PREMESSA IMPORTANTE
In questo blog vediamo come calcolare il valore attuale di una rendita anticipata..
È doveroso informarvi che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.
In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:
- Immediata
- Rata costante e periodica
- Temporanea
- Regime composto
Se faticate a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog sulla classificazione delle rendite.
La rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.
Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica significa che ad intervalli di tempo costanti viene pagata (o riscossa) una rata di pari importo.
Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 500 euro al mese per 10 anni, questo è un esempio di rendita periodica.
Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più semplice di rendita che vi possa venire in mente.
L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto, è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.
GRAFICAMENTE
Rappresentiamo questa situazione con un grafico
Sull’asse dei tempi mettiamo i tempi da 0 a n.
Essendo che la rendita è anticipata e immediata la prima rata viene pagata (o riscossa) al tempo 0.
L’ultima rata per lo stesso motivo cadrà all’epoca n-1.
Le frecce verdi portano il pagamento delle rate all’epoca 0, ovvero oggi, che coincide con il tempo iniziale della rendita.
GRAFICO AVANZATO
Rappresentiamo un grafico un po’ più avanzato che ci fa capire meglio il calcolo del valore attuale di una rendita anticipata.
Abbiamo già visto in un blog precedente come calcolare il valore attuale di una rendita posticipata.
per calcolare il valore attuale di una rendita posticipata bisogna moltiplicare la rata per il fattore attualizzante “a figurato n al tasso i”.
In questo modo calcoliamo il valore della rendita un tempo prima il pagamento della prima rata.
Ora però noi sappiamo che la prima rata viene pagata all’epoca 0, pertanto applicando questo metodo finiremo per calcolarci il valore della rendita all’epoca -1.
Per riequilibrare la situazione e portare il valore all’epoca 0 dobbiamo capitalizzare per il fattore unitario di capitalizzazione (1+i).
Questo ci è permesso poiché il regime composto gode della scindibilità
A questo punto non ci resta che introdurre una simbologia specifica per il calcolo del valore attuale della rendita anticipata.
Possiamo mette sopra la a una dieresi (due puntini) per indicare questo caso speciale.
ESEMPIO
Adesso che abbiamo svelato l’arcano del calcolo del valore attuale di una rendita anticipata procediamo con un esempio:
Per pagare vostra nuova automobile vi accordate di pagare 5 rate annue di 3.500 euro, di cui la prima oggi. Se le condizioni prevedono un tasso composto dell’8%, calcolate il valore dell’auto.
Di quanto potrete disporre tra 5 anni?
GRAFICO
Rappresentiamo come di consueto il grafico che meglio rappresenta la nostra situazione:
Disponiamo i tempi da 0 a 4 sulla linea dei numeri.
Rappresentiamo in corrispondenza die tempi che vanno da 1 a 4 l’importo delle rate costanti pari a 3.500 euro.
Le frecce verde spostano temporalmente le rate al tempo 0.
CALCOLO DEL VALORE ATTUALE
Procediamo al calcolo del valore attuale applicando la formula ricavata precedentemente.
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.
Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.
Mentre se vuoi scoprire tutta la materia della matematica finanziaria dai un’occhiata ai corsi.
Sul mio canale troverai una playlist con tanti video riguardanti la matematica finanziaria
si chiede la dimostrazione di come si arriva alla formula
(1+ 0,1) elevato a n ecc.
grazie
Nel video corso dedicato alle rendite c’è tutta la dimostrazione completa.
Sia quella dell’a figurati n al tasso i che di quella anticipata ovvero a anticipato n al tasso i
Ma quindi è maggiore il valore attuale di una rendita anticipata? Perché non è altro che la rendita posticipata capitalizzata di un anno, giusto?
Grazie mille articolo utilissimo
Esatto Clara 😉
Il mondo più semplice per vederla è proprio quello che hai descritto.
Una rendita posticipata capitalizzata di un anno.
Infatti tutte le rate della posticipata devono essere attualizzate di un periodo in più rispetto alla rendita anticipata. Perciò questa seconda rimarrà sempre più alta di valore rispetto alla posticipata
salve Andrea,
ho svolto tale esercizio riguardo le rendite/ mutuo ma non riesco a capire dove sta l’errore:
-1100 annui posticipati per 4 anni a partire da oggi (attualizzo e mi risulta 4040,39)
-1500 fra 3 anni e mezzo(attualizzo e mi risulta 1330,04)
– 700 fra 7 anni(attualizzo e mi risulta 550,19)
-570 annui anticipati dal 2 al 7 anno.(attualizzo e mi risulta 2934,57)
chiedo e ottengo di pagare in rate annue costanti posticipate in un periodo di 5 anni da oggi. Qual è l’importo della rata? [1997]
( sommando tutte le attualità ottengo 8855,19 applicando poi la formula per trovare la rata mi risulta 1961.26) mentre il risultato dovrebbe essere 1997
Ciao Jacopo,
A quanto ammonta il tasso di interesse che viene applicato a questo esercizio?
é possibile che sia del 3,50%?
In tal caso chiamiamo VA1, VA2, VA3, VA4 i 4 valori attuali:
VA1 = 1.100 * (1 – 1,035^-4)/ 0,035 = 4.040,39 (CORRETTO)
VA2 = 1,500 * 1,035 ^(-3,5) = 1.329,84 (quasi)
VA3 = 700 * 1,035 ^ (-7) = 550,19 (ci siamo)
VA4 = 570 * (1-1,035^(-6))/0,035 = 3.037,28
Ti faccio notate come in questo ultimo caso h inserito 6 rate e non 5 poiché se conteggiamo
sia il secondo anno che il settimo gli anni in totale risultano 6.
In questo caso ritengo che i testi debba essere più chiari.
Molte volte non è facile quale sia il confine tra un significato e l’altro.
Nota bene inoltre che pagare al secondo anno in maniera anticipata equivale (finanziariamente)
a pagare al primo anno in maniera posticipata.
Perciò ho considerato l’ultimo un semplice valore attuale di 6 rate costanti immediate e posticipate.
La somma dei 4 VA risulta = 8.957,70
Per ricavare la rata otteniamo che:
R = 8.957,70 / (a_5;0,035) = 1.983,96
Tale risultato è più vicino del tuo ma non ancora identico alla soluzione proposta.
Tuttavia mi sembra di aver controllato tutto
Ciao Jacopo,
A quanto ammonta il tasso di interesse che viene applicato a questo esercizio?
é possibile che sia del 3,50%?
In tal caso chiamiamo VA1, VA2, VA3, VA4 i 4 valori attuali:
VA1 = 1.100 * (1 – 1,035^-4)/ 0,035 = 4.040,39 (CORRETTO)
VA2 = 1,500 * 1,035 ^(-3,5) = 1.329,84 (quasi)
VA3 = 700 * 1,035 ^ (-7) = 550,19 (ci siamo)
VA4 = 570 * (1-1,035^(-6))/0,035 = 3.037,28
Ti faccio notate come in questo ultimo caso h inserito 6 rate e non 5 poiché se conteggiamo
sia il secondo anno che il settimo gli anni in totale risultano 6.
In questo caso ritengo che i testi debba essere più chiari.
Molte volte non è facile quale sia il confine tra un significato e l’altro.
Nota bene inoltre che pagare al secondo anno in maniera anticipata equivale (finanziariamente)
a pagare al primo anno in maniera posticipata.
Perciò ho considerato l’ultimo un semplice valore attuale di 6 rate costanti immediate e posticipate.
La somma dei 4 VA risulta = 8.957,70
Per ricavare la rata otteniamo che:
R = 8.957,70 / (a_5;0,035) = 1.983,96
Tale risultato è più vicino del tuo ma non ancora identico alla soluzione proposta.
Tuttavia mi sembra di aver controllato tutto
Ciao riusciresti a darmi una mano in questo esercizio di rendita? Non capisco cosa sbaglio..Calcola il valore attuale di una rendita immediata posticipata di 4 rate costanti annue da 1500 l’una, i primi 2 anni vige il regime degli interessi anticipati al tasso semestrale di sconto del 1% mentre per i rimanenti quello di capitalizzazione composta al tasso annuo al 6 %. le possibili risposte sono 1)5508,14-2)5357,57-3)5650,09-4)5550,09. Io ho convertito il semestrale in annuale al 2% e le ultime due rate con interesse composto ho calcolato 1500*1-(1+0,06)^-2/0.06*1.06*(1.06)^-2 e viene 2594,4236 ma poi mi blocco e non so come arrivare al risultato.
Grazie anticipatamente per la risposta
Ciao Elisabetta,
Grazie per la domanda molto interessante.
Cominciamo dall’attualizzazione delle prime due rate.
In questo caso possiamo usare il classico fattore attualizzante per il regime anticipato
v(t) = 1 – dt
Ora tale valore risulta essere:
V1 = 1.500 * (1-0,01*2) + 1.500 * (1-0,01*4) = 2.910
Ti faccio notare che ho tenuto il tasso semestrale 0,01 e ho espresso il tempo in semestri
1 anno = 2 sem
2 anni = 4 sem
Se avessimo fatto questo calcolo in u’unica soluzione avremmo fatto
V1 = 1.500 * (2 + 0,01*(2+4)) = 2.910
Passiamo ora alle successive 2 rate e calcoliamo il valore attuale di queste che chiameremo V2
Ti scrivo il calcolo:
V2 = 1.500 * (1 – 1,06^(-2))/0,06 * (1-0,01*4) = 2.640,08
Commento dell’ultima formula:
Abbiamo preso la rata 1.500
Con il primo fattore (1 – 1,06^(-2))/0,06
abbiamo spostato le due rate annue costanti al tasso del 6% annuo composto al tempo 2
Moltiplicando poi per il secondo fattore (1-0,01*4)
abbiamo attualizzato questo risultato di 4 semestri=2anni
spostando tutto al tempo zero.
Sommando V1 e V2 abbiamo il nostro valore attuale complessivo V
V = V1 + V2 = 2.910 + 2.640,08 = 5.550,08
Il signor Alfa 6 anni fa ha investito un capitale di 8300 presso una banca che capitalizza al 2,10% e negli ultimi 4 anni ha prelevato annualmente 650€. quanto ha oggi a disposizione?
Mi aiuteresti in questo esercizio?
Grazie
Il primo: Si vuol costruire tra un anno una somma di 5.000 €. Qual è la rata bimestrale anticipata da versare da oggi per ottenere l’importo desiderato (r=4,5%)?
Ciao, Mihaela.
In questo caso conosciamo la cifra che dobbiamo costituire.
Questa sarà il montante della nostra rendita e lo indicheremo perciò con il temine M.
Quando la rendita ha rata costante utilizziamo per il calcolo della rata ANTICIPATA a partire dal montante la seguente formula:
R = M /[((1+r)^n – 1)/r)·(1+i)]
Dove r è il tasso, n il numero delle rate
Passiamo al numero delle rate n.
Sappiamo che i versamenti sono bimestrali e la costituzione è tra un anno.
I versamenti sono perciò 1·6 = 6
Ora veniamo al tasso di interesse.
è necessario adeguare il tasso di interesse alla periodicità della ra.
Dunque ci serve il tasso bimestrale.
R6 = 1,045^(1/6)-1 = 0,007363123
Non ci resta dunque che applicare la formula
R = 5.000 /[(1,007363123^6-1)/0,007363123 *1,007363123] =812,14
Il secondo: Per un prestito di 15.000 €, avuti oggi, vengono richieste 12 rate mensili posticipate al saggio del 5,2%, a partire da oggi. Qual è l’importo di ogni rata?
Ciao, Mihaela.
In questo caso conosciamo la cifra presa a prestito di 15.000
Questa sarà il Valore attuale della nostra rendita e lo indicheremo con S.
Quando la rendita ha rata costante utilizziamo per il calcolo della rata posticipata a partire
dal capitale prestato S la seguente formula:
R = S /((1-(1+r)^(-n))/r)
Dove r è il tasso, n il numero delle rate
Passiamo al numero delle rate n.
Sappiamo che i versamenti sono mensli e la costituzione è tra un anno.
I versamenti sono perciò 1·12 = 12
Ora veniamo al tasso di interesse.
è necessario adeguare il tasso di interesse alla periodicità della rata.
Dunque ci serve il tasso mensile.
R12 = 1,052^(1/12)-1 = 0,0041697
Non ci resta dunque che applicare la formula
R = 15.000 /((1-1,0041697^(-12))/0,0041697) =1.284,14
Grazie mille gentilissimo!!!
Salve riusciresti ad aiutarmi a rispondere a questa domanda e spiegarmi il perché?
la domanda in questione è la seguente: lo scambio fra la rendita r1 e la rendita r2:
1) è vantaggioso per il detentore di r1 se V (to,r1) V(to,r2);
3) è vantaggioso per il detentore di r1 se V (to,r1) = V (to,r2).
Ti ringrazio anticipatamente.
Ciao Simone,
Secondo me c’è qualcosa di incompleto in questo testo che mi scrivi.
Comunque provo a interpretare.
Qui si tratta dello scambio di due rendite.
Supponiamo di chiamare V1 e V2 i valori attuali delle due rendite
Mentre definiamo r1 e r2 i relativi tassi di interesse.
In generale lo scambio di rendite è vantaggio quando il valore attuale della rendita ceduta è maggiore di quello della rendita che si sta acquistando.
Se chiamiamo V(t0,r1) il valore della rendita 1 attualizzata con il tasso r1
e chiamiamo V(t0,r2) il valore oggi della seconda rendita calcolata al tasso r2.
Se noi siamo in possesso della rendita 1
e vogliamo scambiarla con una rendita 2.
La domanda è:
Quando lo scambio è vantaggioso???
Lo scambio è per noi vantaggioso (oggi, ovvero al tempo to)
Solamente quando il valore della rendita 2 (quella che vogliamo acquistare)
risulta maggiore al valore attuale della rendita 1 (che è quella che teniamo in portafoglio)
Ciao Andrea, sapresti aiutarmi nel calcolo del fattore di rendita in esercizi con il CAE?
Azienda X sta considerando di sostituire il suo forno con uno nuovo. Hanno ricevuto due
offerte. Il forno A ha un costo iniziale di $34.000, costi operative annui di $6.000, e una vita operativa
di 4 anni. Il forno B ha un costo iniziale di $24.000, costi operativi annui di $8.000, e una vita utile
di 3 anni. Quale forno dovrebbe essere comprato? Assumete un costo opportunità del capitale di 12%.
la soluzione presenta VA costi per il forno A 52.222 come 34000+6000×3,037 e successivamente CAE = 52.222/3,037 dove il 3,037 è il fattore di rendita, come trovo questo fattore di rendita? non riesco a capirlo
Ciao Mattia.
Per calcolare il costo annuo equivalente (CAE) per prima cosa si fa il valore attuale dei costi futuri.
Nel nostro caso il calcolo è:
VA = 34.000+6.000*a(4,01,12)
Dove a(4,01,12) è il fattore attualizzante per le rendite
Si calcola come segue:
a(4,01,12) = (1-1,12^(-4))/0,12 = 3,03735
Ti rimando a questo articolo che tratta proprio questo punto
https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/operazioni-finanziarie-rendite/valore-attuale-di-una-rendita-posticipata/
Facendo il conto abbiamo che:
V = 52.224
Per trovare il CAE andiamo ora a dividere questo valore attuale per a(4,01,12)
Dunque:
CAE = V/a(4,01,12) = 52.224/3,03735 = 17.194 circa
Capito, ti ringrazio molto
Si chiede di conoscere il valore del capitale necessario per costituire una rendita vitalizia costante, mensile di €. 1.283,53, a favore di un neonato di 4 mesi. Grazie dell’attenzione.
Ciao Gian Paolo:
Dipende molto dal tasso che utilizzi.
Se ad esempio usi il 2% all’anno il calcolo è:
1.283/(1,02^(1/12) -1) = 776.831
Se usi un 3%:
1.283/(1,03^(1/12) -1) = 520.000
Se usi un 4%:
1.283/(1,04^(1/12) -1) = 391.000
ciao,
si chiede di determinare il valore attuale della rendita semestrale, immediata, anticipata, temporanea per 8 anni di rata pari a 1500 e tasso di interesse annuo 6%
Ciao Alessia
Per prima cosa determini il tasso semestrale della rendita con la formula
i2=1,06^(1/2) -1
Dopo di che il numero di rate è 16
Poiché in ogni anno vi sono due semestri
Infine puoi calcolare il valore attuale con la formula generale per la rendita anticipata
V= R*a(n,i)*(1+i)
Dove
n=16
i=tasso semestrale
a(n,i) fattore attualizzante della rendita POSTICIPATA