PREMESSA IMPORTANTE SUL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
In questo blog parliamo di come si calcola il valore attuale di una rendita posticipata.
È doveroso informare tu lettore che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.
In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:
- Immediata
- Rata costante e periodica
- Temporanea
- Regime composto
Se faticate a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog sulla classificazione delle rendite.
La rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.
Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica non è molto difficile immagine questa situazione.
Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 250 euro al mese per 3 anni, questo è un esempio di tale tipo di rendita.
Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più semplice di rendita che vi possa venire in mente.
L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto, è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.
GRAFICO TEMPORALE DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA
Dal punto di vista grafico potremmo rappresentare la situazione così:
Sopra la linea del tempo rappresentiamo i tempi più semplici ovvero 0, 1, 2,3, fino ad n.
La rendita è immediata ovvero decorre da subito ed essendo posticipata la prima rata che scade al tempo 1 e l’ennesima ovvero l’ultima al tempo n.
Le frecce verdi sono dirette verso l’inizio della rendita, ovvero al tempo 0.
FORMULA DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA
Per calcolare il valore attuale di questa rendita esiste una formula bel precisa.
Si deve moltiplicare la rata per un certo fattore che chiamiamo “a figurato n al tasso i”.
Esplicitando questo fattore avremo il nostro montante:
Una doverosa precisazione per chiarire il ruolo di questo fattore è la seguente.
Usando il fattore “a figurato n al tasso i” andiamo a calcolare il valore della rendita un periodo prima il pagamento della prima rata.
ESEMPIO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA
Come sempre cerchiamo di capire meglio la questione dal punto di vista pratico con un esempio.
Per pagare vostra nuova automobile vi accordate di pagare 5 rate annue di 3.500 euro, di cui la prima tra un anno.
Se le condizioni prevedono un tasso composto dell’8%, calcolate il valore dell’auto.
Di quanto potrete disporre tra 5 anni?
GRAFICO
Dal tempo 1 al tempo 5 rappresentiamo le rate costanti pari a 3.500 euro.
Con delle frecce verdi portiamo tutte queste rate all’epoca 0, tempo di inizio della rendita.
CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DELLA RENDITA POSTICIPATA
Ora che conosciamo la formula applichiamola per il calcolo del valore attuale.
Per calcolare il valore attuale della rendita moltiplichiamo la rata di 3.500 per “a figurato 5 al tasso 0,078”.
Sviluppiamo il fattore per calcolare il valore attuale.
Ed ecco calcolato il nostro valore attuale pari a 13.974,49 euro.
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.
Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.
Mentre se vuoi scoprire tutta la materia della matematica finanziaria dai un’occhiata ai corsi.
Sul mio canale troverai una playlist con tanti video riguardanti la matematica finanziaria
Grazie Andrea, hai fatto un ottimo lavoro con questi video. Nel mio caso sei riuscito a rendermi piacevole la matematica finanziaria, materia per me molto ostica. Grazie in particolarmodo a te sono riuscito a superare senza difficoltà l’esame di Matematica Finanziaria.
Grazie a te Dario che hai acquistato il corso.
Per me è molto importante che l’utente sia soddisfatto.
Quindi è fondamentale che i contenuti siano più chiari possibili.
Grazie al tuo contributo questo progetto può andare avanti per essere sempre migliorato;)
La questione della piacevolezza poi è la massima espressione della comprensione.
Grazie e ancora un abbraccio 😉
Gentilissimo Andrea, prima di tutto complimenti per il fatto di essere riuscito a conciliare, nella sua esposizione, rigore logico e comprensibilità. Ho appena scoperto i suoi blog e sto cominciando a visionarne alcuni.
Le chiedo un chiarimento: in riferimento all’esempio, leggo, come dato di partenza, un interesse i dell’8% (0,08), in regime composto.
Nei calcoli sottostanti appare però “a figurato 5 al tasso 0,078”; successivamente, quando il fattore viene sviluppato, l’interesse torna a 0,08. Come mai? Grazie, in anticipo!
Ciao Federico,
Complimenti per l’occhio vispo.
In effetti devo ammettere che c’è stato un errore da parte mia.
Quando scrivo un blog ho tanto di quel materiale sotto mano che non riesco mai a vedere da solo gli errori.
Correggo subito.
E ti ringrazio dandoti un buono sconto del 50% se intendi prendere un corso.
A presto 😉
Ciao, Andrea, grazie per la tua risposta! In effetti, pensavo di non aver capito io un importante passaggio logico sugli interessi, ma adesso è tutto chiarissimo!
Quanto a uno (o più) dei tuoi corsi, sicuramente ti terrò presente quando avrò il tempo di riprendere l’argomento (non sono più giovanissimo e mi piacerebbe non perdere del tutto le conoscenze matematiche acquisite nel passato e mi piace il tuo modo di spiegare; ora, però, ho impegni).
Ci risentiamo.
Federico
Va benissimo 😉
Non c’è una scadenza
Sono cose che vanno sempre di moda
Oggi comincio a pagare mediante rate mensili di € 518 un’automobile; se pagherò 30 rate e mi è
riconosciuto il tasso del 6% annuo, determina quanto costa l’automobile. [€14496,28]
Ciao Parminder, bella domanda.
Per calcolare il valore dell’auto attualizziamo i flussi di cassa della rendita.
Sapendo che le rate siano mensili avremo un numero di rate n pari a :
n=30
Dobbiamo trovare perciò il tasso mensile a partire dal tasso annuo del 6%
i12=1,06^(1/12)-1=0,00486755
Per trovare il valore dell’auto applichiamo la formula:
V=R*(1-(1+i)^-n)/i
Inseriamo i dati e abbiamo:
V=518*(1-1,00486755^-30)/0,00486755 = 14.426,06
Ciao Parminder, bella domanda.
Per calcolare il valore dell’auto attualizziamo i flussi di cassa della rendita.
Sapendo che le rate siano mensili avremo un numero di rate n pari a :
n=30
Dobbiamo trovare perciò il tasso mensile a partire dal tasso annuo del 6%
i12=1,06^(1/12)-1=0,00486755
Per trovare il valore dell’auto applichiamo la formula:
V=R*(1-(1+i)^-n)/i
Inseriamo i dati e abbiamo:
V=518*(1-1,00486755^-30)/0,00486755 = 14.426,06
Decido di acquistare una cucina nuova. Qual è il prezzo della cucina se mi viene proposto il pagamento in due anni a partire da oggi mediante rate mensili di € 715,69 al tasso del 7,5% annuo? [€16040,37]
Ciao, grazie della domanda
Partiamo dal fatto che il tasso è annuo e che i pagamenti sono mensili.
Quindi dobbiamo calcolare il tasso mensile.
Per farlo utilizziamo la formula
i12= (1+i)^(1/12)-1=1,075^(1/12)-1=0,006045
In secondo luogo passiamo al numero di rate
Se sono due anni di rate è in ogni anno ci sono 12 mesi avremo
n=2*12=24
I’m terzo luogo un dato importante affinché il calcolo esca preciso.
Le rate sono ANTICIPATE.
Ora possiamo usare la formula
VA=R*(a figurato 24 al tasso )*1,006045
VA è il valore attuale (prezzo della cucina)
R è la rata
VA=715,69*(1-1,006045^(-24))/0,006045*1,006045
VA=16.040,35
Ciao, per quanto riguarda il calcolo del montante di una rendita a rata anticipata? Si usa s figurato n al tasso i capitalizzato di un periodo? Grazie
Ciao Massimo
Esattamente!
Quando calcoliamo il montante di una rendita anticipata capitalizziamo di un periodo (con il tasso correlato) il risultato del montante ottenuto con la rendita posticipata.
Quindi facciamo esse figurato n al tasso i tutto moltiplicato per (1+i)
ciao Andrea,
non riesco a risolvere questo esercizio:
-250 euro annnui posticipati dal 3 al 7 anno
-4120 euro al 4 anno
-970 euro annui posticipati dal 5 al 10 anno
– 1100 euro annui mediamente anticipati dal 3 al 4 anno
-660 euro posticipati da oggi per 15 anni
interesse del 3%, determinare il valore totale riferito all’ attualità.
[19301,27]
Ciao Jacopo, grazie per la domanda.
Anzitutto distinguiamo i 5 valori attuali e poi andiamo a sommarli tra di loro.
Il primo valore attuale è riferito a 250 euro annnui posticipati dal 3 al 7 anno
Si tratta di una rendita di 5 rate costanti con rate pagate ai tempi 3,4,5,6,7 (la rata pagata in 7 è pagata alla fine del settimo anno).
il valore attuale che chiamiamo VA1 è:
VA1 = 250*(1-1,03^-5)/0,03 *1,03^-2 = 1.079,20
Il secondo VA è la semplice attualizzazione di un singolo flusso che si potrebbe pensare essere pagato al tempo 4.
VA2= 4.120*1,03^-4 =3.660,57
Per quanto riguarda il terzo valore attuale:
-970 euro annui posticipati dal 5 al 10 anno
è una rendita di 6 rate di cui la prima pagata al tempo 5.
Attenzione al fatto che si potrebbe erroneamente pensare che vi siamo 5 rate (esattamente come nel primo valore attuale)
in realtà se ci pensiamo bene dal quinto al decimo anno significa:
quinto, sesto, settimo, ottavo, nono, decimo
Essendo posticipati i pagamenti avvengono in: 5,6,7,8,9,10
Dunque il terzo valore attuale è:
VA3 = 970 *(1-1,03^-6)/0,03 *1,03^-4 =4.668,71
Il quarto valore riguarda una rendita di 2 rate pagate al tempo 2,5 (metà del terzo anno) e al tempo 3,5 (metà del quarto anno)
Dunque il VA sarà:
VA4 = 1.100*(1-1,03^-2)/0,03 *1,03^-1,5 = 2.013,53
Il quinto valore attuale è quello di una semplice rendita posticipata di 15 rate da 660 euro:
VA5 = 660 * (1-1,03^-15)/0,03 = 7.879,04
Andiamo ora a sommare i 5 valori attuali per determinare il valore attuale complessivo:
VA = VA1 + VA2 + VA3 +VA4 + VA5
VA = 1.079,20 + 3.660,57 + 4.668,71 + 2.013,53 + 7.879,04 =
VA = 19.301,05
Probabilmente con qualche approssimazione in più saremmo arrivati a [19301,27]
Cordialità 😉
grazie per la disponibilità,
gentilissimo
ciao Andrea,
questo esercizio riguarda l’attualizzazione e calcolo rata del mutuo,
1100 euro annui posticipati per 4 anni a partire da oggi,
1500 fra 3 anni e mezzo,
570 annui anticipati dal 2 al 7 anno.
chiedo e ottengo di pagare in rate annue costanti posticipate in un periodo di 5 anni da oggi. Qual è l’importo della rata? [1997]
spero tu riesca a risolverlo..
grazie
a Esercizio 16
Acquistiamo per € 7.500,00 una rendita composta da 14 rate annuali immediate
anticipate al tasso effettivo composto annuo del 4%. Dopo il pagamento della setti-
ma rata decidiamo di cedere la rendita valutando le restanti al tasso del 2,5%. Cal-
colare importo della rata e prezzo di cessione.
[Soluzione: Rata = € 682,71; prezzo di cessione = € 4.334,79]
Ciao Lorenzo, grazie per la domanda
In primo luogo dobbiamo calcolare la rata della rendita iniziale
Per farlo utilizziamo la seguente formula
R = V / a’(n,i)
con
R = Rata
V = valore attuale del bene = 7.500
a’(n,i) sarebbe a anticipato n al tasso i
a’(n,i)= (1-(1+i)^-n)/i *(1+i)
nel nostro caso è
a’(14,0,04)= (1-1,04^(-14))/0,04 * 1,04 = 10,985647
Ora la rata è pari a:
R = V / a’(n,i) = 7.500 / 10,985647 = 682,7089 (approssimando 682,71)
A questo punto dopo il pagamento della settima rata ( che avviene al tempo t=6 ; ricordiamo infatti che è anticipata)
Dobbiamo attualizzare tutte le rate restanti al tempo 6, ma dobbiamo usare il secondo tasso del 2,5%
In questo secondo caso si tratta del valore attuale di una rendita POSTICIPATA di 7 rate (infatti il primo flusso è in t=7)
Per calcolare il valore attuale V’ facciamo
V’ = R * a (n,i)
Dove
R è la rata calcolata prima ovvero 682,7089
a (n,i) = a (7, 0,025) è il fattore attualizzante della rendita posticipata
a (7, 0,025) = (1 – 1,025^-7) / 0,025 = 6,34939
Dunque il valore di cessione V’ della rendita al tempo 6 è :
V’ = 682,7089 * 6,34939 = 4.334,7854 (approssimato 4.334,79)
Spero che il commento ti sia stato di aiuto 😉
Si consideri una rendita annua posticipata di rata pari a 5000 euro per i primi 5 anni e di 10000 euro per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro el il tasso annuo pari al 12%.
Ciao Antonio grazie per la domanda.
In primo luogo dobbiamo impostare l’equazione intertemporale per il calcolo di n.
V = 5.000·a(5;0,12) + 10.000·a(n;0,12)·1,12^(-5) = 60.000
Con a(5;0,12) e a(n;0,12) fattori attualizzanti delle rendite
Isoliamo ora il termine a(n;0,12) a sinistra
a(n;0,12) = (60.000 – 5.000·a(5;0,12))/(10.000·1,12^(-5))
Calcoliamo il termine di destra
a(n;0,12) =7,397626419
Espandiamo il termine di sinistra
(1-1,12^(-n))/0,12 = 7,397626419
Da cui abbiamo che:
1,12^(-n) = 1 – 7,397626419·0,12
1,12^(-n) = 0,112284829
Applicando i logaritmi ricaviamo che:
n = – log(0,112284829) / log(1,12) = 19,295
A questo punto dovrebbero essere versate 19,295 rate aggiuntive da 10.000 euro
Siccome il numero delle rate deve essere intero e c’è un0integrazione nell’ultima rata
assumiamo il numero intero di rate pari a 19.
Calcolando il valore attuale V’ con 19 rate abbiamo che:
V’ = 5.000·a(5;0,12) + 10.000·a(19;0,12)·1,12^(-5)
V’ = 59.819,27
A questo punto Calcoliamo la differenza tra i valori attuali V e V’ per capire
il valore attuale del versamento X aggiuntivo che dobbiamo fare al tempo 5+19 = 24
V – V’ = 60.000 – 59.819,27 = 181,73
Attualizzando X di 24 anni avremo il versamento aggiuntivo in t= 24
X·1,12^(-24) = 181,73
X = 181,73 1,12^24 = 2.758,41
Perchè le rate diventano 29?
cit “Siccome il numero delle rate deve essere intero e c’è un0integrazione nell’ultima rata
assumiamo il numero intero di rate pari a 29”
19 sorry
Potrei avere una spiegazione più dettagliata? con l’espressione anche delle formule e dei calcoli fatti? Sono alle prime armi e vorrei esser sicura di aver capito bene i vari passaggi.
Ciao Sara
Qui ci sono dei corsi che sono molto dettagliati
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
E spiegano passo a passo tutti i calcoli 😉
ma se il valore attualizzato è pari a 60000€ come fanno ad esserci 19 rate da 10000?
Ciao Loris
Può voler dire due cose
La prima è che i dati sono sbagliati
La seconda è che il tasso applicato è molto alto