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Cosa succede se durante un investimento nel regime ad interesse semplice cambia il tasso di interesse?
Cosa è e come calcola il tasso medio nel regime ad interesse semplice?
Vediamo insieme con un esempio pratico di chiarire questa situazione.
ESEMPIO
Una cambiale dal valore nominale di 3.000 è scontata in regime di sconto commerciale (regime anticipato) per un tempo complessivo di 6 anni.
Sapendo che il tasso di sconto è del 5% annuo per i primi 2 anni, del 3% semestrale per i successivi 3 anni e 2 mesi, e del tasso dell’1,5% trimestrale per gli ultimi 8 mesi.
Calcola il valore scontato della cambiale e il tasso annuo di sconto medio.
GRAFICO
Per prima cosa rappresentiamo graficamente la situazione in questione:
L’asse orizzontale rappresenta la linea del tempo, sulla quale disponiamo il tempo iniziale 0 e il tempo finale dell’investimento 6 anni.
Internamente rappresentiamo anche gli altri tempi.
Il primo che rappresentiamo è 2 anni, dal momento che il primo sotto periodo dura due anni.
Il secondo tempo intermedio è 5 anni e 2 mesi, poiché il secondo sotto periodo dura 3 anni e 2 mesi che dobbiamo sommare ai due anni.
Sotto l’epoca zero (oggi) mettiamo il valore attuale della cambiale (capitale) pari a1.570 euro.
Sotto i tre periodi sono rappresentate 3 frecce dirette verso sinistra ad indicare il processo di sconto.
Nel primo periodo di durata 2 anni è rappresentata la freccia arancio, sotto la quale è riportato il primo tasso di sconto ovvero il 5%.
Per il secondo periodo di durata 3 anni 2 mesi è rappresentata la freccia verde, sotto la quale è riportato il secondo tasso di sconto ovvero il 3% semestrale.
Nel terzo periodo di durata 8 mesi è rappresentata la freccia viola, sotto la quale è riportato il terzo tasso di sconto ovvero l’1,5% trimestrale.
ADEGUAMENTO DEI TEMPI AI TASSI
In vista del calcolo del montante che andremo a fare adeguiamo in ogni periodo considerato i tempi ai tassi di interesse.
Nel primo periodo di due anni non ci sono problemi di adeguamento dal momento che sia il tasso che il tempo sono già espressi in anni.
Nel secondo periodo esprimiamo il tempo di 3 anni e 2 mesi in semestri, dal momento che il tasso utilizzato è semestrale.
3 anni e 2 mesi sono 3*2+2/6 semestri.
L’ultimo periodo di durata 8 mesi lo esprimiamo in trimestri dal momento che il tasso utilizzato è semestrale.
8 mesi sono 8/3 di semestre.
CALCOLO DEL VALORE ATTUALE QUANDO CAMBIA IL TASSO
Ora presentiamo e applichiamo la formula del calcolo del montante nel regime semplice quando cambia il tasso dell’investimento.
Supponiamo di dividere il tempo dell’investimento in n sotto periodi.
Indiciamo con i1, i2, …, in, i tassi di interesse utilizzati,
e con t1, t2, …, tn i tempi rappresentanti i sotto periodi.
Allora avremo che il montante verrà calcolato con la seguente formula:
L’operazione produrrà un valore attuale (capitale) pari a 3.990 euro.
CALCOLO DELLO SCONTO
Per prima cosa calcoliamo l’interesse complessivamente prodotto dall’investimento, come differenza tra il montante finale e il capitale iniziale.
TASSO DI SCONTO MEDIO
Ora passiamo al tasso medio e cominciamo a chiarire che cosa è.
Il tasso medio è quel tasso che permette di conseguire lo stesso valore attuale, nello stesso periodo complessivo, di uno sconto in sotto periodi in cui si utilizzano tassi diversi.
Nel nostro caso il tasso medio su base annua permette di conseguire un capitale di 2.010 euro a partire da un montante di 3.000 in un tempo di 6 anni.
In secondo luogo ci avvaliamo della formula per il calcolo dello sconto D da cui ricaviamo la formula per il tasso medio nel nostro caso.
Dalla formula dell’interesse:
Indichiamo il tasso medio con un trattino sopra per distinguerlo dal normale tasso.
Ricaviamo il tasso di sconto dividendo entrambi i membri per M*t
CALCOLO DEL TASSO MEDIO ANNUO
Applichiamo quindi le formule descritte.
Stiamo però attenti a commisurare il tempo al denominatore con il tasso che vogliamo trovare.
Siccome nel nostro esempio vogliamo trovare il tasso di sconto annuo dobbiamo inserire il tempo in anni.
In questo caso non ci sono troppi problemi dal momento che il tempo complessivo dell’investimento è 6 anni.
Abbiamo trovato che il tasso medio dell’investimento è pari al 5,5%.
Questo significa che se noi abbiamo una cambiale in scadenza tra 6 anni nel regime ad interesse anticipato scontata al tasso di sconto del 5,5% possiamo estinguerla oggi pagando 2.010 euro.
Ovvero lo stesso capitale che troveremmo nel caso in cui investiamo lo stesso capitale ai tre tempi e con i tre tassi indicati nell’esempio appena svolto.
METODO ALTERNATIVO
In realtà il tasso medio nel caso il capitale rimanga costante per tutto l’investimento non dipende dal capitale.
Esiste dunque un metodo alternativo di calcolo che non passa per il calcolo del montante e degli interessi.
Il tasso medio quando il capitale è costante possiamo ricavarlo applicando la seguente formula:
Questa è già la formula con tre tempi.
Facciamo bene attenzione ad una cosa abbastanza importante.
Per quanto riguarda i tempi che si trovano al numeratore l’importante è che siano adeguati ai tassi corrispondenti.
I tempi che si trovano al denominatore devono essere invece adeguati al tasso medio che vogliamo calcolare.
Quindi se ad esempio vogliamo calcolare il tasso medio annuo esprimeremo i tempi in anni.
Qualora invece volessimo calcolare il tasso medio mensile dovremo esprimere il tempo in mesi.
Ricordiamo un attimo qual era la situazione sul grafico del tempo dell’investimento:
Provvediamo ora al calcolo del tasso medio:
Abbiamo ottenuto un tasso medio annuo del 5,5%, esattamente come prima.
Vi faccio notare che al numeratore nelle coppie di fattori (tasso*tempo), abbiamo adeguato il tempo al tasso utilizzato.
Al denominatore invece abbiamo espresso i tempi in anni, perché quello che volevamo era il tasso medio annuo.
In realtà anziché scrivere la somma dei tempi ho scritto direttamente il tempo complessivo in anni.
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