REGIME COMPOSTO – CAMBIAMENTO DI TASSO E TASSO MEDIO

Cosa succede se durante un investimento nel regime ad interesse composto cambia il tasso di interesse?

Cosa è e come calcola il tasso medio nel regime ad interesse composto?

Vediamo insieme con un esempio pratico di chiarire questa situazione.

ESEMPIO DI CAMBIO TASSO E TASSO MEDIO NEL REGIME COMPOSTO

Luca investe 3.000 in capitalizzazione composto per un periodo complessivo di 6 anni.

Sapendo che il tasso di interesse è del 5% annuo per i primi 2 anni, al tasso semestrale del 3% per i successivi 3 anni e 2 mesi, e al tasso dell’1,5% trimestrale per gli ultimi 8 mesi.

Calcola il montante e il tasso annuo composto medio.

Per prima cosa rappresentiamo graficamente la situazione in questione:

L’asse orizzontale rappresenta la linea del tempo, sulla quale disponiamo il tempo iniziale 0 e il tempo finale dell’investimento 6 anni.

Internamente rappresentiamo anche gli altri tempi.

Il primo che rappresentiamo è 2 anni, dal momento che il primo sotto periodo dura due anni.

Il secondo tempo intermedio è 5 anni e 2 mesi, poiché il secondo sotto periodo dura 3 anni e 2 mesi che dobbiamo sommare ai due anni.

Sotto l’epoca zero (oggi) mettiamo il capitale che stiamo investendo pari a1.570 euro.

Sotto i tre periodi sono rappresentate 3 frecce dirette verso destra ad indicare che l’investimento si rivolge verso il futuro.

Nel primo periodo di durata 2 anni è rappresentata la freccia arancio, sotto la quale è riportato il primo tasso di interesse ovvero il 5%.

Per il secondo periodo di durata 3 anni 2 mesi è rappresentata la freccia verde, sotto la quale è riportato il secondo tasso di interesse ovvero il 3% semestrale.

Nel terzo periodo di durata  8 mesi è rappresentata la freccia viola, sotto la quale è riportato il terzo tasso di interesse ovvero l’1,5% trimestrale.

ADEGUAMENTO DEI TEMPI AI TASSI

In vista del calcolo del montante che andremo a fare adeguiamo in ogni periodo considerato i tempi ai tassi di interesse.

Nel primo periodo di due anni non ci sono problemi di adeguamento dal momento che sia il tasso che il tempo sono già espressi in anni.

Nel secondo periodo esprimiamo il tempo di 3 anni e 2 mesi in semestri, dal momento che il tasso utilizzato è semestrale.

3 anni e 2 mesi sono 3*2+2/6 semestri.

L’ultimo periodo di durata 8 mesi lo esprimiamo in trimestri dal momento che il tasso utilizzato è semestrale.

8 mesi sono 8/3 di semestre.

CALCOLO DEL MONTANTE QUANDO CAMBIA IL TASSO

Ora presentiamo e applichiamo la formula del calcolo del montante nel regime semplice quando cambia il tasso dell’investimento.

Supponiamo di dividere il tempo dell’investimento in n sotto periodi.

Indiciamo con i1, i2, …, in, i tassi di interesse utilizzati, 

 e con t1, t2, …, tn i tempi rappresentanti i sotto periodi.

Allora avremo che il montante verrà calcolato con la seguente formula:

$$ M =C \cdot \prod_{k=1}^{n} \left( 1+i_k \right)^{t_k} =C \cdot \left( 1+ i_1 \right)^{t_1} \cdot \left( 1+ i_2 \right)^{t_2} \cdot \cdots \cdot \left( 1+ i_n \right)^{t_n} $$

Il montante è calcolato come il prodotto tra il capitale e il calcolo scritto nella parentesi.

Nella parentesi troviamo la somma tra 1 e la sommatoria da 1 a n dei prodotti dei tassi k per i tempi k.

Nel nostro caso specifico ci sono tre sotto periodi e quindi la sommatoria in k andrà da 1 a 3.

Vediamo dunque di applicarla al nostro caso.

L’investimento produrrà un montante pari a 4.149,97 euro.

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CALCOLO DEL TASSO MEDIO NEL REGIME COMPOSTO

Ora passiamo al tasso medio composto e cominciamo a chiarire che cosa è.

Il tasso medio è quel tasso che permette di conseguire lo stesso monetante, nello stesso periodo complessivo, di un investimento frazionato in sotto peridi in cui si utilizzano tassi diversi.

Nel nostro caso il tasso medio su base annua permette di conseguire un montante di 4.149,97 euro a partire da un capitale di 3.000 in un tempo di 6 anni.

FORMULE DIRETTE E INVERSE

Applichiamo dunque la formula per il calcolo del tasso di interesse, che ricaviamo dalla formula del calcolo del montante.

Dalla formula del montante:

$$M = C \cdot \left( 1+ \bar i \right)^t$$

Notate bene che la i con sopra il trattino indica il tasso medio.

Dividiamo entrambi i membri per il capitale , ottenendo:

$$\frac{M}{C}=\left( 1+ \bar i \right)^t$$

Elevando entrambi i membri alla 1/t otteniamo:

$$1+\bar i = \left( \frac{M}{C} \right)^\frac{1}{t}$$

Da qui possiamo agevolmente ricavarci il tasso di interesse medio:

$$\bar i = \left( \frac{M}{C} \right)^\frac{1}{t} – 1$$

A questo punto applichiamo la formula, ricordando che siccome ci serve il tasso annuo inseriamo il tempo totale in anni, ovvero 6 anni.

$$\bar i = \left( \frac{4.149,97}{3.000} \right)^\frac{1}{6} – 1 = 0,05557 = 5,557 \%$$

Abbiamo trovato che il tasso medio dell’investimento è pari al 5,5557%.

Questo significa che se noi investiamo un capitale di 3.000 per 6 anni nel regime ad interesse composto al tasso del 5,557% troviamo un montante pari a 4.149,97 euro.

Ovvero lo stesso montante che troveremmo nel caso in cui investiamo lo stesso capitale ai tre tempi e con i tre tassi indicati nell’esempio appena svolto.

In realtà il tasso medio nel caso il capitale rimanga costante per tutto l’investimento non dipende dal capitale.

Esiste dunque un metodo alternativo di calcolo che non passa per il calcolo del montante e degli interessi.

METODO ALTERNATIVO

Il tasso medio quando il capitale è costante possiamo ricavarlo applicando la seguente formula:

$$ \bar i = \prod_{k=1}^{3} \left( 1+i_k \right)^\frac{t_k}{T} -1 = \left( 1+ i_1 \right)^\frac{t_1}{T} \cdot \left( 1+ i_2 \right)^\frac{t_2}{T} \cdot \left( 1+ i_3 \right)^\frac{t_3}{T} -1$$

Dove T indica la somma dei tempi t1, t2 e t3

$$ \bar i = \sum_{k=1}^{3} t_1 + t_2 +t_3 $$

Questa è già la formula con tre tempi.

Facciamo bene attenzione ad una cosa abbastanza importante.

Per quanto riguarda i tempi che si trovano al numeratore  dell’esponente (t1, t2, t3) l’importante è che siano adeguati ai tassi corrispondenti (i1, i2, i3).

Il tempo T che si trovano al denominatore devono essere invece adeguati al tasso medio che vogliamo calcolare.

Perciò nella formula che leggere sotto dove T è la somma dei tempi t1, t2, t3 indica il tempo complessivo espresso in una sola unità di misura

Quindi se ad esempio vogliamo calcolare il tasso medio annuo esprimeremo i tempi in anni.

Qualora invece volessimo calcolare il tasso medio mensile dovremo esprimere il tempo in mesi.

A noi serve il tasso annuo!

Ricordiamo un attimo qual era la situazione sul grafico del tempo dell’investimento:

E procediamo con l’applicazione della formula:

$$\begin{aligned}&\bar{i}=1,056^\frac{2}{6}\cdot1,03^\frac{3\cdot2+\frac{2}{6}}{6}-1\\&\\&\bar{i}=0,05557=5,557\%\end{aligned}$$

Se preferite si può anche scrivere così:

$$\bar i =\left(1,05^2\cdot1,03^{3\cdot2+\frac{2}{6}}\cdot1,015^\frac{8}{3}\right)^\frac{1}{6}-1=5,557\%$$

Oppure anche con la radice:

$$\bar i=\sqrt[6]{1,05^2\cdot1,03^{3\cdot2+\frac{2}{6}}\cdot1,015^\frac{8}{3}}-1=5,557\%$$

Abbiamo ottenuto un tasso medio annuo del 5,557%, esattamente come prima.

Vi faccio notare ancora una volta che i tempi al numeratore dell’esponente sono adeguati il tempo al tasso utilizzato.

Al denominatore invece abbiamo espresso il tempo complessivo T in anni, perché quello che volevamo era il tasso medio annuo.

La seconda cosa che vi faccio notare è che il tasso medio non dipende dall’importo del capitale investito.

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