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valore attuale rendita posticipata, grafico temporale

PREMESSA IMPORTANTE SUL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA

In questo blog parliamo di come si calcola il valore attuale di una rendita posticipata.

È doveroso informare tu lettore che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.

In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:

  • Immediata 
  • Rata costante e periodica
  • Temporanea
  • Regime composto

Se faticate a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog  sulla classificazione delle rendite.

La rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.

Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica non è molto difficile immagine questa situazione.

Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 250 euro al mese per 3 anni, questo è un esempio di tale tipo di rendita.

Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più semplice di rendita che vi possa venire in mente.

L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto,  è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.

GRAFICO TEMPORALE DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA

Dal punto di vista grafico potremmo rappresentare la situazione così:

valore attuale rendita posticipata, grafico temporale con attualizzazione flussi rate

Sopra la linea del tempo rappresentiamo i tempi più semplici ovvero 0, 1, 2,3, fino ad n.

La rendita è immediata ovvero decorre da subito ed essendo posticipata  la prima rata che scade al tempo 1 e l’ennesima ovvero l’ultima al tempo n.

Le frecce verdi sono dirette verso l’inizio della rendita, ovvero al tempo 0. 

FORMULA DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA

Per calcolare il valore attuale di questa rendita esiste una formula bel precisa.

Si deve moltiplicare la rata per un certo fattore che chiamiamo “a figurato n al tasso i”.

valore attuale rendita posticipata

Esplicitando questo fattore avremo il nostro montante:

Una doverosa precisazione per chiarire il ruolo di questo fattore è la seguente.

Usando il fattore “a figurato n al tasso i” andiamo a calcolare il valore della rendita un periodo prima il pagamento della prima rata.

ESEMPIO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA

Come sempre cerchiamo di capire meglio la questione dal punto di vista pratico con un esempio.

Per pagare vostra nuova automobile vi accordate di pagare 5 rate annue di 3.500 euro, di cui la prima tra un anno.

Se le condizioni prevedono un tasso composto dell’8%, calcolate il valore dell’auto.

Di quanto potrete disporre tra 5 anni?

GRAFICO

Dal tempo 1 al tempo 5 rappresentiamo le rate costanti pari a 3.500 euro.

Con delle frecce verdi portiamo tutte queste rate all’epoca 0, tempo di inizio della rendita.

CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DELLA RENDITA POSTICIPATA

Ora che conosciamo la formula applichiamola per il calcolo del valore attuale.

Per calcolare il valore attuale della rendita moltiplichiamo la rata di 3.500 per “a figurato 5 al tasso 0,078”.

Sviluppiamo il fattore per calcolare il valore attuale.

Ed ecco calcolato il nostro valore attuale pari a 13.974,49 euro.

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.

Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.

Mentre se vuoi scoprire tutta la materia della matematica finanziaria dai un’occhiata ai corsi.

Sul mio canale troverai una playlist con tanti video riguardanti la matematica finanziaria

35 Comments

  • Dario ha detto:

    Grazie Andrea, hai fatto un ottimo lavoro con questi video. Nel mio caso sei riuscito a rendermi piacevole la matematica finanziaria, materia per me molto ostica. Grazie in particolarmodo a te sono riuscito a superare senza difficoltà l’esame di Matematica Finanziaria.

    • Andrea ha detto:

      Grazie a te Dario che hai acquistato il corso.
      Per me è molto importante che l’utente sia soddisfatto.
      Quindi è fondamentale che i contenuti siano più chiari possibili.
      Grazie al tuo contributo questo progetto può andare avanti per essere sempre migliorato;)
      La questione della piacevolezza poi è la massima espressione della comprensione.
      Grazie e ancora un abbraccio 😉

  • Federico Barboni ha detto:

    Gentilissimo Andrea, prima di tutto complimenti per il fatto di essere riuscito a conciliare, nella sua esposizione, rigore logico e comprensibilità. Ho appena scoperto i suoi blog e sto cominciando a visionarne alcuni.
    Le chiedo un chiarimento: in riferimento all’esempio, leggo, come dato di partenza, un interesse i dell’8% (0,08), in regime composto.
    Nei calcoli sottostanti appare però “a figurato 5 al tasso 0,078”; successivamente, quando il fattore viene sviluppato, l’interesse torna a 0,08. Come mai? Grazie, in anticipo!

    • Andrea ha detto:

      Ciao Federico,
      Complimenti per l’occhio vispo.
      In effetti devo ammettere che c’è stato un errore da parte mia.
      Quando scrivo un blog ho tanto di quel materiale sotto mano che non riesco mai a vedere da solo gli errori.
      Correggo subito.
      E ti ringrazio dandoti un buono sconto del 50% se intendi prendere un corso.
      A presto 😉

      • Federico Barboni ha detto:

        Ciao, Andrea, grazie per la tua risposta! In effetti, pensavo di non aver capito io un importante passaggio logico sugli interessi, ma adesso è tutto chiarissimo!
        Quanto a uno (o più) dei tuoi corsi, sicuramente ti terrò presente quando avrò il tempo di riprendere l’argomento (non sono più giovanissimo e mi piacerebbe non perdere del tutto le conoscenze matematiche acquisite nel passato e mi piace il tuo modo di spiegare; ora, però, ho impegni).
        Ci risentiamo.
        Federico

  • PARMINDER ha detto:

    Oggi comincio a pagare mediante rate mensili di € 518 un’automobile; se pagherò 30 rate e mi è
    riconosciuto il tasso del 6% annuo, determina quanto costa l’automobile. [€14496,28]

    • Andrea ha detto:

      Ciao Parminder, bella domanda.
      Per calcolare il valore dell’auto attualizziamo i flussi di cassa della rendita.
      Sapendo che le rate siano mensili avremo un numero di rate n pari a :
      n=30
      Dobbiamo trovare perciò il tasso mensile a partire dal tasso annuo del 6%
      i12=1,06^(1/12)-1=0,00486755
      Per trovare il valore dell’auto applichiamo la formula:
      V=R*(1-(1+i)^-n)/i
      Inseriamo i dati e abbiamo:
      V=518*(1-1,00486755^-30)/0,00486755 = 14.426,06

    • Andrea ha detto:

      Ciao Parminder, bella domanda.
      Per calcolare il valore dell’auto attualizziamo i flussi di cassa della rendita.
      Sapendo che le rate siano mensili avremo un numero di rate n pari a :
      n=30
      Dobbiamo trovare perciò il tasso mensile a partire dal tasso annuo del 6%
      i12=1,06^(1/12)-1=0,00486755
      Per trovare il valore dell’auto applichiamo la formula:
      V=R*(1-(1+i)^-n)/i
      Inseriamo i dati e abbiamo:
      V=518*(1-1,00486755^-30)/0,00486755 = 14.426,06

  • PARMINDER ha detto:

    Decido di acquistare una cucina nuova. Qual è il prezzo della cucina se mi viene proposto il pagamento in due anni a partire da oggi mediante rate mensili di € 715,69 al tasso del 7,5% annuo? [€16040,37]

    • Andrea ha detto:

      Ciao, grazie della domanda
      Partiamo dal fatto che il tasso è annuo e che i pagamenti sono mensili.
      Quindi dobbiamo calcolare il tasso mensile.
      Per farlo utilizziamo la formula
      i12= (1+i)^(1/12)-1=1,075^(1/12)-1=0,006045
      In secondo luogo passiamo al numero di rate
      Se sono due anni di rate è in ogni anno ci sono 12 mesi avremo
      n=2*12=24
      I’m terzo luogo un dato importante affinché il calcolo esca preciso.
      Le rate sono ANTICIPATE.
      Ora possiamo usare la formula
      VA=R*(a figurato 24 al tasso )*1,006045
      VA è il valore attuale (prezzo della cucina)
      R è la rata
      VA=715,69*(1-1,006045^(-24))/0,006045*1,006045
      VA=16.040,35

  • Massimo ha detto:

    Ciao, per quanto riguarda il calcolo del montante di una rendita a rata anticipata? Si usa s figurato n al tasso i capitalizzato di un periodo? Grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Massimo
      Esattamente!
      Quando calcoliamo il montante di una rendita anticipata capitalizziamo di un periodo (con il tasso correlato) il risultato del montante ottenuto con la rendita posticipata.
      Quindi facciamo esse figurato n al tasso i tutto moltiplicato per (1+i)

  • jacopo ha detto:

    ciao Andrea,
    non riesco a risolvere questo esercizio:
    -250 euro annnui posticipati dal 3 al 7 anno
    -4120 euro al 4 anno
    -970 euro annui posticipati dal 5 al 10 anno
    – 1100 euro annui mediamente anticipati dal 3 al 4 anno
    -660 euro posticipati da oggi per 15 anni
    interesse del 3%, determinare il valore totale riferito all’ attualità.
    [19301,27]

    • Andrea ha detto:

      Ciao Jacopo, grazie per la domanda.
      Anzitutto distinguiamo i 5 valori attuali e poi andiamo a sommarli tra di loro.
      Il primo valore attuale è riferito a 250 euro annnui posticipati dal 3 al 7 anno
      Si tratta di una rendita di 5 rate costanti con rate pagate ai tempi 3,4,5,6,7 (la rata pagata in 7 è pagata alla fine del settimo anno).
      il valore attuale che chiamiamo VA1 è:
      VA1 = 250*(1-1,03^-5)/0,03 *1,03^-2 = 1.079,20

      Il secondo VA è la semplice attualizzazione di un singolo flusso che si potrebbe pensare essere pagato al tempo 4.
      VA2= 4.120*1,03^-4 =3.660,57

      Per quanto riguarda il terzo valore attuale:
      -970 euro annui posticipati dal 5 al 10 anno
      è una rendita di 6 rate di cui la prima pagata al tempo 5.
      Attenzione al fatto che si potrebbe erroneamente pensare che vi siamo 5 rate (esattamente come nel primo valore attuale)
      in realtà se ci pensiamo bene dal quinto al decimo anno significa:
      quinto, sesto, settimo, ottavo, nono, decimo
      Essendo posticipati i pagamenti avvengono in: 5,6,7,8,9,10
      Dunque il terzo valore attuale è:
      VA3 = 970 *(1-1,03^-6)/0,03 *1,03^-4 =4.668,71
      Il quarto valore riguarda una rendita di 2 rate pagate al tempo 2,5 (metà del terzo anno) e al tempo 3,5 (metà del quarto anno)
      Dunque il VA sarà:
      VA4 = 1.100*(1-1,03^-2)/0,03 *1,03^-1,5 = 2.013,53

      Il quinto valore attuale è quello di una semplice rendita posticipata di 15 rate da 660 euro:
      VA5 = 660 * (1-1,03^-15)/0,03 = 7.879,04

      Andiamo ora a sommare i 5 valori attuali per determinare il valore attuale complessivo:

      VA = VA1 + VA2 + VA3 +VA4 + VA5
      VA = 1.079,20 + 3.660,57 + 4.668,71 + 2.013,53 + 7.879,04 =
      VA = 19.301,05

      Probabilmente con qualche approssimazione in più saremmo arrivati a [19301,27]

      Cordialità 😉

  • jacopo ha detto:

    ciao Andrea,
    questo esercizio riguarda l’attualizzazione e calcolo rata del mutuo,
    1100 euro annui posticipati per 4 anni a partire da oggi,
    1500 fra 3 anni e mezzo,
    570 annui anticipati dal 2 al 7 anno.
    chiedo e ottengo di pagare in rate annue costanti posticipate in un periodo di 5 anni da oggi. Qual è l’importo della rata? [1997]
    spero tu riesca a risolverlo..
    grazie

  • Lorenzo ha detto:

    a Esercizio 16
    Acquistiamo per € 7.500,00 una rendita composta da 14 rate annuali immediate
    anticipate al tasso effettivo composto annuo del 4%. Dopo il pagamento della setti-
    ma rata decidiamo di cedere la rendita valutando le restanti al tasso del 2,5%. Cal-
    colare importo della rata e prezzo di cessione.
    [Soluzione: Rata = € 682,71; prezzo di cessione = € 4.334,79]

    • Andrea ha detto:

      Ciao Lorenzo, grazie per la domanda
      In primo luogo dobbiamo calcolare la rata della rendita iniziale
      Per farlo utilizziamo la seguente formula
      R = V / a’(n,i)
      con
      R = Rata
      V = valore attuale del bene = 7.500
      a’(n,i) sarebbe a anticipato n al tasso i
      a’(n,i)= (1-(1+i)^-n)/i *(1+i)
      nel nostro caso è
      a’(14,0,04)= (1-1,04^(-14))/0,04 * 1,04 = 10,985647

      Ora la rata è pari a:

      R = V / a’(n,i) = 7.500 / 10,985647 = 682,7089 (approssimando 682,71)

      A questo punto dopo il pagamento della settima rata ( che avviene al tempo t=6 ; ricordiamo infatti che è anticipata)
      Dobbiamo attualizzare tutte le rate restanti al tempo 6, ma dobbiamo usare il secondo tasso del 2,5%

      In questo secondo caso si tratta del valore attuale di una rendita POSTICIPATA di 7 rate (infatti il primo flusso è in t=7)

      Per calcolare il valore attuale V’ facciamo
      V’ = R * a (n,i)
      Dove
      R è la rata calcolata prima ovvero 682,7089
      a (n,i) = a (7, 0,025) è il fattore attualizzante della rendita posticipata
      a (7, 0,025) = (1 – 1,025^-7) / 0,025 = 6,34939

      Dunque il valore di cessione V’ della rendita al tempo 6 è :
      V’ = 682,7089 * 6,34939 = 4.334,7854 (approssimato 4.334,79)

      Spero che il commento ti sia stato di aiuto 😉

  • Antonio Falbo ha detto:

    Si consideri una rendita annua posticipata di rata pari a 5000 euro per i primi 5 anni e di 10000 euro per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro el il tasso annuo pari al 12%.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Antonio grazie per la domanda.
      In primo luogo dobbiamo impostare l’equazione intertemporale per il calcolo di n.
      V = 5.000·a(5;0,12) + 10.000·a(n;0,12)·1,12^(-5) = 60.000
      Con a(5;0,12) e a(n;0,12) fattori attualizzanti delle rendite
      Isoliamo ora il termine a(n;0,12) a sinistra
      a(n;0,12) = (60.000 – 5.000·a(5;0,12))/(10.000·1,12^(-5))
      Calcoliamo il termine di destra
      a(n;0,12) =7,397626419
      Espandiamo il termine di sinistra
      (1-1,12^(-n))/0,12 = 7,397626419
      Da cui abbiamo che:
      1,12^(-n) = 1 – 7,397626419·0,12
      1,12^(-n) = 0,112284829
      Applicando i logaritmi ricaviamo che:
      n = – log(0,112284829) / log(1,12) = 19,295
      A questo punto dovrebbero essere versate 19,295 rate aggiuntive da 10.000 euro
      Siccome il numero delle rate deve essere intero e c’è un0integrazione nell’ultima rata
      assumiamo il numero intero di rate pari a 19.
      Calcolando il valore attuale V’ con 19 rate abbiamo che:
      V’ = 5.000·a(5;0,12) + 10.000·a(19;0,12)·1,12^(-5)
      V’ = 59.819,27
      A questo punto Calcoliamo la differenza tra i valori attuali V e V’ per capire
      il valore attuale del versamento X aggiuntivo che dobbiamo fare al tempo 5+19 = 24
      V – V’ = 60.000 – 59.819,27 = 181,73
      Attualizzando X di 24 anni avremo il versamento aggiuntivo in t= 24
      X·1,12^(-24) = 181,73
      X = 181,73 1,12^24 = 2.758,41

  • Loris ha detto:

    ma se il valore attualizzato è pari a 60000€ come fanno ad esserci 19 rate da 10000?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Loris
      Può voler dire due cose
      La prima è che i dati sono sbagliati
      La seconda è che il tasso applicato è molto alto

  • Valentina ha detto:

    Se fosse calcolo Di Una rata posticipata differita?

  • Nadia ha detto:

    Il valore attuale di una rendita posticipata, costituita da 8 rate trimestrali, al tasso annuo del 6,4%, è 1500 euro. Determina il valore della rata.
    Deve dare come risultato 2009,26.
    Perfavore puoi scrivermi tutto il procedimento? Grazie mille

    • Andrea ha detto:

      Ciao Nadia
      Per prima cosa notiamo che la rendita ha una rata trimestrale dunque provvediamo a calcolare il tasso trimestrale con la formula di trasformazione dei tassi.
      i4 = (1+0,064)^(1/4) -1 = 0,0208937
      A questo punto impostiamo l’equazione del valore attuale della rendita
      R*a(8; 0,0208937) = 1.500
      dove a(8; 0,0208937) è il fattore attualizzante delle rendite
      “a figurato n al tasso i”
      Dunque la rata risulta
      R = 1.500/a(8; 0,0208937) = 205,55

  • Laura ha detto:

    Una rendita è costituita da 20 rate annue posticipate di cui le prime 9 di € 1500 e le successive 11 di € 1100. Determina il valore attuale della rendita al
    tasso annuo del 5,25%.
    Riesci a risolvere questo problema?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Laura
      Per calcolare il valore attuale della rendita sommi i valori attuali di due rendite
      V = 1.500 · a(9; 0,0525) + 1.100 ·a(11; 0,0525) ·1,0525^(-9)
      Dove a(9; 0,0525) e a(11; 0,0525) sono i fattori attualizzanti delle rendite
      “a figurato n al tasso i”
      Da notare che nel secondo pezzo abbiamo ulteriormente attualizzato di 9 periodi per portare a zero il valore attuale

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