Equazioni Matriciali di Secondo Grado con Metodo GME

Le equazioni matriciali di secondo grado (Quadratic Matrix Equations – QME) sono la classe più semplice e studiata di equazioni matriciali non lineari. Una singola equazione $n \times n$ può possedere fino a $2n$ soluzioni matriciali distinte, rendendo la loro risoluzione molto più complessa dei casi lineari.

➡️ Definizione Simbolica

L’equazione matriciale quadratica è definita dalla forma polinomiale:

$$\mathbf{A}\mathbf{X}^2 + \mathbf{B}\mathbf{X} + \mathbf{C} = \mathbf{0}$$

Dove $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, e $\mathbf{C}$ sono matrici di coefficienti $n \times n$ e $\mathbf{X}$ è l’incognita $n \times n$.

Metodo Risolutivo: Linearizzazione tramite GME

Il metodo più robusto per risolvere le equazioni matriciali di secondo grado è la Linearizzazione che le trasforma in un Problema agli Autovalori Generalizzato (GME) di dimensione $2n \times 2n$:

$$\mathcal{A} v = \lambda \mathcal{B} v$$

A. Matrici del GME

Le matrici companion $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ sono costruite dai coefficienti $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, e $\mathbf{C}$ ($n \times n$):

$$\mathcal{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & -\mathbf{C} \\ \mathbf{I} & -\mathbf{B} \end{pmatrix}, \quad \mathcal{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A} \end{pmatrix}$$

B. Ricostruzione della Soluzione $\mathbf{X}$

Il GME fornisce $2n$ autovettori generalizzati $v_i$. Selezioniamo $n$ autovettori linearmente indipendenti ($v_1, \dots, v_n$) per formare la matrice $\mathbf{V}$ ($2n \times n$).

1. Scomposizione: $\mathbf{V}$ viene divisa in due blocchi $n \times n$:
   $$\mathbf{V} = [v_1 \mid \dots \mid v_n] = \begin{pmatrix} \mathbf{U}_1 \\ \mathbf{U}_2 \end{pmatrix}$$
2. Ricostruzione: La soluzione $\mathbf{X}$ è data dalla relazione tra i blocchi, assumendo $\mathbf{U}_1$ invertibile:
   $$\mathbf{X} = \mathbf{U}_2 \mathbf{U}_1^{-1}$$

2. Primo Esempio Elementare ($2 \times 2$, Diagonale)

In questo esempio per le equazioni matriciali di secondo grado, poniamo $\mathbf{A} = \mathbf{I}$ e scegliamo $\mathbf{B}$ e $\mathbf{C}$ diagonali. Questo caso semplificato riduce il problema $2 \times 2$ a due equazioni quadratiche scalari disaccoppiate.

➡️ Equazione D’Esempio

$$\mathbf{I}\mathbf{X}^2 + \mathbf{B}\mathbf{X} + \mathbf{C} = \mathbf{0}$$

Dati:
$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$$

Passaggio 1: Costruzione del GME ($4 \times 4$)

Il GME è $\mathcal{A} v = \lambda \mathcal{B} v$. Dato che $\mathbf{A}=\mathbf{I}$, si riduce a un problema agli autovalori standard.

Matrice $\mathcal{A}$:
$$\mathcal{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & -\mathbf{C} \\ \mathbf{I} & -\mathbf{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -6 \\
1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 5
\end{pmatrix}$$

Matrice $\mathcal{B}$:
$$\mathcal{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

Passaggio 2: Calcolo degli Autovalori (Dettagliato)

Il calcolo degli autovalori $\lambda$ richiede la soluzione di $\det(\mathcal{A} – \lambda \mathcal{B}) = 0$. Poiché $\mathcal{B}=\mathbf{I}$, calcoliamo $\det(\mathcal{A} – \lambda \mathbf{I})=0$.

$$\mathcal{A} – \lambda \mathbf{I} = \begin{pmatrix}
-\lambda & 0 & -2 & 0 \\
0 & -\lambda & 0 & -6 \\
1 & 0 & 3-\lambda & 0 \\
0 & 1 & 0 & 5-\lambda
\end{pmatrix}$$

Grazie alla struttura a blocchi diagonali (data dalle matrici $\mathbf{B}$ e $\mathbf{C}$ diagonali), il determinante si scompone nel prodotto di due determinanti $2 \times 2$ distinti:

NB: vedi la parte seconda dell’articolo linkato (Determinante a Blocchi Diagonali nel GME (approfondimento)).

$$\det(\mathcal{A} – \lambda \mathbf{I}) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & -2 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} \cdot \det\begin{pmatrix} -\lambda & -6 \\ 1 & 5-\lambda \end{pmatrix} = 0$$

1. Blocco 1 (Autovalori $\lambda_{1,2}$):
   $$ (-\lambda)(3-\lambda) – (-2)(1) = 0 $$
   $$ -\lambda + \lambda^2 + 2 = 0 \implies \lambda^2 – 3\lambda + 2 = 0 $$
   Radici (soluzioni): $\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2$
2. Blocco 2 (Autovalori $\lambda_{3,4}$):
   $$ (-\lambda)(5-\lambda) – (-6)(1) = 0 $$
   $$ -5\lambda + \lambda^2 + 6 = 0 \implies \lambda^2 – 5\lambda + 6 = 0 $$
   Radici (soluzioni): $\lambda_3 = 2, \quad \lambda_4 = 3$

Gli autovalori totali del GME sono: $\lambda = {1, 2, 2, 3}$.

Passaggio 3: Ricostruzione della Soluzione $\mathbf{X}$

Selezioniamo $n=2$ autovalori ($\lambda_1=1$ e $\lambda_4=3$) e i corrispondenti autovettori generalizzati $v_i$.

1. Autovettori scelti:
   $$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$$
2. Formazione di $\mathbf{V}$ e Blocchi $\mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2$
   $$\mathbf{V} = [v_1 \mid v_4] = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{U}_1 \\ \mathbf{U}_2 \end{pmatrix}$$
3. Calcolo di $\mathbf{X}$:
   $$\mathbf{X} = \mathbf{U}_2 \mathbf{U}_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Risultato

La soluzione $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ è una delle $2^n=4$ soluzioni diagonali possibili, formata dalla combinazione dei due autovalori scelti.

3. Secondo Esempio: Matrici Complete $2 \times 2$ (Verifica GME)

Questo esempio illustra l’applicazione completa del Metodo agli Autovalori Generalizzato (GME), necessario quando tutti i coefficienti sono matrici non diagonali e il problema non può essere disaccoppiato. L’esempio è stato costruito a ritroso (reverse engineering) per garantire una soluzione intera e verificabile.

Equazione D’Esempio

Il GME risolve l’equazione:
$$\mathbf{A}\mathbf{X}^2 + \mathbf{B}\mathbf{X} + \mathbf{C} = \mathbf{0}$$

Dati (coefficienti tutti non diagonali):
$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} -2 & -12 \\ -4 & -22 \end{pmatrix}$$

Molteplicità delle Soluzioni e Scelta

Un’equazione $n \times n$ di secondo grado ($n=2$) genera $2n=4$ autovalori. Dobbiamo selezionare $n=2$ autovettori L.I. che formino il sottospazio invariante corretto.

Il numero massimo di combinazioni teoriche di autovalori è:
$$\binom{2n}{n} = \binom{4}{2} = 6$$

Per costruzione, sappiamo che la soluzione è $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, i cui autovalori sono $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=2$.

Passaggio 1: Costruzione delle Matrici GME ($4 \times 4$)

Il problema è $\mathcal{A} v = \lambda \mathcal{B} v$.

Matrice $\mathcal{A}$:
$$\mathcal{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & -\mathbf{C} \\ \mathbf{I} & -\mathbf{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 2 & 12 \\
0 & 0 & 4 & 22 \\
1 & 0 & -1 & -2 \\
0 & 1 & -3 & -4
\end{pmatrix}$$

Matrice $\mathcal{B}$:
$$\mathcal{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}$$

Passaggio 2: Selezione degli Autovalori/Autovettori

Selezioniamo gli autovettori che corrispondono alla radice nota $\mathbf{X}$:

• Autovettore $v_1$ (per $\lambda_1 = 1$):
  $$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
• Autovettore $v_2$ (per $\lambda_2 = 2$):
  $$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Passaggio 3: Ricostruzione della Soluzione $\mathbf{X}$

1. Formazione di $\mathbf{V}$ e Blocchi $\mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2$:
   $$\mathbf{V} = [v_1 \mid v_2] = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{U}_1 \ \mathbf{U}_2 \end{pmatrix}$$
2. Calcolo di $\mathbf{U}_1^{-1}$:
   $$\mathbf{U}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies \mathbf{U}_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
3. Calcolo di $\mathbf{X} = \mathbf{U}_2 \mathbf{U}_1^{-1}$:
   $$\mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1+0) & (-1+2) \\ (0+0) & (0+2) \end{pmatrix}$$

Soluzione Trovata e Verifica

La radice ricostruita è: $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Verifica Finale (Deve risultare $\mathbf{0}$):

$$\mathbf{A}\mathbf{X}^2 + \mathbf{B}\mathbf{X} + \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 1 & 11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & -12 \\ -4 & -22 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} (1+1-2) & (7+5-12) \\ (1+3-4) & (11+11-22) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$$

La soluzione è correttamente verificata.

4. Terzo Esempio: Soluzione Rigorosa di una QME $3 \times 3$

Questo esempio dimostra la soluzione di una QME $3 \times 3$ tramite il Problema agli Autovalori Generalizzato (GME) di dimensione $6 \times 6$, utilizzando matrici $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ che sono state costruite per garantire un set specifico di autovalori.

Equazione e Coefficienti Garantiti

L’equazione risolta è: $\mathbf{A}\mathbf{X}^2 + \mathbf{B}\mathbf{X} + \mathbf{C} = \mathbf{0}$.

I coefficienti $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ sono stati generati tramite il Metodo Inverso del Compagno per assicurare che il polinomio caratteristico del GME sia coerente con le radici desiderate.

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -7 \\ 0 & 14 & 0 \\ -7 & 7 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} -13 & 36.5 & -18 \\ 2 & -49 & 1 \\ -15 & 12.5 & -19 \end{pmatrix}$$

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Passaggio 1: Il Polinomio Caratteristico $P(\lambda)$ – Dettagli

Il cuore del metodo risolutivo risiede nella linearizzazione dell’Equazione Quadratica Matriciale (QME) in un sistema lineare di dimensione doppia, chiamato Problema agli Autovalori Generalizzato (GME).

1. Le Matrici $6 \times 6$ del GME

La QME $3 \times 3$ viene trasformata nel GME $6 \times 6$ $\mathcal{A} v = \lambda \mathcal{B} v$, dove $v$ è l’autovettore $6 \times 1$. Le matrici $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ sono composte dai blocchi $3 \times 3$ della QME:

Matrice GME	Blocco $3 \times 3$
Matrice $\mathcal{A}$	$$\mathcal{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & -\mathbf{C} \\ \mathbf{I} & -\mathbf{B} \end{pmatrix}$$
Matrice $\mathcal{B}$	$$\mathcal{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A} \end{pmatrix}$$

2. La Matrice del Determinante

Per trovare gli autovalori $\lambda$, si risolve il determinante della matrice $\mathcal{D} = \mathcal{A} – \lambda \mathcal{B}$:

$$\mathcal{D} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & -\mathbf{C} \\ \mathbf{I} & -\mathbf{B} \end{pmatrix} – \lambda \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} – \lambda\mathbf{I} & -\mathbf{C} – \lambda\mathbf{0} \\ \mathbf{I} – \lambda\mathbf{0} & -\mathbf{B} – \lambda\mathbf{A} \end{pmatrix}$$

La Matrice $\mathcal{D}$ è:
$$\mathcal{D} = \begin{pmatrix} -\lambda \mathbf{I} & -\mathbf{C} \\ \mathbf{I} & -(\mathbf{B} + \lambda \mathbf{A}) \end{pmatrix}$$

3. Equivalenza Tramite Determinante a Blocchi

Si dimostra che il determinante della matrice $\mathcal{D}$ è identico al determinante della matrice $3 \times 3$ della QME.

Applicando la formula del Complemento di Schur $\det(\mathcal{D}) = \det(\mathbf{A}’) \det(\mathbf{D}’ – \mathbf{C}’ (\mathbf{A}’)^{-1} \mathbf{B}’)$, dove $\mathbf{A}’ = -\lambda \mathbf{I}$:

$$\det(\mathcal{D}) = \det(-\lambda \mathbf{I}) \det\left(-(\mathbf{B} + \lambda \mathbf{A}) – \mathbf{I} (-\lambda \mathbf{I})^{-1} (-\mathbf{C})\right)$$

Dopo la semplificazione algebrica, si ottiene:
$$\det(\mathcal{D}) = \det(\mathbf{A}\lambda^2 + \mathbf{B}\lambda + \mathbf{C})$$

Vedi articolo sull’equivalenza GME-PNE per comprendere questo passaggio logico

4. Risultato

L’equazione caratteristica GME produce il polinomio $3 \times 3$ della QME:

$$P(\lambda) = \det(\mathbf{A}\lambda^2 + \mathbf{B}\lambda + \mathbf{C}) = \lambda^6 – 14\lambda^4 + 49\lambda^2 – 36$$

Passaggio 2: Autovalori del GME

La scomposizione del polinomio $P(\lambda)$ ci fornisce le sei radici (autovalori del GME):
$$P(\lambda) = (\lambda^2 – 9)(\lambda^2 – 4)(\lambda^2 – 1)$$

Le sei radici distinte sono:
$$\mathbf{\Lambda}_{\text{GME}} = {-3, -2, -1, 1, 2, 3}$$

Poiché tutti gli autovalori sono distinti, la molteplicità algebrica e geometrica è $\mathbf{m_a = m_g = 1}$ per ciascuno.

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Passaggio 3: Ricostruzione della Soluzione $\mathbf{X}$

La soluzione $\mathbf{X}$ è costruita selezionando tre autovettori linearmente indipendenti (L.I.) dal GME, corrispondenti a una qualsiasi terna di autovalori $\mathbf{\lambda}{\mathbf{X}} \subset \mathbf{\Lambda}{\text{GME}}$ (ad esempio ${-3, -2, -1}$).

1. Matrice degli Autovettori ($\mathbf{V}$): Si combinano i tre autovettori selezionati in una matrice $6 \times 3$, divisa in due blocchi $3 \times 3$:
   $$\mathbf{V} = [v_1 \mid v_2 \mid v_3] = \begin{pmatrix} \mathbf{U}_1 \\ \mathbf{U}_2 \end{pmatrix}$$
2. Soluzione: La radice $\mathbf{X}$ della QME è data dal rapporto tra i blocchi:
   $$\mathbf{X} = \mathbf{U}_2 \mathbf{U}_1^{-1}$$

Per costruzione, la matrice $\mathbf{X}$ risultante è la soluzione esatta della QME.

Conclusione: Generalizzazione del Metodo (PME di Grado Superiore) 💡

Il metodo della linearizzazione, che trasforma l’Equazione Quadratica Matriciale (PME di secondo grado, $\mathbf{A}\mathbf{X}^2 + \mathbf{B}\mathbf{X} + \mathbf{C} = \mathbf{0}$) in un Problema agli Autovalori Generalizzato (GME) di dimensione $2n \times 2n$, non è affatto limitato al secondo grado.

Questo approccio si estende in modo efficace a qualsiasi Equazione Polinomiale Matriciale (PME) di grado $k$, permettendo di trovare tutte le $nk$ radici teoriche.

Estensione al Terzo Grado (PME Cubica)

Per una matrice di dimensione $n \times n$, un’equazione di terzo grado ha la seguente forma:

$$\mathbf{A}_3\mathbf{X}^3 + \mathbf{A}_2\mathbf{X}^2 + \mathbf{A}_1\mathbf{X} + \mathbf{A}_0 = \mathbf{0}$$

Questa equazione viene linearizzata in un GME di dimensione $3n \times 3n$, le cui matrici compagne sono costruite a blocchi $n \times n$. Il GME avrà un totale di $\mathbf{3n}$ autovalori.

Estensione al Grado Generale $k$

In generale, per un’equazione polinomiale matriciale di grado $k$:

$$\sum_{j=0}^{k} \mathbf{A}_j \mathbf{X}^j = \mathbf{0}$$

Il problema viene sempre linearizzato in un GME di dimensione $\mathbf{kn \times kn}$. Il polinomio caratteristico risultante sarà di grado $kn$, e il sistema ammetterà kn autovalori totali, dai quali è possibile costruire tutte le radici matriciali $\mathbf{X}$ del problema iniziale. Il principio del determinante a blocchi rimane la chiave di volta per passare dal GME alla risoluzione del polinomio.

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