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Cosa è e come si calcola l’intensità istantanea di interesse nel regime semplice?

Vediamo lo insieme con un esempio.

ESEMPIO

Luigi impiega un capitale di 5.000 euro nel regime di capitalizzazione semplice al tasso annuo del 5%.

Calcola l’intensità istantanea di interesse al terzo anno.

INTENSITA’ ISTANTANEA DI INTERESSE

L’intensità istantanea (o tasso istantaneo) di interesse ci permette di calcolare a quale tasso sta crescendo un determinato montante cumulato in un istante preciso di tempo.

Dal punto di vista matematico l’intensità istantanea di interesse si calcola come il rapporto tra la derivata prima del fattore di montante e il fattore di montante stesso.

Questa regola vale in tutti i regimi finanziari e dunque anche per il regime ad interesse semplice.

Sappiamo inoltre che i fattore di montante (o legge di capitalizzazione) nel regime semplice è:

E che la derivata prima di tale legge di capitalizzazione è:

Dunque non ci resta che ricavare la legge che ci permette di calcolare l’intensità istantanea di interesse (o tasso istantaneo di interesse).

A questo punto dobbiamo solamente inserire i dati dell’esercizio.

Questo significa che il montante appena creatosi al tempo 3, sta crescendo in quel preciso istante temporale al tasso del 4,3478%.

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3 Comments

  • Marco Incontri ha detto:

    Ciao Andrea, ottimo video e ottima spiegazione. Vorrei farti gentilmente una domanda perchè mi sono incasinato con il ragionamento:
    Se la forza istantanea di interesse ad esempio, al tempo 3 ,è la misura % di quanto sta crescendo il montante in quel momento su base annua, è come dire il montante al tempo 3 rispetto al tempo 2 è aumentato del 4,3478% giusto? ho provato a fare i calcoli a mano, calcolando il montante al tempo 3 e il montante al tempo 2 – rispettivamente 5000 € *(1+0,05 *3) = 5750 € e 5000€ * (1+0,05*2) = 5500 €.
    Quindi se faccio (5750-5500)/5500 ottengo l’incremento % in termini di montante da 5.500 a 5.750. il problema è che la % di incremento è 4,45% e non 4,3478% – come mai se l’incremento della forza d’interesse è relativo al periodo precedente non mi tornano i calcoli?
    Ho invece notato che facendo (5.750-5.500)/5.750 = 4,3478% – torna il conto preciso preciso – questa però è la formula per trovare il tasso di sconto (d) nel regime di interesse anticipato – applicando poi la ricerca del tasso i con la medesima formula ri-ottengo 4,45% – perchè caspita la forza di interesse nel regime semplice dovrebbe centrare con la ricerca del tasso di sconto (d) nel regime anticipato?
    Grazie per il tempo che dedicherai a questo messaggio.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Marco, Grazie per il quesito ;)
      Per quanto riguarda la forza istantanea (o intensità) di interesse questa è costante solamente quando operi nel regime composto.
      In ogni istante temporale è sempre pari al ln(1+i) che per tassi sempre più piccoli si avvicina sempre di più al tasso di interesse.
      Ad esempio:
      Se il tasso è il 20% = 0,20 , l’intensità vale ln(1,20) = 0,1823
      Se il tasso è il 10% = 0,10 , l’intensità vale ln(1,10) = 0,0953
      Se il tasso è il 5% = 0,05 , l’intensità vale ln(1,05) = 0,04879
      Se il tasso è il 3% = 0,03 , l’intensità vale ln(1,03) = 0,02956
      Se il tasso è il 1% = 0,01 , l’intensità vale ln(1,01) = 0,0995
      e così via.

      Nel regime composto la stessa intensità istantanea di interesse può essere utilizzata per calcolare il montante:

      Nella classica formula il fattore di montante del regime composto è :
      m(t) = (1+i)^t
      Utilizzando il concetto di intensità istantanea di interesse è possibile scriverlo come:
      m(t) = e^ (𝜎*t)
      Dove 𝜎 identifica appunto l’intensità di interesse.

      Nel regime semplice questa intensità varia da punto a punto temporale.
      In quell’istante preciso ad (esempio al tempo 3) il capitale sta crescendo esattamente di quel tasso.
      Ma se mano a mano ci postiamo avanti nel tempo questa intensità diventa sempre un po’ più piccola.

      Dopo tutto se ci rifacciamo al calcolo generale nel regime semplice è:
      𝛿(t) = i/(1+it)
      Si tratta di una iperbole decrescente per i valori di t positivi.
      In altre parole quando il tempo aumenta il tasso istantaneo diminuisce sempre di più

      Questi sono concetti un po’ difficili soprattutto quando ci sbatti la testa per la prima volta.
      Quindi cercherò di parlare in modo un po’ più semplice.

      Cerca di vedere l’intensità istantanea di interesse come la velocità istantanea in un singolo punto temporale

      Immagina una macchina che sta percorrendo l’autostrada che sta andando a 130 all’ora e tra un kilometri deve uscire al casello

      La sua velocità comincia progressivamente a diminuire (supponiamo anche in maniera non costante) fino ad imboccare l’uscita supponiamo a 80 kilometri orari.

      La sua velocità istantanea iniziale è pari ad 130
      la sua velocità istantanea finale è pari a 80

      La sua velocità media nel tratto è sicuramente compresa tra 130 e 80

      Immagina ora che quella velocità media è il tuo tasso di interesse

      ;)

  • Marco Incontri ha detto:

    Grazie mille Andrea risposta completissima. La studio con calma per metabolizzarla perchè in effetti il concetto di intensità istantanea di interesse non è di rapida assimilazione, anzi verrebbe da dire che è di rapida espulsione (in termini gastrici) :-)
    quindi la mia velocità media in autostrada è il tasso d’interesse in un determinato arco temporale che si genera da una sommatoria di velocità istantanee come il tasso medio viene generato da più tassi istantanei di crescita giusto?
    Ma quindi il mio calcolo ( (5750-5500)/5500)) è sbagliato perchè sono in regime di capitalizzazione semplice e non potrei farlo?

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