periodo ad un lungo periodo in cui supponiamo fisse le quantità di un fattore (generalmente il capitale K)
Arriveremo poi a sfiorare una concezione di funzione di produzione basata sull’utilizzo di k fattori produttori produttivi con una funzione di k variabili reali del tipo
$$Q=f(x_1,x_2,\dots,x_k)$$
FUNZIONE DI PRODUZIONE CON UN SOLO INPUT
Supponiamo per semplicità che la produzione della nostra azienda dipenda da un solo fattore produttivo (input) che chiamiamo X.
Indichiamo inoltre con x la quantità di input immesso nel processo di produzione.
Possiamo quindi indicare con f(x) la funzione di produzione che indica la quantità di prodotto (output), dunque scriviamo che
$$y=f(x)$$
Esempi matematici di questo tipo di funzione sono:
$$y=3x\quad y=\sqrt{x}\quad y=x^2\quad y=e^{x-1}\quad y=\log(x+1)$$
In pratica sono le classiche funzioni ad una variabile reale.
Affinché f(x) possa essere considerata una funzione di produzione deve avere due caratteristiche principali: continuità e crescenza.
Vi è poi una caratteristica ovvia: ovvero se non immettiamo alcun input non abbiamo output.
CONTINUITÀ
La continuità della funzione deve aver luogo in un intervallo positivo del tipo [0,x)
Essa indica che non possono esservi interruzioni tra l’input immesso e l’output in questo intervallo.
CRESCENZA
La seconda caratteristica è la crescenza della funzione.
In particolare questo aspetto ci sta dicendo che se inseriamo maggiore input inseriamo nel processo produttivo avremo certamente anche un maggiore output.
Dal punto di vista matematico questa caratteristica si trasmette nel segno della derivata prima della funzione che deve essere necessariamente positiva
$$f'(x)>0\quad\text{nell’intervallo ${0,x)$}$$
Nel grafico sottostante è mostrato un esempio su come potrebbe essere fatta una generica funzione di produzione ad un fattore produttivo
VALORE DELLA FUNZIONE CON ZERO INPUT
Sembra quasi scontato dire che se all’terno di un processo prodotto non immettiamo alcun input allora non otterremo alcun output.
Questo non è sempre così scontato all’interno della matematica per cui dobbiamo imporre che la nostra funzione passi per l’origine.
Detto in gergo più tecnico dobbiamo imporre che il valore della funzione in x=0 sia pari a zero ovvero:
$$f(0)=0$$
RENDIMENTI DI SCALA COSTANTI, CRESCENTI E DECRESCENTI
Un aspetto di particolare importanza all’interno della teoria delle funzioni di produzione sono i rendimenti di scala produttiva che possono essere: costanti, crescenti o decrescenti.
La domanda che ci stiamo ponendo è:
Se inseriamo nel processo di produzione continuiamo ad aggiungere in maniera costante una unità aggiuntiva di fattore produttivo come reagirà la produzione(output)?
L’output continuerà a crescere sempre in modo costante?
Oppure a mano a mano che andiamo avanti la produzione crescerà in maniera più o meno che proporzionale.
RENDIMENTI DI SCALA COSTANTE
Nel primo caso parliamo di rendimenti di scala costante.
Ovvero ogni volta che aumentiamo l’input x in maniera costante anche la produzione sale in maniera costante.
Consideriamo ad esempio la figura sottostante dove è mostrata la funzione di produzione
$$Q=2x$$
Ogni volta che aumentiamo la x di una unità la produzione sale sempre di due unità.
Questo tipo di andamento è detto rettilineo.
Dal punto di vista matematico dichiamo che la derivata prima della funzione è sempre la stessa ed indica appunto l’aumento di output Q che rimane costante.
$$f'(x)=k\quad\forall x\in[0,x)$$
La derivata prima è sempre uguale k per ogni valore di x che appartiene all’intervallo [0,x) che stiamo considerando
Nel caso dell’esempio sopra il valore della derivata è pari a 2.
Infatti ogni volta che aumentiamo la x ovvero il nostro input di una unità la produzione salirà esattamente di 2 unità.
Un altro aspetto rilevante è il valore della derivata seconda della funzione che è nulla, ovvero uguale a zero
$$f”(x)=0$$
Detto in altre parole la funzione di produzione non è ne concava ne convessa ma semplicemente lineare
RENDIMENTI DI SCALA CRESCENTI
La funzione di produzione presenta rendimenti di scala crescenti quando ad un aumento costante dell’input corrisponde un aumento dell’output sempre maggiore.
Possiamo anche dire che l’output aumenta in maniera più che proporzionale rispetto all’input
In questo caso non solo diciamo che la derivata prima è positiva ma è sempre crescente.
La derivata seconda della funzione è dunque positiva.
$$f”(x)>0$$
Ovvero che la funzione presenta una concavità rivolta verso l’alto
Come possiamo facilmente osservare nella figura sottostante ogni volta che incrementiamo l’input di una unità la variazione della quantità Q risulta sempre maggiore.
Per descrivere questa situazione si utilizza spesso un tipo di funzione particolare che assume la forma di potenza
$$Q=A\ x^\alpha\quad\text{con }\ \A>0,\ \alpha>1\\ \begin{aligned}\text{$A$ è semplicemente un coefficiente positivo $(A>0$}&\\&\text{$\alpha$ è l’esponente che è maggiore di 1 $(\alpha>1$}\\&\end{aligned}$$
Quando l’esponente 𝛼 è maggiore di 1 i rendimenti di scala sono crescenti.
Possiamo pensare ad 𝛼 come al livello della tecnologia o della produttività
Ad esempio possiamo trovare funzioni come ad esempio
$$Q=x^{1,2}\quad Q=3x^{1,7}$$
RENDIMENTI DI SCALA DECRESCENTI
La funzione di produzione presenta rendimenti di scala decrescenti quando ad un aumento costante dell’input corrisponde un aumento dell’output sempre minore.
Possiamo anche dire che l’output aumenta in maniera neno che proporzionalerispetto all’input
In questo caso non solo diciamo che la derivata prima è positiva ma è sempre decrescente.
La derivata seconda della funzione è dunque negativa.
$$f”(x)<0$$
Ovvero che la funzione presenta una concavità rivolta verso il basso
Come possiamo facilmente osservare nella figura sottostante ogni volta che incrementiamo l’input di una unità la variazione della quantità Q risulta sempre minore.
Anche in questo caso una funzione molto utilizzata per descrivere questo tipo di funzione è sempre la potenza con il valore tecnologico di 𝛼 è compreso tra 0 e 1
$$Q=A\ x^\alpha\quad\text{con }\ \A>0,\ 0<\alpha<1\\ \begin{aligned}\text{$A$ è semplicemente un coefficiente positivo $(A>0$}&\\&\text{$\alpha$ è l’esponente che è maggiore di 1 $(0<\alpha<1$}\\&\end{aligned}$$
Riportiamo due esempi
$$Q=x^{0,3}\quad Q=3x^{0,8}$$
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