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PREMESSA IMPORTANTE

In questo blog parliamo di come si calcola il montante di una rendita posticipata.

È doveroso informare tu lettore che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.

In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:

  • Immediata 
  • Rata costante e periodica
  • Temporanea
  • Regime composto

Se fatichi a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog  sulla classificazione delle rendite.

Comunque la rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.

Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica non è molto difficile immagine questa situazione.

Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 300 euro al mese per 5 anni, questo è un esempio di tale tipo di rendita.

Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più elementare di rendita che vi possa venire in mente.

L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto,  è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.

GRAFICAMENTE

Dal punto di vista grafico potremmo rappresentare la situazione in questo modo:

Sopra la linea del tempo rappresentiamo i tempi più semplici ovvero 0, 1, 2,3, fino ad n.

La rendita è immediata ovvero decorre da subito, ma il pagamento della rata è posticipata, quindi vedremo la prima rata che scade al tempo 1 e l’ennesima ovvero l’ultima al tempo n.

Le frecce verdi sono dirette verso la scadenza della rendita che avviene all’epoca n.

FORMULA

Per calcolare il montante di questa rendita esiste una formula ben precisa.

Si deve moltiplicare la rata per un certo fattore che chiamiamo “esse figurato n al tasso i”.

Esplicitando questo fattore avremo il nostro montante:

Una doverosa precisazione per chiarire il ruolo di questo fattore è la seguente.

Usando il fattore “esse figurato n al tasso i” andiamo a calcolare il valore della rendita all’atto del pagamento dell’ultima rata.

ESEMPIO

Vediamo insieme questo esempio che ci aiuterà a chiarire la cosa dal punto di vista pratico.

Versate a partire da oggi 1.200 euro alla fine di ogni anno (oggi siamo all’inizio dell’anno) in un fondo che rende il 7,8% composto annuo.

Di quanto potrete disporre tra 5 anni?

GRAFICO

Rappresentiamo la situazione graficamente.

Come tempi scriveremo 0, 1, 2 3, 4 e 5.

L’importo delle rate, di cui la prima a partire dal tempo 1, sarà sempre di 1.200 euro.

Le frecce fino all’epoca 5, scadenza della rendita.

MONTANTE

Per calcolare il montante applichiamo la formula vista prima.

La rata è di 1.200 euro e moltiplica il fattore “esse figurato 5 al tasso 0,078”.

Esplicitiamo ora il fattore “esse figurato 5 al tasso 0,078”:

Abbiamo ottenuto un montante pari a 7.011,90.

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.

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7 Comments

  • nicola ha detto:

    Ciao,
    Se ho un finanziamento con 120 rate da 279,00 al tasso del 5,18% ed il monte interessi in regime composto è pari ad euro 7.394,84,

    come faccio a sapere a quale tasso in regime semplice avrò la stessa rata e stesso monte interessi?

    Quale formula si utilizza per l’equità?
    Quello che ho trovato i=1/t[(1+y)^t – 1] – partendo dal tasso in regime composto del 5,18% – mi da un tasso in regime semplice del 6.94% ma la rata ed il monte interessi non coincidono…

    grazie mille per l’aiuto

    • Andrea ha detto:

      Ciao Nicola,
      Ti ringrazio per questo quesito.
      Anche se in apparenza sembra riguardare il montante di una rendita riguarda un piano di ammortamento alla francese.
      Come dati hai
      Rata costante = 279
      Numero rate = 120 (immagino mensili)
      Tasso annuo = 5,18%
      Monte interessi = 7.394,84

      Il mio ragionamento iniziale è stato il seguente.
      Rata = quota capitale + quota interessi
      Quindi
      Somma rate = somma quote capitale + somma quote interessi
      Ora la somma delle rate è pari a:
      279*120=33.480
      Mentre la somma delle quote interessi è pari al monte interessi, ovvero 7.394,84
      A questo punto facendo la differenza ricaviamo la somma delle quote capitali.
      33.480 – 7.394,84 = 26.085,16

      Dobbiamo sapere che tale somma delle quote capitali coincide con il capitale preso a prestito.
      A questo punto ho pensato di determinare quella rata costante nel regime semplice che permettesse di restituire il prestito.
      Purtroppo il regime semplice non è un regime scindibile quindi risulta molto difficile trovare un equilibrio per determinare la rata costante.

      Il problema poi è molto restrittivo poiché vuole che vi sia
      -la stessa rata
      -lo stesso monte interessi
      (- la stessa durata)

      L’unica soluzione che ho trovato è questo ragionamento.
      Se le rate del francese hanno la stessa periodicità (mensile nel nostro caso)
      Gli interessi calcolati sui debiti residui devono per forza coincidere sia nel regime semplice che nel regime composto.
      Se pensiamo ai montanti unitari infatti
      m(1) = (1+i)^1 = (1+i*1) = 1+i
      Dunque a livello mensile devono per forza coincidere i due tassi nel semplice e nel composto
      In questo modo salviamo capra e cavoli
      Avremo
      – stessa rata
      – stesso monte interessi (poiché stessi interessi)
      Di conseguenza calcoliamo il tasso mensile equivalente al tasso annuo composto del 5,18%
      i(12)comp= (1+0,0518)^(1/12)-1=0,0042174
      Questo tasso deve essere pertanto uguale a quello mensile del semplice
      i(12)sempl = 0,00421745
      Ora moltiplicando per 12 il tasso mensile semplice abbiamo quello annuo semplice
      i sempl = 0,00421745*12= 0,0506094

  • PARMINDER ha detto:

    Una persona ha versato per 6 anni consecutivi, alla fine di ogni anno € 800 presso una banca che capitalizza al tasso dell’11% annuo. Calcolare quale montante troverà accumulato all’atto dell’ultimo versamento e quale rata costante si sarebbe dovuta versare per i 10 anni per ottenere lo stesso montante. [€ 10975,15; € 656,33]

    • Andrea ha detto:

      Ciao Parminder,
      Grazie della domanda
      In questo caso dobbiamo calcolare il montante all’atto dell’ultimo versamento di una rendita posticipata di 6 rate annua pari ad 800 con il tasso dell’11%.

      La formula da utilizzare è:
      M= R*((1+i)^n -1)/i
      M=800*(1,11^6 -1)/0,11 =6.330,29

      Se vogliamo calcolare la rata annua da versare per 10 anni al fine di ottenere lo stesso montante sarà ovviamente minore della precedente.
      Per ricavarla dobbiamo invertire la formula precedente.
      In particolare:
      R=M*i/((1+i)^n -1)
      R=6.330,29*0,11/(1,11^10 -1)= 378,56

      Ti faccio notare che il risultato che hai riportato tu (10.975,15) in base ai dati del testo che hai fornito è sbagliato
      E di conseguenza risulta diverso anche il secondo risultato.
      Saluti 😉

  • PARMINDER ha detto:

    Determinare il montante di una rendita costituita da 10 rate annue di € 600 all’atto dell’ultimo versamento, sapendo che il tasso annuo del 9% è stato elevato al 10,50% annuo dopo il versamento della quarta rata. Calcolare il montante un anno dopo l’ultimo versamento. [€ 9683,20; € 10699,93]

    • Andrea ha detto:

      Ciao parminder
      Se devi calcolare il montante di una rendita posticipata di durata 10 anni con rata annua di 600 euro basta che utilizzi la formula base per il calcolo del montante di una rendita
      M=R*”s figurato n al tasso i”
      Nel nostro caso avremo che
      M=600*(1,09^10 – 1)/0,09 = 9.115,76

      Quando
      Il tasso cambia in questo periodo allora dovremo fare i due montanti di due rendite “separate”.

      Nel nostro caso il tasso subisce una modifica dopo il 4 anno passando dal 9% al 10,5%
      Ti riporto già il calcolo con i raccoglimenti
      M=600 * ( (1,09^4 – 1)/0,09 * 1,105^6 + (1,105^6 -1 )/0,105)=9.683,20

      Se infine vogliamo il montante di quest’ultima un anno dopo l’ultimo versamento moltiplichiamo questo ultimo risultato per 1+i
      M(1 anno dopo) = 9.683,20*1,105= 10.699,93

      Spero di esserti stato di aiuto 😉

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