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PREMESSA IMPORTANTE

In questo blog parliamo di come si calcola il montante di una rendita posticipata.

È doveroso informare tu lettore che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.

In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:

  • Immediata 
  • Rata costante e periodica
  • Temporanea
  • Regime composto

Se fatichi a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog  sulla classificazione delle rendite.

Comunque la rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.

Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica non è molto difficile immagine questa situazione.

Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 300 euro al mese per 5 anni, questo è un esempio di tale tipo di rendita.

Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più elementare di rendita che vi possa venire in mente.

L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto,  è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.

GRAFICAMENTE

Dal punto di vista grafico potremmo rappresentare la situazione in questo modo:

Sopra la linea del tempo rappresentiamo i tempi più semplici ovvero 0, 1, 2,3, fino ad n.

La rendita è immediata ovvero decorre da subito, ma il pagamento della rata è posticipata, quindi vedremo la prima rata che scade al tempo 1 e l’ennesima ovvero l’ultima al tempo n.

Le frecce verdi sono dirette verso la scadenza della rendita che avviene all’epoca n.

FORMULA

Per calcolare il montante di questa rendita esiste una formula ben precisa.

Si deve moltiplicare la rata per un certo fattore che chiamiamo “esse figurato n al tasso i”.

Esplicitando questo fattore avremo il nostro montante:

Una doverosa precisazione per chiarire il ruolo di questo fattore è la seguente.

Usando il fattore “esse figurato n al tasso i” andiamo a calcolare il valore della rendita all’atto del pagamento dell’ultima rata.

ESEMPIO

Vediamo insieme questo esempio che ci aiuterà a chiarire la cosa dal punto di vista pratico.

Versate a partire da oggi 1.200 euro alla fine di ogni anno (oggi siamo all’inizio dell’anno) in un fondo che rende il 7,8% composto annuo.

Di quanto potrete disporre tra 5 anni?

GRAFICO

Rappresentiamo la situazione graficamente.

Come tempi scriveremo 0, 1, 2 3, 4 e 5.

L’importo delle rate, di cui la prima a partire dal tempo 1, sarà sempre di 1.200 euro.

Le frecce fino all’epoca 5, scadenza della rendita.

MONTANTE

Per calcolare il montante applichiamo la formula vista prima.

La rata è di 1.200 euro e moltiplica il fattore “esse figurato 5 al tasso 0,078”.

Esplicitiamo ora il fattore “esse figurato 5 al tasso 0,078”:

Abbiamo ottenuto un montante pari a 7.011,90.

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.

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34 Comments

  • nicola ha detto:

    Ciao,
    Se ho un finanziamento con 120 rate da 279,00 al tasso del 5,18% ed il monte interessi in regime composto è pari ad euro 7.394,84,

    come faccio a sapere a quale tasso in regime semplice avrò la stessa rata e stesso monte interessi?

    Quale formula si utilizza per l’equità?
    Quello che ho trovato i=1/t[(1+y)^t – 1] – partendo dal tasso in regime composto del 5,18% – mi da un tasso in regime semplice del 6.94% ma la rata ed il monte interessi non coincidono…

    grazie mille per l’aiuto

    • Andrea ha detto:

      Ciao Nicola,
      Ti ringrazio per questo quesito.
      Anche se in apparenza sembra riguardare il montante di una rendita riguarda un piano di ammortamento alla francese.
      Come dati hai
      Rata costante = 279
      Numero rate = 120 (immagino mensili)
      Tasso annuo = 5,18%
      Monte interessi = 7.394,84

      Il mio ragionamento iniziale è stato il seguente.
      Rata = quota capitale + quota interessi
      Quindi
      Somma rate = somma quote capitale + somma quote interessi
      Ora la somma delle rate è pari a:
      279*120=33.480
      Mentre la somma delle quote interessi è pari al monte interessi, ovvero 7.394,84
      A questo punto facendo la differenza ricaviamo la somma delle quote capitali.
      33.480 – 7.394,84 = 26.085,16

      Dobbiamo sapere che tale somma delle quote capitali coincide con il capitale preso a prestito.
      A questo punto ho pensato di determinare quella rata costante nel regime semplice che permettesse di restituire il prestito.
      Purtroppo il regime semplice non è un regime scindibile quindi risulta molto difficile trovare un equilibrio per determinare la rata costante.

      Il problema poi è molto restrittivo poiché vuole che vi sia
      -la stessa rata
      -lo stesso monte interessi
      (- la stessa durata)

      L’unica soluzione che ho trovato è questo ragionamento.
      Se le rate del francese hanno la stessa periodicità (mensile nel nostro caso)
      Gli interessi calcolati sui debiti residui devono per forza coincidere sia nel regime semplice che nel regime composto.
      Se pensiamo ai montanti unitari infatti
      m(1) = (1+i)^1 = (1+i*1) = 1+i
      Dunque a livello mensile devono per forza coincidere i due tassi nel semplice e nel composto
      In questo modo salviamo capra e cavoli
      Avremo
      – stessa rata
      – stesso monte interessi (poiché stessi interessi)
      Di conseguenza calcoliamo il tasso mensile equivalente al tasso annuo composto del 5,18%
      i(12)comp= (1+0,0518)^(1/12)-1=0,0042174
      Questo tasso deve essere pertanto uguale a quello mensile del semplice
      i(12)sempl = 0,00421745
      Ora moltiplicando per 12 il tasso mensile semplice abbiamo quello annuo semplice
      i sempl = 0,00421745*12= 0,0506094

  • PARMINDER ha detto:

    Una persona ha versato per 6 anni consecutivi, alla fine di ogni anno € 800 presso una banca che capitalizza al tasso dell’11% annuo. Calcolare quale montante troverà accumulato all’atto dell’ultimo versamento e quale rata costante si sarebbe dovuta versare per i 10 anni per ottenere lo stesso montante. [€ 10975,15; € 656,33]

    • Andrea ha detto:

      Ciao Parminder,
      Grazie della domanda
      In questo caso dobbiamo calcolare il montante all’atto dell’ultimo versamento di una rendita posticipata di 6 rate annua pari ad 800 con il tasso dell’11%.

      La formula da utilizzare è:
      M= R*((1+i)^n -1)/i
      M=800*(1,11^6 -1)/0,11 =6.330,29

      Se vogliamo calcolare la rata annua da versare per 10 anni al fine di ottenere lo stesso montante sarà ovviamente minore della precedente.
      Per ricavarla dobbiamo invertire la formula precedente.
      In particolare:
      R=M*i/((1+i)^n -1)
      R=6.330,29*0,11/(1,11^10 -1)= 378,56

      Ti faccio notare che il risultato che hai riportato tu (10.975,15) in base ai dati del testo che hai fornito è sbagliato
      E di conseguenza risulta diverso anche il secondo risultato.
      Saluti 😉

  • PARMINDER ha detto:

    Determinare il montante di una rendita costituita da 10 rate annue di € 600 all’atto dell’ultimo versamento, sapendo che il tasso annuo del 9% è stato elevato al 10,50% annuo dopo il versamento della quarta rata. Calcolare il montante un anno dopo l’ultimo versamento. [€ 9683,20; € 10699,93]

    • Andrea ha detto:

      Ciao parminder
      Se devi calcolare il montante di una rendita posticipata di durata 10 anni con rata annua di 600 euro basta che utilizzi la formula base per il calcolo del montante di una rendita
      M=R*”s figurato n al tasso i”
      Nel nostro caso avremo che
      M=600*(1,09^10 – 1)/0,09 = 9.115,76

      Quando
      Il tasso cambia in questo periodo allora dovremo fare i due montanti di due rendite “separate”.

      Nel nostro caso il tasso subisce una modifica dopo il 4 anno passando dal 9% al 10,5%
      Ti riporto già il calcolo con i raccoglimenti
      M=600 * ( (1,09^4 – 1)/0,09 * 1,105^6 + (1,105^6 -1 )/0,105)=9.683,20

      Se infine vogliamo il montante di quest’ultima un anno dopo l’ultimo versamento moltiplichiamo questo ultimo risultato per 1+i
      M(1 anno dopo) = 9.683,20*1,105= 10.699,93

      Spero di esserti stato di aiuto 😉

  • jacopo ha detto:

    salve Andrea,
    ho svolto tale esercizio riguardo le rendite/ mutuo ma non riesco a capire dove sta l’errore:

    -1100 annui posticipati per 4 anni a partire da oggi (attualizzo e mi risulta 4040,39)
    -1500 fra 3 anni e mezzo(attualizzo e mi risulta 1330,04)
    – 700 fra 7 anni(attualizzo e mi risulta 550,19)
    -570 annui anticipati dal 2 al 7 anno.(attualizzo e mi risulta 2934,57)
    chiedo e ottengo di pagare in rate annue costanti posticipate in un periodo di 5 anni da oggi. Qual è l’importo della rata? [1997]
    ( sommando tutte le attualità ottengo 8855,19 applicando poi la formula per trovare la rata mi risulta 1961.26) mentre il risultato dovrebbe essere 1997

    • Andrea ha detto:

      Ciao Jacopo,
      A quanto ammonta il tasso di interesse che viene applicato a questo esercizio?
      é possibile che sia del 3,50%?
      In tal caso chiamiamo VA1, VA2, VA3, VA4 i 4 valori attuali:
      VA1 = 1.100 * (1 – 1,035^-4)/ 0,035 = 4.040,39 (CORRETTO)
      VA2 = 1,500 * 1,035 ^(-3,5) = 1.329,84 (quasi)
      VA3 = 700 * 1,035 ^ (-7) = 550,19 (ci siamo)
      VA4 = 570 * (1-1,035^(-6))/0,035 = 3.037,28
      Ti faccio notate come in questo ultimo caso h inserito 6 rate e non 5 poiché se conteggiamo
      sia il secondo anno che il settimo gli anni in totale risultano 6.
      In questo caso ritengo che i testi debba essere più chiari.
      Molte volte non è facile quale sia il confine tra un significato e l’altro.
      Nota bene inoltre che pagare al secondo anno in maniera anticipata equivale (finanziariamente)
      a pagare al primo anno in maniera posticipata.
      Perciò ho considerato l’ultimo un semplice valore attuale di 6 rate costanti immediate e posticipate.

      La somma dei 4 VA risulta = 8.957,70
      Per ricavare la rata otteniamo che:
      R = 8.957,70 / (a_5;0,035) = 1.983,96
      Tale risultato è più vicino del tuo ma non ancora identico alla soluzione proposta.
      Tuttavia mi sembra di aver controllato tutto

  • francescocuozzo19@gmail.com ha detto:

    Una rendita mensile è costituita da 14 rate, ciascuna di Euro 520.000. Si calcoli il montante a interesse semplice della rendita posticipata, all’atto dell’ultimo versamento, al tasso annuo del 5,25%. Eventuali dati mancanti possono essere inseriti a scelta dello studente.

    devo prima calcolare il tasso mensile e poi posso applicare la formula del montante di una rendita positicipata giusto?

    • Andrea ha detto:

      Esatto
      Calcoli il tasso mensile con la formula
      i12=(1+i)^(1/12)-1
      Poi il montante moltiplicando la rata per s(n,i)

      • francescocuozzo19@gmail.com ha detto:

        ok quindi tasso mensile = 0,00427 poi il montante sarà 520000 x [(1+0,00427)^(14)-1]/0,00427 = 7485701€

        se avesse detto in interessi composti come cambiava il risultato ?

        grazie mille !!

        • Andrea ha detto:

          Questo che hai usato è il procedimento con interesse composto!
          Se chiedeva il regime semplice il tasso mensile è semplicemente un dodicesimo di quello annuo
          La formula per trovare il montante è
          M=R*n*[1+i*(n-1)/2]

  • francescocuozzo19@gmail.com ha detto:

    ciao Andrea potresti aiutarmi con questo esercizio ? ho appena fatto l’esame di matematica finanziaria e vorrei un riscontro
    grazie mille

    Una rendita annua è costituita da 15 rate, ciascuna di Euro 1.200.000. Si calcoli il montante, tre anni dopo la
    scadenza dell’ultima rata, sapendo che fino alla scadenza della quinta rata viene applicato il tasso del 6%;
    successivamente, fino alla scadenza della nona rata, il tasso annuo del 6,5 %, e successivamente il tasso annuo del
    7%. Eventuali dati mancanti possono essere determinati a scelta.

    io mi trovo che dopo3 anni dalla scadenza dell ultima rata il montante costituito è di 25281298€ in quanto ho ipotizzato che il tasso i dopo 3 anni dalla scadenza era ancora al 7% ed ho applicato la formula del montante di un rendita posticipata costante nel regime dell interesse composto cioè R* ((1+i)^n-1)/(i)

    grazi mille

    • Andrea ha detto:

      Ciao Francesco
      in questo caso ti conviene separare in TRE RENDITE distinte,
      Calcolare i montanti di ogni rendita al tempo 18
      alla fine sommare i montanti.
      La PRIMA RENDIT è composta da 5 rate, calcoli il montante fino al 5 applicando s(n,i)
      con i=6%, lo capitalizzi fino al tempo 9 (per un tempo di 4 anni) con il tasso del 6,5%, e lo capitalizzi
      nuovamente al tasso del 7% fino al tempo 18 (per un tempo di 9 anni)
      Il montante finale della prima rendita è :
      M1 = R * s(5,0.06) * 1,065^4 * 1,07^9 = 15.998.854

      La SECONDA RENDITA (che va dal tempo 5 al tempo 9) di 4 rate.
      Prima la portiamo al tempo 9 con il fattore capitalizzante delle rendite al 6,5%
      Poi la capitalizziamo fino a 18 con il tasso del 7%.
      M2 = R * s(4,0.065) * 1,07^9 = 9.722.893

      la TERZA RENDITA (cha va da 9 a 15) di 6 rate.
      Qui portiamo con il fattore s(6,0.07) al tempo 15 e poi capitalizziamo di tre periodo sempre al 7%
      M3 = R * s(6,0.07) * 1,07^3 = 10.515.707
      Per il montante finale basta sommare i tre montanti

  • Francesco ha detto:

    Buongiorno, sottopongo il seguente esercizio:
    Si pone in essere un programma di investimento della durata di 12 anni, versamenti posticipati annuali pari a 2 500 euro per i primi 6 anni,
    3 000 euro successivamente. Si calcoli il capitale accumulato alla scadenza ipotizzando:
    (a) un tasso annuale effettivo pari al 5% nel corso dell’intera durata;
    (b) un tasso annuale effettivo pari al 4.5% nei primi 8 anni, al 5.5% successivamente.

    I risultati dovrebbero essere [43193,77;43343,98] ma non sono del tutto sicuro

    Grazie mille,

    Francesco

  • Federico ha detto:

    Si desidera disporre di 100000 euro tra 10 anni. A Tale scopo si considerano due sequenze alternative di versamenti in un piano di risparmio:
    Versamenti mensili, alla fine di ogni mese, di importo R ciascuno;
    Versamenti annuali, alla fine di ogni anno di imprto R’ ciascuno.
    In entrambi i casi il rendimento annuale effettivo è il 3%. Per entrambe le alternative si determini l’ammontare degli interessi. Come si può spiegare perchè l’ammontare degli interessi è maggiore per l’alternativa 1?
    Mi servirebbe proprio la risposta a quest’ultima domanda, potrebbe essere legato al numero di rate?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Federico
      Allora la motivazione del maggior numero di interassi non è strettamente legata al numero delle rate ma alla modalità del calcolo della rata
      Nel primo caso la rata è annuale dunque gli interessi sono calcolati rispetto al debito dell’anno prima
      Quindi prendi la quota complessiva degli interessi nel primo anno
      È pari a 100.000 per il 3% dunque 3.000 complessivi
      Nel secondo caso (quote mensili)
      Ogni volta che paghi una rata diminuisci anche il debito residuo
      (Ovviamente il tasso utilizzato è mensile)
      i12=1,03^(1/12)-1
      Dunque gli interessi diminuiscono ogni volta che paghi la nuova rata.
      Dunque se sommi tutti e 12 gli interessi che paghi il primo anno la loro somma è minore dell’unico interesse annuale che pagheresti con il primo modo
      Per fare una verifica veloce potresti calcolare la rata annuale e quella mensile
      Per la rata annuale fai
      100.000/a(10,0.03)
      Dove a(10,0.03)=(1-1,03^(-10))/0,03
      Per calcolare quella mensile R’ fai
      R’=100.000/a(i12, 120)
      Nota bene che i12 è il tasso mensile
      120 è il numero delle rate

  • Moon ha detto:

    Buongiorno, volevo chiedere un chiarimento su come calcolare un capitale finale dato dal versamento di rate mensili per 30 anni partendo dal 1 gennaio ad interesse semplice capitalizzate alla fine di ogni anno . Mi verrebbe da presupporre sia una rendita a rate anticipate ma è davvero così? O è piuttosto un piano per accumulare un futuro capitale? Si può effettivamente parlare di capitale dopo 30 anni mettendolo sinonimo ad un montante ?
    Grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Moon
      Si bisogna intendere questo come il montante accumulato in 30 anni con 12*30 versamenti

      Se i versamenti sono mensili anticipati e la capitalizzazione avviene a fine anno bisogna scindere due operazioni
      La prima nel regime SEMPLICE
      La seconda nel regime COMPOSTO
      In particolare nel regime semplice calcoliamo il montante di 12 rate anticipare usando la formula della progressione aritmetica
      Supponiamo per comodità 100 euro al mese al tasso annuo del 5%
      e chiamiamo questo montante R
      R=100* (12+ 12*13/2*0,05/12)
      A questo punto questa diventa la rata POSTICIPATA annua di una rendita di 30 anni
      Per calcolare il suo montante usiamo la classica formula della capitalizzazione COMPOSTA delle rendite
      M = R*s(30; 0,05)
      Dove s(30; 0,05) è il fattore capitalizzante delle rendite
      s(30; 0,05)= (1-1,05^(-30))/0,05

  • alessandro ha detto:

    ci impegnamo a versare, da oggi e per 8 anni, rate semestrali posticipate di 2000 euro al tasso annuo dell’1,9%. Dopo 5 anni abbiamo bisogno di prelevare 10000 euro. Calcola il montante accumulato due anni dopo l’ultimo versamento.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Alessandro
      Devi sottrarre al montante della rendita semestrale il montante della cifra che hai prelevato.
      Per calcolare il montante della rendita semestrale ti serve il tasso effettivo semestrale che puoi ricavare grazie alla regola di conversione dei tassi nel regime costo.
      12 = (1+i)^(1/2) -1 = 1,019^(1/2) – 1 = 0,0094553
      A questo punto passi al calcolo del montante.
      Considera che il numero n di rate è pari a 8*2 = 16
      Montante rendita = M1 = 2.000 * s(16, 0.0094553)
      Dove s(16, 0.0094533) è il fattore capitalizzante delle rendite:
      Montante rendita = 2.000 * (1,0094553^16 -1)/0,0094553 = 34.372,71
      Dall’altro lato calcoliamo il montante del prelevamento.
      Qui possiamo semplicemente capitalizzarlo di tre anni (dal tempo 5 al tempo 8) usando i tasso annuo.
      M2 = 5.000*1,019^3 = 5.493,39
      Adesso facciamo la differenza dei montanti
      M = M1 – M2 = 28.879,31

  • Giulia ha detto:

    Ciao Andrea,
    Vorrei chiederti un consiglio su questo esercizio:

    Nel 2017 Anita ha versato €3500 alla posta. Anita, poi, dopo 3 anni e mezzo ha versato un’altra quota x. Il montante complessivo che Anita ritira oggi( nel 2023) è di €9440,13 calcolato al tasso annuo composto del 9,75%. Quanto ha versato Anita due anni e mezzo fa?

    Ti ringrazio moltissimo, complimenti per quello che fai. Sei di ispirazione!
    Un abbraccio

    • Andrea ha detto:

      Ciao Giulia
      In primo luogo impostiamo l’equazione secondo la quale il montante dei versamenti è pari a quello ritirito.
      L’equazione è la seguente:
      3500*1,0975^6 + X*1,0975^2,5 = 9.440,13
      Da cui ricaviamo facilmente la X essendo equazione di primo grado:
      X = (9.440,13 – 3500*1,0975^6) / 1,0975^2,5
      X = 2634 circa

  • Carmelo ha detto:

    Ho un debito di 20000€ e sto pagando 219,90€ al mese da cinque anni.
    Come faccio a sapere quanto è rimasto da pagare?
    Grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Carmelo, la risposta dipende proprio dal tasso di interesse.
      Supponiamo un tasso annuo medio del 3%
      Da questo dovresti calcolare il tasso corrispondente mensile
      i’=1,03^(1/12)-1 = 0,002467
      Poi dovresti impostare la seguente equazione
      R*a(12n,i’)+X*(1+i)^-n = S
      Dove R è la rata mensile ovvero 219,90
      n è il numero di anni, ovvero 5
      12n ovviamente sono le 60 rate pagate
      i è il tasso annuo del 3%
      i’ è quello mensile del 0,2467%
      S è il capitale di 20.000
      X è il debito residuo, ovvero la quota da versare per saldare il debito
      a(12n,i’) è il fattore attualizzante delle rendite dove la rata è costante.
      Nel tuo caso:
      a(60,0.002467) = (1-1,002467^(-60))/0,002467
      l’equazione si risolve con
      X = (S – R*a(12,i’))/(1+i)^(-n)

      • Ilario ha detto:

        Ciao, ho da chiedere questo esercizio:
        Una rendita è composta da 12 rate semestrali costanti e posticipate di euro 1200, seguire da 8 rate trimestrali costanti e posticipate di euro 2160.
        Si determini nel regime di capitalizzazione composta al tasso annuo del 2%, il valore della rendita 7 mesi dopo l’ultimo versamento

        • Andrea ha detto:

          Ciao Ilario
          Cominciamo con il calcolare i due tassi semestrale e trimestrale che andremo ad utilizzare per il calcolo dei montanti di due rendite
          il tasso semestrale che usiamo per la prima rendita è
          i2 = 1,02^(1/2)-1 = 0,00995044
          Mentre il tasso trimestrale che usiamo nella seconda rendita è
          i4 = 1,02^(1/4)-1 = 0,00496293
          A questo punto puntualizziamo una cosa
          L’ultima rata della prima rendita semestrale scade dopo 6 anni (12 rate semestrali)
          Mentre l’ultima rata della seconda rendita scade in 8 anni (6 anni + 8 rate trimestrali)
          Dunque 7 mesi dopo la scadenza significa 8 anni + 7 mesi
          Calcoliamo separatamente i due montanti al tempo 8+7/12 (espresso in anni
          Per quanto riguarda la prima rendita calcoliamo il monetante a 6 anni e lo capitalizziamo di 2 anni e 7 mesi (tasso 2%)
          Chiamiamo M1 il montante della rendita 1
          M1 = R*s(12; i2) *1,02^(2+7/12)
          s(12; i2) è il fattore capitalizzante della rendita
          s(12; i2)= ((1+i2)^12 -1)/i2 dove i2 è il tasso calcolato prima (semestrale)
          M1 = 16.013,41
          Passiamo ora al montante della seconda rendita seguendo lo stesso ragionamento
          Usiamo i4 (tasso semestrale) fino al tempo 8 poi capitalizziamo con il 2% per 7/12 di anno
          M2 = R*s(8; i4) *1,02^(2+7/12)
          s(8; i4) è il fattore capitalizzante della rendita
          s(8; i4)= ((1+i4)^8 -1)/i2 dove i4 è il tasso calcolato prima (trimestrale)
          M2 = 17.787,44
          Il montante finale 7 mesi dopo la rendita è la somma delle due parti
          M = M1 + M2

          Se hai due dubbi su:
          – fattore di montante
          – capitalizzazione
          – tassi equivalenti
          – regime composto
          – rendite
          – fattore capitalizzante
          Ti invito a scoprire i corsi di matematica finanziaria a questo link
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  • Carmelo ha detto:

    Il capitale è sottoposto a rivalutazione ed interessi legali.
    Grazie

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