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PREMESSA IMPORTANTE

In questo blog vediamo come calcolare il valore attuale di una rendita anticipata..

È doveroso informarvi  che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.

In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:

  • Immediata 
  • Rata costante e periodica
  • Temporanea
  • Regime composto

Se faticate a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog  sulla classificazione delle rendite.

La rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.

Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica significa che ad intervalli di tempo costanti viene pagata (o riscossa) una rata di pari importo.

Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 500 euro al mese per 10 anni, questo è un esempio di  rendita periodica.

Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più semplice di rendita che vi possa venire in mente.

L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto,  è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.

GRAFICAMENTE

Rappresentiamo questa situazione con un grafico

Sull’asse dei tempi mettiamo i tempi da 0 a n.

Essendo che la rendita è anticipata  e immediata la prima rata viene pagata (o riscossa) al tempo 0.

L’ultima rata per lo stesso motivo cadrà all’epoca n-1.

Le frecce verdi portano il pagamento delle rate all’epoca 0, ovvero oggi, che coincide con il tempo iniziale della rendita.

GRAFICO AVANZATO

Rappresentiamo un grafico un po’ più avanzato che ci fa capire meglio il calcolo del valore attuale di una rendita anticipata.

Abbiamo già visto in un blog precedente  come calcolare il valore attuale di una rendita posticipata.

 per calcolare il valore attuale di una rendita posticipata bisogna moltiplicare la rata per il fattore attualizzante “a figurato n al tasso i”.

In questo modo calcoliamo il valore della rendita un tempo prima il pagamento della prima rata.

Ora però noi sappiamo che la prima rata viene pagata all’epoca 0, pertanto applicando questo metodo finiremo per calcolarci il valore della rendita all’epoca -1.

Per riequilibrare la situazione e portare il valore all’epoca 0 dobbiamo capitalizzare per il fattore unitario di capitalizzazione (1+i).

Questo ci è permesso poiché il regime composto gode della scindibilità

A questo punto non ci resta che introdurre una simbologia specifica per il calcolo del valore attuale della rendita anticipata.

Possiamo mette sopra la a una dieresi (due puntini) per indicare questo caso speciale.

ESEMPIO

Adesso che abbiamo svelato l’arcano del calcolo del valore attuale di una rendita anticipata procediamo con un esempio:

Per pagare vostra nuova automobile vi accordate di pagare 5 rate annue di 3.500 euro, di cui la prima oggi. Se le condizioni prevedono un tasso composto dell’8%, calcolate il valore dell’auto.

Di quanto potrete disporre tra 5 anni?

GRAFICO

Rappresentiamo come di consueto il grafico che meglio rappresenta la nostra situazione:

Disponiamo i tempi da 0 a 4 sulla linea dei numeri.

Rappresentiamo in corrispondenza die tempi che vanno da 1 a 4 l’importo delle rate costanti pari a 3.500 euro.

 Le frecce verde spostano temporalmente le rate al tempo 0.

CALCOLO DEL VALORE ATTUALE

Procediamo al calcolo del valore attuale applicando la formula ricavata precedentemente.

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.

Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.

Mentre se vuoi scoprire tutta la materia della matematica finanziaria dai un’occhiata ai corsi.

Sul mio canale troverai una playlist con tanti video riguardanti la matematica finanziaria

47 Comments

  • elio ha detto:

    si chiede la dimostrazione di come si arriva alla formula
    (1+ 0,1) elevato a n ecc.

    grazie

    • Andrea ha detto:

      Nel video corso dedicato alle rendite c’è tutta la dimostrazione completa.
      Sia quella dell’a figurati n al tasso i che di quella anticipata ovvero a anticipato n al tasso i

  • Clara ha detto:

    Ma quindi è maggiore il valore attuale di una rendita anticipata? Perché non è altro che la rendita posticipata capitalizzata di un anno, giusto?
    Grazie mille articolo utilissimo

    • Andrea ha detto:

      Esatto Clara 😉
      Il mondo più semplice per vederla è proprio quello che hai descritto.
      Una rendita posticipata capitalizzata di un anno.
      Infatti tutte le rate della posticipata devono essere attualizzate di un periodo in più rispetto alla rendita anticipata. Perciò questa seconda rimarrà sempre più alta di valore rispetto alla posticipata

  • jacopo ha detto:

    salve Andrea,
    ho svolto tale esercizio riguardo le rendite/ mutuo ma non riesco a capire dove sta l’errore:

    -1100 annui posticipati per 4 anni a partire da oggi (attualizzo e mi risulta 4040,39)
    -1500 fra 3 anni e mezzo(attualizzo e mi risulta 1330,04)
    – 700 fra 7 anni(attualizzo e mi risulta 550,19)
    -570 annui anticipati dal 2 al 7 anno.(attualizzo e mi risulta 2934,57)
    chiedo e ottengo di pagare in rate annue costanti posticipate in un periodo di 5 anni da oggi. Qual è l’importo della rata? [1997]
    ( sommando tutte le attualità ottengo 8855,19 applicando poi la formula per trovare la rata mi risulta 1961.26) mentre il risultato dovrebbe essere 1997

    • Andrea ha detto:

      Ciao Jacopo,
      A quanto ammonta il tasso di interesse che viene applicato a questo esercizio?
      é possibile che sia del 3,50%?
      In tal caso chiamiamo VA1, VA2, VA3, VA4 i 4 valori attuali:
      VA1 = 1.100 * (1 – 1,035^-4)/ 0,035 = 4.040,39 (CORRETTO)
      VA2 = 1,500 * 1,035 ^(-3,5) = 1.329,84 (quasi)
      VA3 = 700 * 1,035 ^ (-7) = 550,19 (ci siamo)
      VA4 = 570 * (1-1,035^(-6))/0,035 = 3.037,28
      Ti faccio notate come in questo ultimo caso h inserito 6 rate e non 5 poiché se conteggiamo
      sia il secondo anno che il settimo gli anni in totale risultano 6.
      In questo caso ritengo che i testi debba essere più chiari.
      Molte volte non è facile quale sia il confine tra un significato e l’altro.
      Nota bene inoltre che pagare al secondo anno in maniera anticipata equivale (finanziariamente)
      a pagare al primo anno in maniera posticipata.
      Perciò ho considerato l’ultimo un semplice valore attuale di 6 rate costanti immediate e posticipate.

      La somma dei 4 VA risulta = 8.957,70
      Per ricavare la rata otteniamo che:
      R = 8.957,70 / (a_5;0,035) = 1.983,96
      Tale risultato è più vicino del tuo ma non ancora identico alla soluzione proposta.
      Tuttavia mi sembra di aver controllato tutto

    • Andrea ha detto:

      Ciao Jacopo,
      A quanto ammonta il tasso di interesse che viene applicato a questo esercizio?
      é possibile che sia del 3,50%?
      In tal caso chiamiamo VA1, VA2, VA3, VA4 i 4 valori attuali:
      VA1 = 1.100 * (1 – 1,035^-4)/ 0,035 = 4.040,39 (CORRETTO)
      VA2 = 1,500 * 1,035 ^(-3,5) = 1.329,84 (quasi)
      VA3 = 700 * 1,035 ^ (-7) = 550,19 (ci siamo)
      VA4 = 570 * (1-1,035^(-6))/0,035 = 3.037,28
      Ti faccio notate come in questo ultimo caso h inserito 6 rate e non 5 poiché se conteggiamo
      sia il secondo anno che il settimo gli anni in totale risultano 6.
      In questo caso ritengo che i testi debba essere più chiari.
      Molte volte non è facile quale sia il confine tra un significato e l’altro.
      Nota bene inoltre che pagare al secondo anno in maniera anticipata equivale (finanziariamente)
      a pagare al primo anno in maniera posticipata.
      Perciò ho considerato l’ultimo un semplice valore attuale di 6 rate costanti immediate e posticipate.

      La somma dei 4 VA risulta = 8.957,70
      Per ricavare la rata otteniamo che:
      R = 8.957,70 / (a_5;0,035) = 1.983,96
      Tale risultato è più vicino del tuo ma non ancora identico alla soluzione proposta.
      Tuttavia mi sembra di aver controllato tutto

  • Elisabetta ha detto:

    Ciao riusciresti a darmi una mano in questo esercizio di rendita? Non capisco cosa sbaglio..Calcola il valore attuale di una rendita immediata posticipata di 4 rate costanti annue da 1500 l’una, i primi 2 anni vige il regime degli interessi anticipati al tasso semestrale di sconto del 1% mentre per i rimanenti quello di capitalizzazione composta al tasso annuo al 6 %. le possibili risposte sono 1)5508,14-2)5357,57-3)5650,09-4)5550,09. Io ho convertito il semestrale in annuale al 2% e le ultime due rate con interesse composto ho calcolato 1500*1-(1+0,06)^-2/0.06*1.06*(1.06)^-2 e viene 2594,4236 ma poi mi blocco e non so come arrivare al risultato.
    Grazie anticipatamente per la risposta

    • Andrea ha detto:

      Ciao Elisabetta,
      Grazie per la domanda molto interessante.
      Cominciamo dall’attualizzazione delle prime due rate.
      In questo caso possiamo usare il classico fattore attualizzante per il regime anticipato
      v(t) = 1 – dt
      Ora tale valore risulta essere:
      V1 = 1.500 * (1-0,01*2) + 1.500 * (1-0,01*4) = 2.910
      Ti faccio notare che ho tenuto il tasso semestrale 0,01 e ho espresso il tempo in semestri
      1 anno = 2 sem
      2 anni = 4 sem
      Se avessimo fatto questo calcolo in u’unica soluzione avremmo fatto
      V1 = 1.500 * (2 + 0,01*(2+4)) = 2.910

      Passiamo ora alle successive 2 rate e calcoliamo il valore attuale di queste che chiameremo V2
      Ti scrivo il calcolo:
      V2 = 1.500 * (1 – 1,06^(-2))/0,06 * (1-0,01*4) = 2.640,08

      Commento dell’ultima formula:

      Abbiamo preso la rata 1.500
      Con il primo fattore (1 – 1,06^(-2))/0,06
      abbiamo spostato le due rate annue costanti al tasso del 6% annuo composto al tempo 2
      Moltiplicando poi per il secondo fattore (1-0,01*4)
      abbiamo attualizzato questo risultato di 4 semestri=2anni
      spostando tutto al tempo zero.

      Sommando V1 e V2 abbiamo il nostro valore attuale complessivo V
      V = V1 + V2 = 2.910 + 2.640,08 = 5.550,08

  • Giuancarlo ha detto:

    Il signor Alfa 6 anni fa ha investito un capitale di 8300 presso una banca che capitalizza al 2,10% e negli ultimi 4 anni ha prelevato annualmente 650€. quanto ha oggi a disposizione?
    Mi aiuteresti in questo esercizio?
    Grazie

  • Mihaela ha detto:

    Il primo: Si vuol costruire tra un anno una somma di 5.000 €. Qual è la rata bimestrale anticipata da versare da oggi per ottenere l’importo desiderato (r=4,5%)?

    • Andrea ha detto:

      Ciao, Mihaela.
      In questo caso conosciamo la cifra che dobbiamo costituire.
      Questa sarà il montante della nostra rendita e lo indicheremo perciò con il temine M.
      Quando la rendita ha rata costante utilizziamo per il calcolo della rata ANTICIPATA a partire dal montante la seguente formula:
      R = M /[((1+r)^n – 1)/r)·(1+i)]
      Dove r è il tasso, n il numero delle rate
      Passiamo al numero delle rate n.
      Sappiamo che i versamenti sono bimestrali e la costituzione è tra un anno.
      I versamenti sono perciò 1·6 = 6
      Ora veniamo al tasso di interesse.
      è necessario adeguare il tasso di interesse alla periodicità della ra.
      Dunque ci serve il tasso bimestrale.
      R6 = 1,045^(1/6)-1 = 0,007363123
      Non ci resta dunque che applicare la formula
      R = 5.000 /[(1,007363123^6-1)/0,007363123 *1,007363123] =812,14

  • Mihaela ha detto:

    Il secondo: Per un prestito di 15.000 €, avuti oggi, vengono richieste 12 rate mensili posticipate al saggio del 5,2%, a partire da oggi. Qual è l’importo di ogni rata?

    • Andrea ha detto:

      Ciao, Mihaela.
      In questo caso conosciamo la cifra presa a prestito di 15.000
      Questa sarà il Valore attuale della nostra rendita e lo indicheremo con S.
      Quando la rendita ha rata costante utilizziamo per il calcolo della rata posticipata a partire
      dal capitale prestato S la seguente formula:
      R = S /((1-(1+r)^(-n))/r)
      Dove r è il tasso, n il numero delle rate
      Passiamo al numero delle rate n.
      Sappiamo che i versamenti sono mensli e la costituzione è tra un anno.
      I versamenti sono perciò 1·12 = 12
      Ora veniamo al tasso di interesse.
      è necessario adeguare il tasso di interesse alla periodicità della rata.
      Dunque ci serve il tasso mensile.
      R12 = 1,052^(1/12)-1 = 0,0041697
      Non ci resta dunque che applicare la formula
      R = 15.000 /((1-1,0041697^(-12))/0,0041697) =1.284,14

  • Mihaela ha detto:

    Grazie mille gentilissimo!!!

  • simone ha detto:

    Salve riusciresti ad aiutarmi a rispondere a questa domanda e spiegarmi il perché?
    la domanda in questione è la seguente: lo scambio fra la rendita r1 e la rendita r2:

    1) è vantaggioso per il detentore di r1 se V (to,r1) V(to,r2);
    3) è vantaggioso per il detentore di r1 se V (to,r1) = V (to,r2).

    Ti ringrazio anticipatamente.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Simone,
      Secondo me c’è qualcosa di incompleto in questo testo che mi scrivi.
      Comunque provo a interpretare.
      Qui si tratta dello scambio di due rendite.
      Supponiamo di chiamare V1 e V2 i valori attuali delle due rendite
      Mentre definiamo r1 e r2 i relativi tassi di interesse.
      In generale lo scambio di rendite è vantaggio quando il valore attuale della rendita ceduta è maggiore di quello della rendita che si sta acquistando.
      Se chiamiamo V(t0,r1) il valore della rendita 1 attualizzata con il tasso r1
      e chiamiamo V(t0,r2) il valore oggi della seconda rendita calcolata al tasso r2.
      Se noi siamo in possesso della rendita 1
      e vogliamo scambiarla con una rendita 2.
      La domanda è:
      Quando lo scambio è vantaggioso???
      Lo scambio è per noi vantaggioso (oggi, ovvero al tempo to)
      Solamente quando il valore della rendita 2 (quella che vogliamo acquistare)
      risulta maggiore al valore attuale della rendita 1 (che è quella che teniamo in portafoglio)

  • Mattia ha detto:

    Ciao Andrea, sapresti aiutarmi nel calcolo del fattore di rendita in esercizi con il CAE?

    Azienda X sta considerando di sostituire il suo forno con uno nuovo. Hanno ricevuto due
    offerte. Il forno A ha un costo iniziale di $34.000, costi operative annui di $6.000, e una vita operativa
    di 4 anni. Il forno B ha un costo iniziale di $24.000, costi operativi annui di $8.000, e una vita utile
    di 3 anni. Quale forno dovrebbe essere comprato? Assumete un costo opportunità del capitale di 12%.

    la soluzione presenta VA costi per il forno A 52.222 come 34000+6000×3,037 e successivamente CAE = 52.222/3,037 dove il 3,037 è il fattore di rendita, come trovo questo fattore di rendita? non riesco a capirlo

  • Gian Paolo ha detto:

    Si chiede di conoscere il valore del capitale necessario per costituire una rendita vitalizia costante, mensile di €. 1.283,53, a favore di un neonato di 4 mesi. Grazie dell’attenzione.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Gian Paolo:
      Dipende molto dal tasso che utilizzi.
      Se ad esempio usi il 2% all’anno il calcolo è:
      1.283/(1,02^(1/12) -1) = 776.831
      Se usi un 3%:
      1.283/(1,03^(1/12) -1) = 520.000
      Se usi un 4%:
      1.283/(1,04^(1/12) -1) = 391.000

  • alessia ha detto:

    ciao,
    si chiede di determinare il valore attuale della rendita semestrale, immediata, anticipata, temporanea per 8 anni di rata pari a 1500 e tasso di interesse annuo 6%

    • Andrea ha detto:

      Ciao Alessia
      Per prima cosa determini il tasso semestrale della rendita con la formula
      i2=1,06^(1/2) -1
      Dopo di che il numero di rate è 16
      Poiché in ogni anno vi sono due semestri
      Infine puoi calcolare il valore attuale con la formula generale per la rendita anticipata

      V= R*a(n,i)*(1+i)
      Dove
      n=16
      i=tasso semestrale
      a(n,i) fattore attualizzante della rendita POSTICIPATA

  • Fabio ha detto:

    Ciao Andrea, devo risolvere questo esercizio ma non riesco in nessun modo. Riusciresti ad aiutarmi?
    “Una rendita annua triennale suddivisa in 6 pagamenti semestrali da 5000 euro inizierà ad essere corrisposta tra 10 anni, e il primo pagamento avverrà esattamente tra 10,5 anni. Se il tasso di attualizzazione è il 10% capitalizzato mensilmente, qual è il valore di questa rendita annua tra 5 anni? e tra 3? e qual è il valore corrente?
    Grazie mille

    • Andrea ha detto:

      Ciao Fabio
      Per prima cosa cominciamo col calcolare il valore della rendita posticipata ESATTAMENTE tra 10 anni
      In questo caso ci serve il tasso semestrale poiché le rate sono semestrali
      Usiamo la formula di trasformazione del tasso nel regime composto
      i2=1,10^0,5 -1 = 0,0488
      A questo punto applichiamo lattualizzazione composta della rendita posticipata
      V(10) = 5.000 * a(6; 0.0488)
      Con
      V(10) valore della rendita al tempo
      10 anni
      a(6; 0.0488) Fattore attualizzante delle rendite
      a(6; 0.0488)= (1-1,0488^(-6))/0,0488
      Quindi
      V(10)=25.476,14
      A questo punto
      Per calcolare il valore oggi V(0)
      Attualizziamo questo risultato V(10) di 10 anni al tasso del 10%
      V(0)=V(10)*1,1^(-6)
      Lo stesso procedimento vale per il valore V(3) e V(5) dove possiamo attualizzare il valore V(10) rispettivamente di 7anni per V(3) e di 5 anni per V(5) al tasso del 10%

  • Chiarini ha detto:

    Buonasera con 1333 euro di rendita al mese dopo i 30 anni quanto viene in totale

    • Andrea ha detto:

      Ciao Sergio
      Supponiamo un tasso annuo del 3% simile all’inflazione
      Il tasso mensile è
      i=1,03^(1/12)-1=0,0022456
      Il montante della rendita Dopo 30 anni è
      M=1333*(1,0022456^(30*12)-1)/0,0022456
      M=737.446 euro

  • Elisabetta ha detto:

    Ciao Andrea, non riesco a svolgere il seguente problema:
    Un generico investitore intende costituire una somma di 5000 euro effettuando 8 versamenti annui al tasso di interesse annuale del 8.15%. Si determini:
    a. La rata di costituzione nell’ipotesi in cui le rate siano posticipate.
    b. Il montante accumulato dopo il sesto versamento.
    c. la rata e il montante dopo il sesto versamento nell’ipotesi in cui i versamenti siano anticipati.
    si spieghi la differenza tra le due rendite e quindi il perché della differenza dei montanti.
    Grazie anticipatamente
    Betti

    • Andrea ha detto:

      Ciao Elisabetta
      Partiamo dalla formula per il calcolo del montante che è:
      M = R * s(n,i) nel caso di rendita posticipata
      Con s(n,i) che è il fattore capitalizzante della rendita
      con s(n,i) = ((1+i)^n – 1)/i
      Nel nostro caso vogliamo la rata dunque ribaltiamo la formula e otteniamo
      R = M / s(n,i)
      Inseriamo i dati
      R = 5.000 / s(8, 0.0815) = 467,53
      con s(8,0.0815) = (1,0815^8 -1)/0,0815
      Il montante al tempo 6 viene calcolato proprio con la formula del montante sopra elencata
      M(6) = R * s(6, 0.0815) = 467,53 * s(6, 0.0815) = 3442,79
      Se la rata fosse anticipata dovremo moltiplicare questa per (1+i)
      Dunque M'(6) = M(6)*1,0815 = 3.723,38
      Se in generale ti trovi in difficolta sulle rendite ti consiglio il corso sulle rendite che trovi nei MINICORSI al seguente link
      Si tratta del SECONDO MINI CORSO che tratta proprio di questo argomento in maniera dettagliata e con molti esercizi risolti simili al tuo
      https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/

    • Andrea ha detto:

      Ciao Elisabetta,
      Cominciamo con il calcolare la rata per ottenere un montante di 5.000 con 8 versamenti al tasso del 8,15%.
      La formula da utilizzare è:
      R = M / s(8, 0.0815)
      con M = 5.000 e s(8, 0.0815) che è il fattore capitalizzante delle rendite:
      s(8, 0.0815) = (1,0815^8 -1)/0,0815
      R = 5000 / s(8, 0.0815) = 467,53
      Il montante cumulato dopo il sesto versamento è pari a:
      M(6) = R * s(6, 0.0815) = 467,53 * (1,0815^6 -1)/0,0815 = 3.442,79
      La rata anticipata la calcoliamo tenendo conto del fattore di correzione nelle rendite anticipate:
      R’ = 5000 / [s(8, 0.0815) *1,0815] = 432,30
      Il montante cumulato subito dopo il sesto versamento (quindi al tempo 5) è:
      M'(6) = R’ * s(6, 0.0815) = 432,30 * (1,0815^6 -1)/0,0815 = 3.183,35
      Se invece intendiamo calcolarlo al tempo 6 tenendo conto solo dei primi sei versamenti dobbiamo capitalizzare di un periodo questo risultato:
      M” = M’*1,0815 = 3.442,79 (otteniamo lo stesso risultato del montante al tempo 6 della posticipata)

  • Eleonora ha detto:

    Ciao Andrea, non riesco a risolve il seguente esercizio:
    Versando 4 rate annue anticipate di uguale importoq in capitalizzazione composta al tasso annuo del 5%, si è costituito, al termine del terzo anno un montante di 11.000 Euro.
    Determinare:
    – l’importo di tale rata,
    – il numero dei versamenti supplementari (sempre annui ed anticipati) necessari per costituire un capitale di 22000 Euro (l’ultimo versamento è minore rispetto agli altri.
    Grazie mille.
    Eleonora

    • Andrea ha detto:

      Ciao Eleonora
      In primo luogo ricordiamo che il montante M di una rendita anticipata si calcola come
      M = R * s(n,i) * (1+i)
      Con s(n,i) fattore capitalizzante delle rendite
      Dunque ricaviamo la rata con la formula inversa:
      R = M (s(n,i) * (1+i))
      Inserendo i dati abbiamo che:
      R = 11.000 /(s(4,0.05)*1,05) = 2.430,60
      Ricordiamo che s(4,0.05) = (1,05^4 -1)/0,05
      Ora che conosciamo la rata passiamo al numero di rate per ottenere un montante di 22.000
      Dalla formula di partenza:
      M = R * s(n,i) * (1+i)
      Dobbiamo esplicitare proprio il fattore s(nei)
      s(n,i) = ((1+i)^n -1)/i
      Dunque avremo che:
      M = R * ((1+i)^n -1)/i * (1+i)
      Da cui ricaviamo (con le opportune formule inverse) che
      (1+i)^n = 1+ (M*i)/(R*(1+i))
      la nostra incognita è n che ricaviamo con i logaritmi:
      n = log(1+(M*i)/(R*(1+i)) / log(1+i)
      Inseriamo ora i dati
      n = log(1+(22.000*0,05)/(2430,60*1,05)) / log(1,05)
      n = 7,34
      Siccome l’ultimo versamento è minore allora versiamo 7 rate di importo pari a 2430,60
      mentre l’ultimo versamento sarà minore (chiamiamo lo X)
      Calcoliamo ora il montante al tempo 7
      M(8) = R * s(7,0.05)*(1,05) + X = 22000
      In questo caso stiamo supponendo che con l’ultimo versamento fatto al tempo 7 otteniamo proprio l’importo desiderato di 22.000
      Da cui ricaviamo la X
      X = 22000 – 2430,60 * s(7,0.05)*(1,05)
      X = 1.220,54

      • Maria ha detto:

        Ciao, il tempo 7 lo abbiamo ipotizzato in questo caso?

        • Andrea ha detto:

          Sapendo che n è maggiore di 7 ipotizzando minore della rata l’ultimo versamento scegliamo 7
          Se diversamente avremmo fatto 6 rate con l’ultimo versamento più grande della rata che in questo caso è fissata

  • Mas ha detto:

    Ciao Andrea, mi sapresti dare una mano con questo esercizio. Credo di attualizzare correttamente tutte le varie rendite ma i calcoli non vengono.
    Matteo compra un negozio il 12/8/2005 il cui costo `e 311000 Euro concordando di pagare l’importo con 8 rate annue anticipate: le prime 4 di 55000 Euro ciascuna, una rata R nel 2009 e 3 rate di 38000 Euro ciascuna gli anni successivi. La prima rata viene pagata il giorno dell’acquisto. Qual `e l’importo R necessario affinch ́e Matteo estingua completamente il suo debito se si considera un tasso di interesse composto del 4.38% annuo?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Samuele
      Per prima cosa diciamo che il costo attuale (311.000) deve essere pari al valore attuale delle rate.
      Impostiamo dunque la seguente equazione
      311.000 = 55.000*a(4, 0.0438)*1,0438 + R*1,0438^(-4) + 38.000*a(3,0.0438)*1,0438^(-4)
      Per il primo termine 55.000*a(4, 0.0438)*1,0438 si tratta della attualizzazione di 4 rate anticipate
      Per il secondo termine R*1,0438^(-4) è l’attualizzazione di UNA SINGOLA rate
      Mentre il terzo 38.000*a(3,0.0438)*1,0438^(-4) è l’attualizzazione delle utime tre rate che prima vengono spostate al tempo 4 e successivamente al tempo 0 con una ulteriore attualizzazione di 4 anni.
      Chiaramente a(4,0.0438) e a(3,0.0438) sono i fattori attualizzanti delle rendite posticipati
      a(4,0.0438) = (1-1,0438^(-4))/0,0438
      a(3,0.0438) = (1-1,0438^(-3))/0,0438
      Invertendo l’equazione ricaviamo la nostra R
      R = (311.000 – 55.000*a(4, 0.0438)*1,0438 – 38.000*a(3,0.0438)*1,0438^(-4)) /(1,0438^(-4))
      R = 19.306,746

  • Laura ha detto:

    Ciao sono Laura, mi aiuti a risolvere questo problema? Una rendita è costituita da 10 rate semestrali posticipate alternativamente di 100 e 200 euro. Calcolare il valore attuale della rendita sapendo che il tasso interesse annuo è del 5%. Ti ringrazio in anticipo

    • Andrea ha detto:

      Ciao Laura
      Potresti considerarle come due rendite di 5 rate biennali
      Dunque in primo luogo calcoli il tasso biennale con le formule dei tassi equivalenti nel regime composto
      i(1/2) = (1+i)^2-1= 1,05^2 -1= 0,1025
      Dopo di che calcoli i valori attuali
      Per il valore attuale della rendita con rata di 200 (quella che scade tra 2 anni) la formula è la classica
      V = 200 * a(5, 0,1025)
      Dove a (5,0,1025) è il fattore attualizzante delle rendite posticipate
      a(5, 0,1025) = (1 – 1,1025^(-5))/0,1025
      Mentre per il valore attuale della seconda rendita con rata 100 (scadenza prima rata ad un anno ) bisogna stare un po più attenti, in quando applicando a(5, 0,1025) finiamo un anno prima (infatti attualizziamo di due anni rispetto al primo pagamento)
      Per questo motivo possiamo capitalizzare di un anno semplicemente con il 5%
      V’= 100 *a(5, 0,1025) * 1,05
      Sommando i due valori attuali ottieni il valore attuale di tutta la rendita

      • Laura ha detto:

        Come mai usi il tasso biennale? Perché essendo alternato se lo si scompone in 2 rendite con stessa rata escono rendite annue, tranne quella da 100 euro che sarebbe differita di 6 mesi perché la prima sarebbe da pagare in 6 mesi, però dopo la seconda sarebbe da pagare a 1 anno e 6 mesi e così via quindi 1 anno di distanza. Non riesco a capire se il risultato del testo è sbagliato perché , salvo errori di calcoli, non esce come valore attuale Eur 1742,84.

        • Andrea ha detto:

          Si scusa ho sbagliato a leggere il testo
          Il tasso usi il 5% poiché annuo
          Il ragionamento di base è quello
          Per la rendita annua da 200 il valore è
          V=200*a(5,0.05)
          Mentre per quella da 100 devi capitalizzare di un semestre (0,5 anni)
          V’= 100 *a(5,0.05)*1,05^0,5
          Sommando i due valori attuali ottieni il tuo risultato

  • Valerio ha detto:

    Salve,
    come posso risolvere questo problema non conoscendo le rate dal tempo 6 al 10?

    Data una rendita anticipata del tipo:
    𝐹𝑡 10 10 10 5 5
    𝑡 0 1 2 3 4
    calcolare il montante al tempo t=10 anni, dato un tasso di interesse annuo
    i=0,03

    • Andrea ha detto:

      Ciao Valerio le rate in questo caso sono 5
      È il montante che va calcolato al tempo 10
      In primo luogo possiamo capitalizzare tutte le rate fino al tempo 4 e poi capitalizzare tutto di 6 anni
      Il montante al tempo 4 è dato da
      M(4)= 10*1,03^4 + 10*1,03^3 + 10*1,03^2 + 5*1,03^1 +5
      Fatto questo calcolo sposti tutto in t=10
      M(10)= M(4)*1,03^6

  • vittorio ha detto:

    ciao, qual ‘ è la formula inversa per trovare la % di i sapendo quale è il valore iniziale e la rata pagata anticipatamente e il n di rate in un anno??

    • Andrea ha detto:

      Ciao Vittorio
      Per fare questo NON esiste una formula specifica
      Bisogna usare un algoritmo che si basa sull interpolazione lineare
      I due algoritmo più importanti sono
      – metodo delle secanti
      – metodo delle tangenti diNewton

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