In questo articolo rispondiamo alle domande sul quiz dell’ammortamento americano.
INDICE
DOMANDA 1- QUIZ AMMORTAMENTO AMERICANO
I dati che conosciamo sono:
$$S=10.000\quad n=5\quad i=0,06\quad i’=0,04$$
Tutte le quote di interessi del piano (quindi anche la seconda) sono uguali e valgono:
$$I=S\cdot i=10.000\cdot0,06=600,00$$
Anche le quote del fondo Q sono tutte uguali e valgono:
$$Q=\frac{S}{s_{n\rceil i}}=\frac{10.000}{s_{5\rceil0,04}}=\frac{10.000}{\frac{1,04^{5}-1}{0,04}}=1.846,2711$$
Ricordiamo di scrivere il risultato con due cifre decimali: 1846,27.
Esborso complessivo (o versamento) che possiamo chiamare V è pari alla somma tra la quota di fondo (che non è quota capitale) e la quota interesse:
$$V=Q+I=1846,27+600,00=1.846,27=2.446,27$$
Per calcolare il valore del fondo al tempo tre (F3) capitalizziamo le prime tre quote di fondo al tasso i’ del 4% fino al tempo 3, sfruttando il fattore di capitalizzazione delle rendite “esse figurato n al tasso i”.
$$F_3=Q\cdot s_{3\rceil0,04}=1.846,2711\cdot\frac{1,04^3-1}{0,04}=5.763,32$$
DOMANDA 2- QUIZ AMMORTAMENTO AMERICANO
Dal testo evinciamo i seguenti dati:
$$S=10.000\quad n=10\quad I_3=500\quad Q_6=872,305066$$
Ricordiamo che gli interessi nel piano di ammortamento americano sono tutti uguali al prodotto tra il capitale prestato e il tasso sugli interessi vigente a quel tempo.
Da questa relazione possiamo facilmente calcolare il tasso sugli interessi:
$$I=S\cdot i\ \to\ i=\frac{I}{S}=\frac{500}{10.000}=0,05=5\%$$
Anche le quote di fondo Q sono tutte uguali tra di loro e lo scopo è quello mediante i 10 versamenti posticipati di costituire a scadenza (tempo 10) il capitale originario di 10.000 euro.
$$Q\cdot s_{10\rceil i’}=10.000$$
In questo caso ricavare il tasso di interesse prevede una procedura abbastanza lunga e laboriosa di calcolo, che si basa sull’interpolazione lineare.
Possiamo comunque evitare tale procedura sostituendo i tassi del 3% oppure del 3,4536% proposti nelle opzioni, che sono gli unici due tassi i’ associati al 5% del valore del tasso i sugli interessi.
La procedura funzione immediatamente con il 3%, infatti:
$$872,305066\cdot s_{10\rceil0,03}=872,305066\cdot\frac{1,03^{10}-1}{0,03}\simeq10.000$$
DOMANDA 3- QUIZ AMMORTAMENTO AMERICANO
I dati noti sono:
$$ I_3=\quad i=0,05 quad\quad Q_1=892,58763\quad j=0,025$$
Nel piano americano tutte le quote interessi sono uguali e sono calcolate moltiplicando il capitale preso a prestito per il tasso sugli interessi.
In questo caso specifico sono uguali le prime quattro quote interessi:
$$I=I_1=I_2=I_3=I_4$$
Dalla relazione che le lega al capitale prestato S, possiamo ricavare proprio S:
$$I=Si\ \to S=\frac{I}{i}=\frac{500}{0,05}=10.000$$
Pertanto scriviamo 10000,00.
Anche le quote del fondo Q sono tutte uguali (qui dalla 1 alla 4) e sono collegate al capitale S, al numero delle rate n e al tasso del fondo i’ mediante la seguente relazione:
$$Q=\frac{S}{s_{n\rceil j}}$$
Esplicitando il fattore capitalizzante delle rendite “esse figurato n al tasso i’ ” (s_{n,i’}) ci ricaviamo il numero delle rate:
$$s_{n\rceil j}=\frac{S}{Q}\ \to \frac{(1+j)^n-1}{j}=\frac{S}{Q}\ \to\ n=\frac{\log\left(1+\frac{S}{Q}\cdot j\right)}{\log(1+j)}$$
Inseriamo i dati:
$$\frac{\log\left(1+\frac{10.000}{892,58763}\cdot0,025\right)}{\log1,025}=10,00$$
(ricordiamo di scrivere le due virgole nello spazio anche se sembrerebbero inopportune).
Attenzione alla richiesta ingannevole sulla terza quota capitale, che vale zero!
Infatti il debito residuo rimane sempre l’importo del prestito S fino alla fine del piano.
Nel risultato scriviamo 0,00.
Passiamo ora al calcolo della quota di fondo Q‘ dopo il pagamento della quarta rata.
In questo caso ricordiamo che lo scopo del fondo è quello di costituire il capitale preso a prestito che abbiamo calcolato essere di 10.000.
Impostiamo dunque un’equazione dove capitalizziamo fino al tempo 10 sia le prime quattro quote di fondo Q che le successive quote di fondo Q’ al tempo 10, tenendo conto che fino al tempo 4 vale un tasso di interesse j del 2,5%, mentre negli anni successivi è j’ del 2% (il tasso di interesse diminuisce di mezzo punto percentuale):
$$Q\cdot s_{4\rceil 0,025}\cdot 1,02^6+Q’\cdot s_{6\rceil 0,02}=10.000$$
Estrapoliamo quindi la nuova quota di fondo Q’:
$$Q’=\frac{10.000-Q\cdot s_{4\rceil 0,025}\cdot 1,02^6}{s_{6\rceil 0,02}}$$
Espandendo le formule otteniamo:
$$Q’=\frac{10.000-892,58763\cdot\frac{1,025^4-1}{0,025}}{\frac{1,02^6-1}{0,02}}=923,5550$$
Ricordiamo di mettere il risultato con due cifre decimali arrotondato per difetto ovvero 923,55.
La settima quota di interesse è semplicemente il prodotto tra il capitale originario S preso a prestito e il nuovo tasso i’ del 4,5%:
$$I_7=S\cdot i’=10.000\cdot0,045=450,00$$
Ricordiamo infatti che nel piano di ammortamento americano il capitale viene restituito solamente alla scadenza, ovvero quando il fondo genera l’intero capitale.
Per questo motivo gli interessi sono sempre calcolati sul capitale iniziale.
In questo caso tutte le quote interessi dal tempo 5 al tempo 10 sono tutte dello stesso importo ovvero 450.
Per calcolare il valore del fondo al tempo 7 capitalizziamo sia le prime quattro quote di fondo Q che le successive quote di fondo Q’ al tempo 7, tenendo conto del cambiamento del tasso di interesse al tempo 4:
$$F_7=Q\cdot s_{4\rceil 0,025}\cdot 1,02^3+Q’\cdot s_{3\rceil 0,02}$$
Inseriamo tutti i dati, espandendo le formule:
$$F_7=892,58763\cdot\frac{1,025^4-1}{0,025}\cdot1,02^3+923,5550\cdot\frac{1,02^3-1}{0,02}=7.222,9278$$
Dunque scriviamo 7222,92.
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