LA SECURITY MARKET LINE

LA SECURITY MARKET LINE (SML)

La Security Market Line è una retta che descrive la relazione che esiste tra  il rendimento di un titolo e il suo beta con il mercato, in condizioni di equilibrio.

Nel grafico che rappresenta la CLM troviamo il beta sull’asse orizzontale e il tasso di rendimento sull’asse orizzontale.

L’oggetto centrale del modello è sicuramente il beta di un titolo che identifica il rischio sistematico (legato al mercato) del titolo stesso.

Lo scopo finale è quello di prevedere il tasso di rendimento di un titolo sulla base dell’andamento del mercato, ed il beta assume in ciò un ruolo chiave.

La Security Market Line (SML) passa certamente per due punti.

Il primo è il  punto dove beta è pari a zero e il tasso di rendimento è pari a quello del titolo privo di rischio (risk-free o risk-less).

Mentre nel secondo  punto  il beta è pari a 1 e il tasso di rendimento è quello del mercato.

Quando il mercato è in equilibrio tutti i titoli si distribuiscono lungo la SML.

In altre parole è possibile prevedere il loro tasso di rendimento dato il loro beta.

FORMULA DELLA SECURITY MARKET LINE (SML)

La formula della Security Market Line è la seguente:

$$ r_i = r_f + \beta_i \cdot (r_m – r_f) \\ r_i = \text{ rendimento atteso del titolo i} \\ r_f = \text{ rendimento atteso del titolo risk free} \\ r_m = \text{ rendimento atteso del mercato} \\ \beta_i = \text{ beta del titolo i con il mercato}$$

CHIARIAMO LE COMPONENTI DELLA SML

In questa sezione andiamo a chiarire le componenti che sono presenti nella formula della SML.

$$ r_i = r_f + \beta_i \cdot (r_m – r_f) $$

RENDIMENTO DEL’I-ESIMO TITOLO

Cominciamo a chiarire cosa intendiamo per il termine che compare a sinistra della formula: r_i.

$$ \color{blue}{r_i} = r_f + \beta_i \cdot (r_m – r_f) $$

Con la scrittura r_i in particolare intendiamo il tasso di rendimento di un i-esimo titoloche potrebbe essere riferito ad un periodo specifico oppure un tasso di rendimento medio.

Quando ci riferiamo al caso del tasso di rendimento medio allora la formula della SML potrebbe essere scritta nel modo seguente:

$$ E(r_i) = E(r_f) + \beta_i \cdot \left( E(r_m) -E(r_f) \right) $$

Dove la E scritta davanti ai tassi di rendimenti indica il valore atteso (expected value), che sarebbe il tasso di rendimento medio.

In alternativa alcuni testi riportano la scrittura in cui mettono un trattino sopra la r di rendimento.

\bar r_i = \bar r_f \cdot (\bar r_m – \bar r_f ) $$

Con il termine i-esimo titolo intendiamo il titolo specifico che vogliamo analizzare.

Tale titolo potrebbe essere un’azione, un’obbligazione, un fondo oppure uno specifico portafoglio di titoli.

RISK FREE RATE – TITOLO PRIVO DI RISCHIO

Continuiamo con il risk free rate.

$$ r_i =\color{blue}{ r_f}+ \beta_i \cdot (r_m – \color{blue}{ r_f}) $$

Il titolo risk free è un titolo che è considerato non rischioso

Mentre il  risk-free-rate è il tasso di rendimento effettivo lordo del titolo non rischioso.

Tuttavia, nella realtà economica, non esistono attività prive di rischio.

Se dobbiamo quindi identificare un plausibile attività priva di rischio possiamo considerare lo Stato.

Consideriamo quindi attività risk free i titoli emessi da uno Stato.

Tali titoli possono avere un carattere di breve durata, quindi da uno a tre anni.

Oppure possiamo considerare come titolo privo di rischio obbligazioni decennali.

La caratteristica del titolo risk free è quella di avere un tasso di rendimento certo in assenza di rischio.

Per questo motivo lo Stato che emette queste obbligazioni deve essere uno Stato solido, caratterizzato da un’economia forte.

Ad esempio nell’Area Euro consideriamo titoli privi di rischio quelli emessi dalla banca centrale tedesca, la Bundesbank.

Altri esempi a livello mondiali di titoli privi di rischio sono:

• Tresury bond USA, emessi dalla FED
• China Government Bond, emessi dalla BC cinese
• Japan Government Bond, emessi dalla Bank of Japan

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RENDIMENTO DEL MERCATO 

La terza componente che andiamo ad analizzare nel modello è il rendimento del mercato.

$$ r_i = r_f + \beta_i \cdot (\color{blue}{r_m} – r_f) $$

Possiamo immaginare il mercato come un luogo (fisico o virtuale) dove avvengono gli scambi di strumenti finanziari, come ad esempio azioni, obbligazioni e derivati.

Ogni titolo nasce su un mercato primario e dopo la sua emissione il suo collocamento passa al mercato secondario.

Nel mercato secondario il primo sottoscrittore vende il titolo ad un altro sottoscrittore il quale diviene l’autentico possessore del titolo.

Per rappresentare  l’andamento dei mercati si utilizzano gli indici di mercato.

Alcuni esempi rappresentativi degli indici di mercato sono:

• NASDAQ (USA)
• DAX30 (Germania)
• CAC 40 (Francia) 
• FITSE MIB (Italia)
• NIKKEI-225 (Giappone)

Ad esempio il NASDAQ è l’indice tecnologico degli Stati Uniti.

In esso sono incorporati i titoli che rappresentano le maggiori società tecnologiche americane quotate.

Il suo paniere ingloba le azioni negoziate sul National Association Dealers Automated Quotation.

Per calcolare gli indici di mercato si fa molto spesso una media del prezzo dei titoli ponderata per la quota che ricoprono all’interno del mercato.

$$ I = \sum (P_i \cdot q_i) = P_1 \cdot q_1 + P_2 \cdot q_2 + \cdots + P_n \cdot q_n \\ P_1, P_2 , \dots, P_n \text{ sono i prezzi dei titoli} \\ q_1, q_2 , \dots, q_n \text{ sono le quote dei titoli}$$

Con la lettera r_m intendiamo dire il tasso del rendimento del mercato.

Quando questo rendimento è riferito ad un singolo periodo, ad esempio l’anno t, usiamo l’espressione r_mt.

Tale rendimento è dato dalla variazione assoluta dell’indice rispetto all’indice del periodo precedente (t-1).

$$ r_{m,t} = \frac{I_t – I_{t-1}}{I_t} = \frac{I_t}{I_{t-1}}-1 \\ I_t \text{ è il valore dell’indice al tempo $t$ }\\ I_{t-1} \text{ è il valore dell’indice al tempo $t-1$ }$$

Se invece intendiamo il rendimento medio di mercato possiamo calcolarlo come la somma die rendimenti diviso per il numero di periodi:

$$ E(r_m) = \frac{\sum r_{mi}}{n} $$

BETA DI UN TITOLO E IL SUO CALCOLO

Eccoci al perno centrale di tutto il ragionamento sul modello della Security Market Line (SML), il beta di un titolo.

Nella formula della Security Market Line (SML)

$$ r_i = r_f + \color{red}{\beta_i} \cdot (r_m – r_f) $$

Il beta identifica il rischio sistematico del titolo e viene calcolato come il rapporto tra la covarianza tra i rendimenti del titolo con il mercato e la varianza dei rendimenti del mercato:

$$ \mathbf{\beta_i = \frac{\text{cov}(r_i, r_m)}{\text{var}( r_m)}= \frac{\sigma_{i,m}}{\sigma^2_m}}\\ \text{cov}(r_i, r_m) \text{ o } \sigma_{i,m} = \text{covarianza tra i rendimenti del titolo i del mercato} \\ \text{var}( r_m) \text{ o } \sigma^2_{m} = \text{varianza dei rendimenti di mercato} $$

SIGNIFICATO PRATICO DEL BETA

Da un punto di vista un po’ più pratico il beta di un titolo identifica la variazione media % del titolo quando il mercato aumenta di un punto percentuale.

Ad esempio se consideriamo un titolo con un beta pari a 1,5 significa che quando il mercato registra un aumento dell’1% il titolo mediamente reagisce con un aumento dell’1,5%.

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PREMIO DI MERCATO 

L’ultima componente dell’ormai nota formula della Security Market Line (SML) che ci resta da analizzare è il premio di mercato.

$$ r_i + \beta_i \cdot (\color{blue}{r_m -r_f}) $$

Il premio di mercato:

$$ \pi_m = r_m- f_f $$

 è dato dalla differenza tra il tasso di rendimento di mercato e quello del titolo privo di rischio.

Il significato finanziario di questa quantità è il maggior tasso di rendimento che un investitore dovrebbe avere investendo in un determinato mercato.

Se per esempio le obbligazioni di stato (titolo privo di rischio) rendono il 2% all’anno significa che se investiamo 100 euro possiamo avere un guadagno pulito di 2 euro.

Se il tasso di mercato medio è invece del 10% annuo le nostre aspettative di guadagno sarebbero di 10 euro.

Il differenziale tra questi due rendimenti è il premio che il mercato di offre per investire in esso.

Tale premio nel nostro caso è:

$$ \pi_m= r_m-r_f = 10\% -2\% = 8\% $$

Questo significa che investendo nel titolo di mercato abbiamo la possibilità di guadagnare 8 euro in più rispetto che ad un investimento in titoli di stato.

Ma allora perché non investire direttamente nel mercato se la cosa è così profittevole?

In realtà dobbiamo sapere che quando i rendimenti si fanno più alti si cela anche un rischio maggiore.

Nel caso dell’investimento in titoli privi di rischio il tasso di rischio è pari a zero.

Per quanto riguarda invece un investimento in titoli di mercato le aspettative di rischio sono espresse dalla deviazione standard dei rendimenti del mercato.

Possiamo anche tranquillamente chiamarla la deviazione standard o rischio del mercato.

Dal punto di vista geometrico il premio di mercato identifica il coefficiente angolare della Security Market line.

Ciò significa che per ogni punto di betà in più la variazione del tasso di rendimento è pari al premio di mercato.

Se ad esempio il premio di mercato è pari all’8%, come nell’esempio sopra:

Passando da un titolo con un beta pari a 0,70 ad un titolo con un beta 1,50, il secondo titolo ha un tasso di rendimento maggiorato pari a:

$$ \delta r_i = \delta \beta \cdot (r_m – r_f) = (1,50 -0,70) \cdot 8\% = +6,4\% $$

TITOLI SULLA SECURITY MARKET LINE – ESEMPIO 

La teoria generale del Capital Asset Pricing Model (CAPM) ci dice che quando il mercato è in condizioni di perfetto equilibrio tutti i titoli si trovano sulla Security Market Line.

Per esempio:

Ipotizziamo che il rendimento atteso del mercato sia pari al 10% e che l’attività priva di rischio (risk free) abbia un rendimento atteso del 3%.

Stiamo considerando un titolo alfa con un beta pari a 1,5.

Quale rendimento dovremo attribuire a questo titolo in condizioni di equilibrio?

I dati a nostra disposizione sono:

$$ r_f= 3\% \quad r_m= 10\% \quad \beta_{alfa}= 1,5 \quad r_{alfa}= ? $$

Applicando la formula della Security Market Line:

$$ r_{alfa} = r_f \cdot (r_m – r_f) $$

Abbiamo che:

$$ r_{alfa} = 3\% + 1,5 \cdot (10\% -3\%) = 13,5\%$$

Visualizziamo ora in figura la collocazione dei titoli:

Quindi in condizione di equilibrio del mercato il rendimento del titolo alfa dovrebbe essere del 13,5%.

In questo caso si collocherà sulla SML

CONDIZIONI DI DISEQUILIBRIO – TITOLO SOTTOPREZZATO

Nella realtà potremmo però osservare che il rendimento di questo titolo sia diverso da quello previsto dal modello.

Ad esempio se osserviamo che il titolo alfa ha ottenuto un rendimento del 15% questo rendimento è al di sopra di quello teorico del modello.

Quindi il modello ha fornito un tasso di rendimento inferiore a quello effettivo.

In questo senso il modello ha sottovalutato il rendimento del titolo, che quindi viene considerato sotto prezzato.

Mostriamo nel grafico questa situazione:

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se sei curioso e hai qualche domanda sulla Security Market Line falla pure sotto nei commenti.

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