In questo articolo definiamo cosa sono i panieri e curva di utilità nella teoria del consumatore
Ci troviamo all’interno della microeconomia in particolare nella teoria del consumatore.
INDICE
IL PANIERE DI BENI
Un paniere è un insieme di beni che può essere scelto da un consumatore.
Per rendere più reale il concetto di paniere supponiamo che il nostro consumatorepossa scegliere tra il consumo di due beni ad esempio case (in metri quadri) e cibo.
Indichiamo con x la quantità di metri quadri di case e con y la quantità di cibo.
Possiamo rappresentare questa situazione in un sistema cartesiano, dove sull’asse delle x abbiamo la quantità di case (in metri quadri) e sull’asse delle y la quantità di cibo.
Ogni punto del sistema cartesiano identifica uno specifico paniere, ovvero una specifica combinazione di casa e cibo.
Ad esempio possiamo chiamare il punto A (3,2) il paniere che contiene 3 metri quadri di casa e 2 unità di cibo.
Allo stesso modo si possono indicare i panieri
$$B(2,5)\qquad C(6,2)\qquad D(5,5,)$$
Ad ogni paniere si fa corrispondere un certo valore di utilità del nostro consumatore.
Questo valore di utilità può essere misurato in modo matematico e riusciamo a farlo grazie alla funzione di utilità.
CURVA DI UTILITA’ O INDIFFERENZA
La funzione di utilità detta anche funzione di soddisfazione o benessere è una relazione che associa ad ogni paniere del tipo (x,y) (che identifica le quantità consumate de beni) un determinato livello di utilità.
Una caratteristica peculiare di tale funzione è che deve essere strettamente crescente.
Nel senso che se fissiamo una determinata quantità di bene x la funzione crescecertamente al crescere della quantità y.
Lo stesso discorso deve ovviamente valere anche viceversa.
Nella teoria del consumatore perfettamente razionale il termine utilità coincide anche con i termini: soddisfazione, benessere e indifferenza.
Supponiamo ad esempio di avere la seguente funzione di utilità:
$$U(x,y)=xy$$
In questo caso l’utilità che il consumatore trae dal consumo è semplicemente pari al prodotto dei beni consumati.
Torniamo al caso visto nel paragrafo precedente in corrispondenza dei panieri
$$A(3,2)\quad B(2,5)\quad C(6,2)\quad D(5,5)$$
e calcoliamo in corrispondenza di ogni paniere il livello di utilità usando la funzione vista.
$$\begin{aligned}&A(3,2)\to U(A)=U(3,2)=3\cdot2=6\\&B(2,5)\to U(B)=U(2,5)=2\cdot5=10\\&C(6,2)\to U(C)=U(6,2)=6\cdot2=12\\&D(5,5)=5\cdot5=25\end{aligned}$$
Possiamo dunque stabilire una generarchia in termini di preferenza del consumatore.
In particolare diciamo che il paniere D è preferito rispetto al paniere C che è preferito rispetto a B il quale è preferito ad A
Scritto in maniera matematica diventa
$$\begin{aligned}&D\succ C\succ B\succ A\\&\\&\succ:\ \text{è preferito rispetto a}\end{aligned}$$
Ovviamente possiamo scrivere la relazione in maniera crescente rispetto al grado di soddisfazione
$$\begin{aligned}&A\prec B\prec C\prec D\\&\\&\prec:\ \text{è meno preferito rispetto a}\end{aligned}$$
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE CURVE DI INDIFFERENZA
Possiamo anche tracciare una mappa delle curve di indifferenza.
In particolare scopriamo che in riferimento ad un certo livello di utilità esistono (matematicamente) infiniti panieri che sono associati ad un certo valore di utilità.
Questi infiniti panieri si trovano sulla stessa curva.
La curva si sposta verso destra e verso l’alto quando cresce il livello di soddisfazione del consumatore
Ad esempio se consideriamo sempre la funzione di utilità già vista sopra
$$U(x,y)=xy$$
vediamo che si tratta di un fascio di iperboli.
Tali iperboli si spostano in alto a destra quando cresce il livello di utilità.
ALTRE FUNZIONI DI UTILITA’
Dal punto di vista matematico possiamo individuare tantissime funzioni di utilità o di indifferenza.
Tra questa miriade di possibilità individuiamo tre tipologie di curve di indifferenza molto utilizzate nell’ambito degli studi di micro economia:
- Cobb-Douglas
- Beni complementari
- Perfetti sostituti
FUNZIONE DI COBB-DOUGLASS PER BENI NORMALI
La curva di utilità maggiormente studiata prende il nome di curva di Cobb-Douglas e sono del tipo
$$U(x,y)=x^\alpha y^\beta\quad \alpha,\beta>0$$
Ad esempio possiamo trovare
$$U(x,y)=x^2y\quad U(x,y)=xy^2\quad U(x,y)=x^2y^3\quad U(x,y)=x^{0,3}y^{0,5}$$
Le curve di indifferenza di questa funzione appaiono come un fascio di iperboli più o meno strette a seconda dei valori degli esponenti 𝛼 e 𝛽.
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FUNZIONE DI UTILITÀ PER BENI COMPLEMENTARI
Un’altra tipologia famosa di funzione di utilità è quella usata per i beni complementaried è del tipo:
$$U(x,y)=\text{min}(\alpha x, \beta y)\quad \alpha,\beta>0$$
Appartengono a questa categoria
$$U(x,y)=\text{min}(x,y)\quad U(x,y)=\text{min}(2×3,y)\quad U(3x,y)=\text{min}(x,y)$$
Proviamo ad applicare questa tipologia di curva all’esempio di riferimento delle case e del cibo.
Consideriamo ad esempio la funzione specifica
$$U(x,y)=\text{min}(2×3,y)$$
e applichiamola sempre ai panieri
$$A(3,2)\quad B(2,5)\quad C(6,2)\quad D(5,5)$$
Partiamo dal primo paniere A(3,2)
$$A(3,2)\ \to\ U(A)=\text{min}(2\cdot3, 3\cdot2)=\text{min}(6,6)=6$$
In pratica ci è chiesto di individuare il valore minimo (min) tra 6 e 6, che dunque risulta essere semplicemente 6.
Il paniere A si trova su una curva di indifferenza al livello 6.
Ora che abbiamo capito la procedura applichiamola agli altri panieri
$$B(2,5)\ \to\ U(B)=\text{min}(2\cdot2, 3\cdot5)=\text{min}(4,15)=4$$
Il paniere B si trova dunque su una curva di indifferenza inferiore al paniere A al livello di 4.
$$C(6,2)\ \to\ U(C)=\text{min}(2\cdot6, 3\cdot2)=\text{min}(12,6)=6$$
Il paniere C è sulla stessa curva di indifferenza del paniere A
Dunque possiamo affermare che il paniere C è indifferente in termini di consumo al paniere A.
$$A\approx C\qquad\approx\ \text{è il simbolo di indifferente}$$
Il paniere D è preferito rispetto agli altri tre, infatti la sua utilità è pari a 10:
$$D(5,5)\ \to\ U(D)=\text{min}(2\cdot5, 3\cdot5)=\text{min}(10,15)=10$$
Riassumendo la preferenza dei panieri possiamo scrivere che
$$B\prec A\approx C\prec D$$
Dal punto di vista grafico questa tipologia di curva si presenta con una forma a L
In generale tutte le punte della L (dove si trova l’angolo retto) della funzione
$$U(x,y)=\text{min}(\alpha x, \beta y)$$
Si trovano sulla retta passante per il centro
$$\alpha x=\beta y\ \to\ y=\frac{\alpha}{\beta}x$$
FUNZIONI DI UTILITÀ PER BENI SOSTITUTI
Quando i beni sono perfetti sostituiti si preferisce usare la seguente tipologia di funzione lineare
$$U(x,y)=\alpha x+\beta y\qquad \alpha,\beta>0$$
In tal caso le curve di indifferenza si presentano come un fascio di rette con pendenza negativa e pendenza pari a –𝛼/𝛽
PANIERI CON PIÙ DI DUE BENI
È chiari che una situazione in cui vi siamo solamente due beni appare poco realistica.
Eppure lo stesso modello microeconomico che si basa su due beni può essere ampliato anche ad n beni.
Supponiamo infatti che nell’economia esistono tre tipi di beni e definiamo x,y, z il consumo di questi beni.
Possiamo ad esempio considerare il paniere A dato dai seguenti livelli di consumo
$$A(2,4,5)$$
Introduciamo ora la seguente funzione di utilità a tre variabili
$$U(x,y,z)=x^2 y^{0,5}z$$
Possiamo quindi in maniera univoca determinare l’utilità associata al paniere A
$$A(2,4,5)\ \to\ U(A)=2^2\cdot4^{0,5}\cdot5=40$$
Il paniere A da un livello di soddisfazione pari a 40.
Ovviamente in presenza di più di 2 beni risulta solamente possibile la rappresentazione dei panieri in un grafico tridimensione.
Ma in generale con n beni non riusciamo ad avere alcuna rappresentazione grafica, dunque dobbiamo affidarci alla cieca matematica.
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