INDICE
- 0.1 PREMESSA IMPORTANTE SUL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
- 0.2 GRAFICO TEMPORALE DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA
- 0.3 FORMULA DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA
- 0.4 ESEMPIO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA
- 0.5 GRAFICO
- 0.6 CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DELLA RENDITA POSTICIPATA
- 1 HAI QUALCHE DOMANDA?
- 2 IMPARA LA MATEMATICA FINANZIARIA
PREMESSA IMPORTANTE SUL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
In questo blog parliamo di come si calcola il valore attuale di una rendita posticipata.
È doveroso informare tu lettore che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.
In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:
- Immediata
- Rata costante e periodica
- Temporanea
- Regime composto
Se faticate a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog sulla classificazione delle rendite.
La rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.
Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica non è molto difficile immagine questa situazione.
Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 250 euro al mese per 3 anni, questo è un esempio di tale tipo di rendita.
Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più semplice di rendita che vi possa venire in mente.
L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto, è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.
GRAFICO TEMPORALE DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA
Dal punto di vista grafico potremmo rappresentare la situazione così:
Sopra la linea del tempo rappresentiamo i tempi più semplici ovvero 0, 1, 2,3, fino ad n.
La rendita è immediata ovvero decorre da subito ed essendo posticipata la prima rata che scade al tempo 1 e l’ennesima ovvero l’ultima al tempo n.
Le frecce verdi sono dirette verso l’inizio della rendita, ovvero al tempo 0.
FORMULA DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA
Per calcolare il valore attuale di questa rendita esiste una formula bel precisa.
Si deve moltiplicare la rata per un certo fattore che chiamiamo “a figurato n al tasso i”.
$$ V = R \cdot a_{n \rceil i} $$
Esplicitando questo fattore avremo il nostro valore attuale:
$$ V = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} $$
Una doverosa precisazione per chiarire il ruolo di questo fattore è la seguente.
Usando il fattore “a figurato n al tasso i” andiamo a calcolare il valore della rendita un periodo prima il pagamento della prima rata.
ESEMPIO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA
Come sempre cerchiamo di capire meglio la questione dal punto di vista pratico con un esempio.
Per pagare vostra nuova automobile vi accordate di pagare 5 rate annue di 3.500 euro, di cui la prima tra un anno.
Se le condizioni prevedono un tasso composto dell’8%, calcolate il valore dell’auto.
Di quanto potrete disporre tra 5 anni?
GRAFICO
Dal tempo 1 al tempo 5 rappresentiamo le rate costanti pari a 3.500 euro.
Con delle frecce verdi portiamo tutte queste rate all’epoca 0, tempo di inizio della rendita.
CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DELLA RENDITA POSTICIPATA
Ora che conosciamo la formula applichiamola per il calcolo del valore attuale.
Per calcolare il valore attuale della rendita moltiplichiamo la rata di 3.500 per “a figurato 5 al tasso 0,078”.
$$ V = 3.500 \cdot a_{5 \rceil 0,08} $$
Sviluppiamo il fattore per calcolare il valore attuale.
$$ V = 3.500 \cdot \frac {1-1,08^{-5}}{0,08} = 13.974,49 $$
Ed ecco calcolato il nostro valore attuale pari a 13.974,49 euro.
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.
IMPARA LA MATEMATICA FINANZIARIA
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43 risposte
Grazie Andrea, hai fatto un ottimo lavoro con questi video. Nel mio caso sei riuscito a rendermi piacevole la matematica finanziaria, materia per me molto ostica. Grazie in particolarmodo a te sono riuscito a superare senza difficoltà l’esame di Matematica Finanziaria.
Grazie a te Dario che hai acquistato il corso.
Per me è molto importante che l’utente sia soddisfatto.
Quindi è fondamentale che i contenuti siano più chiari possibili.
Grazie al tuo contributo questo progetto può andare avanti per essere sempre migliorato;)
La questione della piacevolezza poi è la massima espressione della comprensione.
Grazie e ancora un abbraccio 😉
Gentilissimo Andrea, prima di tutto complimenti per il fatto di essere riuscito a conciliare, nella sua esposizione, rigore logico e comprensibilità. Ho appena scoperto i suoi blog e sto cominciando a visionarne alcuni.
Le chiedo un chiarimento: in riferimento all’esempio, leggo, come dato di partenza, un interesse i dell’8% (0,08), in regime composto.
Nei calcoli sottostanti appare però “a figurato 5 al tasso 0,078”; successivamente, quando il fattore viene sviluppato, l’interesse torna a 0,08. Come mai? Grazie, in anticipo!
Ciao Federico,
Complimenti per l’occhio vispo.
In effetti devo ammettere che c’è stato un errore da parte mia.
Quando scrivo un blog ho tanto di quel materiale sotto mano che non riesco mai a vedere da solo gli errori.
Correggo subito.
E ti ringrazio dandoti un buono sconto del 50% se intendi prendere un corso.
A presto 😉
Ciao, Andrea, grazie per la tua risposta! In effetti, pensavo di non aver capito io un importante passaggio logico sugli interessi, ma adesso è tutto chiarissimo!
Quanto a uno (o più) dei tuoi corsi, sicuramente ti terrò presente quando avrò il tempo di riprendere l’argomento (non sono più giovanissimo e mi piacerebbe non perdere del tutto le conoscenze matematiche acquisite nel passato e mi piace il tuo modo di spiegare; ora, però, ho impegni).
Ci risentiamo.
Federico
Va benissimo 😉
Non c’è una scadenza
Sono cose che vanno sempre di moda
Oggi comincio a pagare mediante rate mensili di € 518 un’automobile; se pagherò 30 rate e mi è
riconosciuto il tasso del 6% annuo, determina quanto costa l’automobile. [€14496,28]
Ciao Parminder, bella domanda.
Per calcolare il valore dell’auto attualizziamo i flussi di cassa della rendita.
Sapendo che le rate siano mensili avremo un numero di rate n pari a :
n=30
Dobbiamo trovare perciò il tasso mensile a partire dal tasso annuo del 6%
i12=1,06^(1/12)-1=0,00486755
Per trovare il valore dell’auto applichiamo la formula:
V=R*(1-(1+i)^-n)/i
Inseriamo i dati e abbiamo:
V=518*(1-1,00486755^-30)/0,00486755 = 14.426,06
Ciao Parminder, bella domanda.
Per calcolare il valore dell’auto attualizziamo i flussi di cassa della rendita.
Sapendo che le rate siano mensili avremo un numero di rate n pari a :
n=30
Dobbiamo trovare perciò il tasso mensile a partire dal tasso annuo del 6%
i12=1,06^(1/12)-1=0,00486755
Per trovare il valore dell’auto applichiamo la formula:
V=R*(1-(1+i)^-n)/i
Inseriamo i dati e abbiamo:
V=518*(1-1,00486755^-30)/0,00486755 = 14.426,06
Decido di acquistare una cucina nuova. Qual è il prezzo della cucina se mi viene proposto il pagamento in due anni a partire da oggi mediante rate mensili di € 715,69 al tasso del 7,5% annuo? [€16040,37]
Ciao, grazie della domanda
Partiamo dal fatto che il tasso è annuo e che i pagamenti sono mensili.
Quindi dobbiamo calcolare il tasso mensile.
Per farlo utilizziamo la formula
i12= (1+i)^(1/12)-1=1,075^(1/12)-1=0,006045
In secondo luogo passiamo al numero di rate
Se sono due anni di rate è in ogni anno ci sono 12 mesi avremo
n=2*12=24
I’m terzo luogo un dato importante affinché il calcolo esca preciso.
Le rate sono ANTICIPATE.
Ora possiamo usare la formula
VA=R*(a figurato 24 al tasso )*1,006045
VA è il valore attuale (prezzo della cucina)
R è la rata
VA=715,69*(1-1,006045^(-24))/0,006045*1,006045
VA=16.040,35
Ciao, per quanto riguarda il calcolo del montante di una rendita a rata anticipata? Si usa s figurato n al tasso i capitalizzato di un periodo? Grazie
Ciao Massimo
Esattamente!
Quando calcoliamo il montante di una rendita anticipata capitalizziamo di un periodo (con il tasso correlato) il risultato del montante ottenuto con la rendita posticipata.
Quindi facciamo esse figurato n al tasso i tutto moltiplicato per (1+i)
ciao Andrea,
non riesco a risolvere questo esercizio:
-250 euro annnui posticipati dal 3 al 7 anno
-4120 euro al 4 anno
-970 euro annui posticipati dal 5 al 10 anno
– 1100 euro annui mediamente anticipati dal 3 al 4 anno
-660 euro posticipati da oggi per 15 anni
interesse del 3%, determinare il valore totale riferito all’ attualità.
[19301,27]
Ciao Jacopo, grazie per la domanda.
Anzitutto distinguiamo i 5 valori attuali e poi andiamo a sommarli tra di loro.
Il primo valore attuale è riferito a 250 euro annnui posticipati dal 3 al 7 anno
Si tratta di una rendita di 5 rate costanti con rate pagate ai tempi 3,4,5,6,7 (la rata pagata in 7 è pagata alla fine del settimo anno).
il valore attuale che chiamiamo VA1 è:
VA1 = 250*(1-1,03^-5)/0,03 *1,03^-2 = 1.079,20
Il secondo VA è la semplice attualizzazione di un singolo flusso che si potrebbe pensare essere pagato al tempo 4.
VA2= 4.120*1,03^-4 =3.660,57
Per quanto riguarda il terzo valore attuale:
-970 euro annui posticipati dal 5 al 10 anno
è una rendita di 6 rate di cui la prima pagata al tempo 5.
Attenzione al fatto che si potrebbe erroneamente pensare che vi siamo 5 rate (esattamente come nel primo valore attuale)
in realtà se ci pensiamo bene dal quinto al decimo anno significa:
quinto, sesto, settimo, ottavo, nono, decimo
Essendo posticipati i pagamenti avvengono in: 5,6,7,8,9,10
Dunque il terzo valore attuale è:
VA3 = 970 *(1-1,03^-6)/0,03 *1,03^-4 =4.668,71
Il quarto valore riguarda una rendita di 2 rate pagate al tempo 2,5 (metà del terzo anno) e al tempo 3,5 (metà del quarto anno)
Dunque il VA sarà:
VA4 = 1.100*(1-1,03^-2)/0,03 *1,03^-1,5 = 2.013,53
Il quinto valore attuale è quello di una semplice rendita posticipata di 15 rate da 660 euro:
VA5 = 660 * (1-1,03^-15)/0,03 = 7.879,04
Andiamo ora a sommare i 5 valori attuali per determinare il valore attuale complessivo:
VA = VA1 + VA2 + VA3 +VA4 + VA5
VA = 1.079,20 + 3.660,57 + 4.668,71 + 2.013,53 + 7.879,04 =
VA = 19.301,05
Probabilmente con qualche approssimazione in più saremmo arrivati a [19301,27]
Cordialità 😉
grazie per la disponibilità,
gentilissimo
ciao Andrea,
questo esercizio riguarda l’attualizzazione e calcolo rata del mutuo,
1100 euro annui posticipati per 4 anni a partire da oggi,
1500 fra 3 anni e mezzo,
570 annui anticipati dal 2 al 7 anno.
chiedo e ottengo di pagare in rate annue costanti posticipate in un periodo di 5 anni da oggi. Qual è l’importo della rata? [1997]
spero tu riesca a risolverlo..
grazie
a Esercizio 16
Acquistiamo per € 7.500,00 una rendita composta da 14 rate annuali immediate
anticipate al tasso effettivo composto annuo del 4%. Dopo il pagamento della setti-
ma rata decidiamo di cedere la rendita valutando le restanti al tasso del 2,5%. Cal-
colare importo della rata e prezzo di cessione.
[Soluzione: Rata = € 682,71; prezzo di cessione = € 4.334,79]
Ciao Lorenzo, grazie per la domanda
In primo luogo dobbiamo calcolare la rata della rendita iniziale
Per farlo utilizziamo la seguente formula
R = V / a'(n,i)
con
R = Rata
V = valore attuale del bene = 7.500
a'(n,i) sarebbe a anticipato n al tasso i
a'(n,i)= (1-(1+i)^-n)/i *(1+i)
nel nostro caso è
a'(14,0,04)= (1-1,04^(-14))/0,04 * 1,04 = 10,985647
Ora la rata è pari a:
R = V / a'(n,i) = 7.500 / 10,985647 = 682,7089 (approssimando 682,71)
A questo punto dopo il pagamento della settima rata ( che avviene al tempo t=6 ; ricordiamo infatti che è anticipata)
Dobbiamo attualizzare tutte le rate restanti al tempo 6, ma dobbiamo usare il secondo tasso del 2,5%
In questo secondo caso si tratta del valore attuale di una rendita POSTICIPATA di 7 rate (infatti il primo flusso è in t=7)
Per calcolare il valore attuale V’ facciamo
V’ = R * a (n,i)
Dove
R è la rata calcolata prima ovvero 682,7089
a (n,i) = a (7, 0,025) è il fattore attualizzante della rendita posticipata
a (7, 0,025) = (1 – 1,025^-7) / 0,025 = 6,34939
Dunque il valore di cessione V’ della rendita al tempo 6 è :
V’ = 682,7089 * 6,34939 = 4.334,7854 (approssimato 4.334,79)
Spero che il commento ti sia stato di aiuto 😉
Si consideri una rendita annua posticipata di rata pari a 5000 euro per i primi 5 anni e di 10000 euro per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro el il tasso annuo pari al 12%.
Ciao Antonio grazie per la domanda.
In primo luogo dobbiamo impostare l’equazione intertemporale per il calcolo di n.
V = 5.000·a(5;0,12) + 10.000·a(n;0,12)·1,12^(-5) = 60.000
Con a(5;0,12) e a(n;0,12) fattori attualizzanti delle rendite
Isoliamo ora il termine a(n;0,12) a sinistra
a(n;0,12) = (60.000 – 5.000·a(5;0,12))/(10.000·1,12^(-5))
Calcoliamo il termine di destra
a(n;0,12) =7,397626419
Espandiamo il termine di sinistra
(1-1,12^(-n))/0,12 = 7,397626419
Da cui abbiamo che:
1,12^(-n) = 1 – 7,397626419·0,12
1,12^(-n) = 0,112284829
Applicando i logaritmi ricaviamo che:
n = – log(0,112284829) / log(1,12) = 19,295
A questo punto dovrebbero essere versate 19,295 rate aggiuntive da 10.000 euro
Siccome il numero delle rate deve essere intero e c’è un0integrazione nell’ultima rata
assumiamo il numero intero di rate pari a 19.
Calcolando il valore attuale V’ con 19 rate abbiamo che:
V’ = 5.000·a(5;0,12) + 10.000·a(19;0,12)·1,12^(-5)
V’ = 59.819,27
A questo punto Calcoliamo la differenza tra i valori attuali V e V’ per capire
il valore attuale del versamento X aggiuntivo che dobbiamo fare al tempo 5+19 = 24
V – V’ = 60.000 – 59.819,27 = 181,73
Attualizzando X di 24 anni avremo il versamento aggiuntivo in t= 24
X·1,12^(-24) = 181,73
X = 181,73 1,12^24 = 2.758,41
Perchè le rate diventano 29?
cit “Siccome il numero delle rate deve essere intero e c’è un0integrazione nell’ultima rata
assumiamo il numero intero di rate pari a 29”
19 sorry
Potrei avere una spiegazione più dettagliata? con l’espressione anche delle formule e dei calcoli fatti? Sono alle prime armi e vorrei esser sicura di aver capito bene i vari passaggi.
Ciao Sara
Qui ci sono dei corsi che sono molto dettagliati
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
E spiegano passo a passo tutti i calcoli 😉
ciao scusami a(n;0,12) e a(5;0,12) a sta per a figurato n per i
Ciao Marika
Si esatto
ma se il valore attualizzato è pari a 60000€ come fanno ad esserci 19 rate da 10000?
Ciao Loris
Può voler dire due cose
La prima è che i dati sono sbagliati
La seconda è che il tasso applicato è molto alto
Se fosse calcolo Di Una rata posticipata differita?
Moltiplichi per (1+i)^(-k)
Dove k indica il differimento temporale
Il valore attuale di una rendita posticipata, costituita da 8 rate trimestrali, al tasso annuo del 6,4%, è 1500 euro. Determina il valore della rata.
Deve dare come risultato 2009,26.
Perfavore puoi scrivermi tutto il procedimento? Grazie mille
Ciao Nadia
Per prima cosa notiamo che la rendita ha una rata trimestrale dunque provvediamo a calcolare il tasso trimestrale con la formula di trasformazione dei tassi.
i4 = (1+0,064)^(1/4) -1 = 0,0208937
A questo punto impostiamo l’equazione del valore attuale della rendita
R*a(8; 0,0208937) = 1.500
dove a(8; 0,0208937) è il fattore attualizzante delle rendite
“a figurato n al tasso i”
Dunque la rata risulta
R = 1.500/a(8; 0,0208937) = 205,55
Una rendita è costituita da 20 rate annue posticipate di cui le prime 9 di € 1500 e le successive 11 di € 1100. Determina il valore attuale della rendita al
tasso annuo del 5,25%.
Riesci a risolvere questo problema?
Ciao Laura
Per calcolare il valore attuale della rendita sommi i valori attuali di due rendite
V = 1.500 · a(9; 0,0525) + 1.100 ·a(11; 0,0525) ·1,0525^(-9)
Dove a(9; 0,0525) e a(11; 0,0525) sono i fattori attualizzanti delle rendite
“a figurato n al tasso i”
Da notare che nel secondo pezzo abbiamo ulteriormente attualizzato di 9 periodi per portare a zero il valore attuale
Ciao Andrea, lascio questo commento perchè sono abbastanza disperato, martedì ho l’esame e non so come fare i problemi sulle rate, o meglio non so quale formula usare.
Ti faccio un esempio, la traccia mi dice:
Oggi, tempo zero, uno studente sa che avrà bisogno di 4000 euro ogni semestre per affrontare il corso di lauurea, e ipotizza che impiegherà 5 anni per completare il percorso. Si chiede di determinare la somma che deve avere a disposizione oggi, al tasso semestrale del 4%.
Adesso, io l’ho svolto in due modi diversi, ma solo perchè il primo mi ha portato ad un risultato impossibile.
Nel primo caso ho usato la formula M=R*(1-(1+i)^-n)/i, ma così facendo mi veniva circa 32000 euro e ovviamente è impossibile dato che pagando solo le rate (interessi esclusi) ci vorrebbero 40000.
Ho quindi usato un’altra formula, e cioè M=R*((1+i)^n-1)/i e mi è uscito circa 48000 euro, il che mi sembra più plausibile.
Volevo chiederti qualche indicazione su come capire quale formula applicare, e soprattutto se la prima è effettivamente corretta. Grazie mille e scusami il commentone.
Ciao Marco
Se il nostro studente si trova oggi al tempo zero e avrà bisogno di ricevere ogni sei in maniera posticipata 4000 euro per 5 anni dobbiamo calcolare il valore attuale della rendita semestrale
In primo luogo in cinque anni abbiamo 10 rate semestrali dunque n=10
Il tasso è già allineato con il periodo quindi teniamo il 4%
Oggi il nostro studente verserà questo somma in un fondo che rende il 4% semestrale prelevando ogni semestre 4.000 pertanto investita una cifra inferiore a 4.000*10 = 40.000
Applicando la formula dell’attualizzazione
V = 4.000 * a(10, 0,04)
dove a(10, 0,04) è il fattore attualizzante della rendita
a(10, 0,04) = (1 – 1,04^(-10))/0,04
Dunque otteniamo 32.443,58
Ciao, ho questo esercizio:
“mediante versamenti mensili anticipati e costanti in un fondo che si capitalizza al tasso semestrale del 9%, si vuole arrivare ad accumulare, dopo 30 anni, quanto è necessario per disporre nei successivi 20 di una rendita mensile posticipata con rata di importo 1.200 € al tasso trimestrale del 4%. Qual è l’ammontare del versamento necessario?”
Ho impostato l’equazione come segue:
R • s anticipato figur. n al tasso 9% = 1200 • a figur. n al tasso 4%
Ho sempre svolto questo tipo di esercizio con due metodi per verificarne la correttezza e mi sono sempre usciti.
Il primo metodo è quello che prevede di riportare tutte le grandezze alla stessa unità di misura. In questo caso i versamenti sono mensili e quindi ho espresso tutto in mesi. 30 anni = 360 mesi, 20 anni = 240 mesi. Il tasso semestrale del 9% l’ho trasformato in mensile e diventa 1,144%. Quello trimestrale del 4% diventa 1,131% mensile.
Risolvendo l’equazione in R, ottengo una rata di 7,11 €.
Con il secondo metodo, quello che prevede l’utilizzo del fattore di correzione, imposto l’equazione così:
6•R• [i semestrale / j semestrale (6)] • s anticipato figur. n=60 semestri al tasso 9% = 3•1200 • [i trimestrale / j trimestrale (3)] • a figur. n = 80 trimestri al tasso 4%
Con il secondo metodo la rata mi viene 6,61 €. C’è quindi una differenza di 50 centesimi con il risultato ottenuto col primo metodo. Dove sbaglio?
Grazie mille.
Ciao Valerio
Ti confermo che il primo modo di procedere è assolutamente corretto
Ho controllato e mi viene 7,107
Dunque tieni la prima impostazione
Per quanto riguarda il secondo metodo dovresti impostare
6R* (s fig 30 al tasso 9%)* (i sem/ j sem)*1,09^(1/6)= 3*1200* (a figur 20 al tasso 4%)* (i trim / j trim)
In particolare non usare “s anticipato” bensì il classico “s figurato” che poi vai a correggere con 1,09^(1/6) in quanto il tasso è semestrale e capitalizzi di un mese ovvero (1/6) di semestre
Ciao Andrea ma se invece l’incognita è il tasso d’interesse come si procede? cioè come si trova il tasso d’interesse?
Per esempio:
Tizio ha diritto a incassare 735 euro all’anno per 18 anni e per la prima volta tra un anno.
Cede oggi tale diritto ricevendo come valore attuale della corrispondente rendita la somma
di 6329,506. Calcolare a quale tasso e’ stata fatta la cessione.
Grazie per la delucidazione.
Ciao Alessio
Innanzitutto dobbiamo impostare l’equazione derivate dalla formula di attualizzazione delle rendite, ovvero:
$$ V = R \cdot a_{n,i} $$
Dove R è il valore della rata, 735 nel nostro caso, a (n,i) è il fattore attualizzante della rendita, mentre V è il valore di scambio 6329,506
Esplicitata tale equazione risulta (da destra a sinistra) diventa
$$ R \cdot \frac{1 – (1+i)^{-n}}{i} = V $$
Da cui dividendo ambo i membri per V e spostando a sinistra otteniamo
$$ \frac{1 – (1+i)^{-n}}{i} – \frac{V}{R} = 0 $$
Inserendo i dati a nostra disposizione otteniamo:
$$ \frac{1 – (1+i)^{-18}}{i} – \frac{6.329,506}{735} = 0 $$
A questo punto non ci resta che trovare il valore dell’incognita i (il TIR dell’operazione)
Per risolvere questo problema potremmo adottare due strategie.
La prima è sostituire dei valori casuali che tentino di dare zero come soluzione dell’equazione.
In questo caso servirà un po’ di pazienza.
Quando stiamo che siamo sulla strada buona e ci avviciniamo allo zero ci basta trovare due tassi molto vicini ed agire con l’interpolazione lineare·
$$ i^* = i_1 – \frac{f(i_1)}{f(i_2) – f(i_1)} \cdot (i_2 – i_1) $$
In alternativa potremmo anche usare il metodo delle tangenti di Newton che si basa sulle derivate.
Sul programma di EXCEL esiste inoltre un’interessante funzione chiamata TIRX
Ciao, ma questa formula vale sia che si operi nel regime semplice che in quello composto? come faccio ad esempio a calcolare il valore attuale di una rendita se per un certo periodo è applicato un tasso d’interesse nel regime semplice mentre nella restante parte quello composto?
Ciao Cinzia.
Partiamo dal presupposto che il valore attuale di una rendita si ottiene attualizzando i flussi di cassa al tempo 0.
Nella situazione in cui cambi il regime finanziario si attualizza prima con le formule di un regime e poi si moltiplica per il fattore attualizzante del secondo regime.
Fatta questa premessa propongo la seguente situazione più concreta di una rendita con 4 flussi di cassa annui della durata di 4 anni.
Nel primi due anni supponiamo che valga il regime ad interesse semplice mentre negli ultimi due il regime composto.
Descriviamo questa situazione con i seguenti vettori: X(dei flussi di cassa) e T (dei tempi).
$$ X= \begin{pmatrix}10&20&25&30 \end{pmatrix} \quad T = \begin{pmatrix}1&2&3&4 \end{pmatrix} $$
Supponiamo che il tasso di interesse sia del 3% (valido in entrambi i regimi).
Per quanto riguarda il valore attuale dei primi due flussi di cassa che chiamiamo VA1 usiamo semplicemente il regime semplice:
$$ VA_1 = \frac{10}{1+0,03 \cdot 1} + \frac{20}{1+0,03 \cdot 2} = 28,5766 $$
Passiamo ora all’attualizzazione del terzo e quarto flusso di cassa e chiamiamo il valore attuale in t=0 con il nome di VA2.
In questo caso dovremo portare i flussi di cassa al tempo 2 usando il regime composto, per poi attualizzare tutto questo risultato con il fattore di attualizzazione nel regime semplice per due anni.
$$ VA_2 = \left( 25 \cdot 1,03^{-1} + 30 \cdot 1,03^{-2} \right) \cdot \frac{1}{1+0,03 \cdot 2} = 50,3755 $$
Da notare che il primo flusso di 25 lo abbiamo attualizzato di un anno e il secondo flusso di 30 lo abbiamo attualizzato di due anni nel composto.
Tutto questo risultato lo abbiamo poi spostato al tempo 0 usando la legge della capitalizzazione semplice rappresentata dalla frazione.
Ovviamente per trovare il valore attuale (VA) di tutta la rendita sommiamo i due valori attuali:
$$ VA = VA_1 + VA_2 $$