La Derivata di Fréchet è l’operatore, $\mathbf{F}'(\mathbf{X})[\mathbf{\Delta}]$, che definisce le derivate di funzioni matriciali per le matrici $\mathbf{X}$. A causa della non commutatività, l’operatore è la somma di tutti i prodotti in cui l’incremento $\mathbf{\Delta}$ sostituisce una singola $\mathbf{X}$.
INDICE
Le Regole Base per le Potenze $\mathbf{X}^n$
| Funzione $\mathbf{F}(\mathbf{X})$ | Derivata $\mathbf{F}'(\mathbf{X})[\mathbf{\Delta}]$ (Operatore Lineare) |
|---|---|
| $\mathbf{X}$ | $\mathbf{\Delta}$ |
| $\mathbf{X}^2 = \mathbf{X}\mathbf{X}$ | $\mathbf{\Delta}\mathbf{X} + \mathbf{X}\mathbf{\Delta}$ |
| $\mathbf{X}^3 = \mathbf{X}\mathbf{X}\mathbf{X}$ | $\mathbf{\Delta}\mathbf{X}^2 + \mathbf{X}\mathbf{\Delta}\mathbf{X} + \mathbf{X}^2\mathbf{\Delta}$ |
| $\mathbf{X}^4 = \mathbf{X}\mathbf{X}\mathbf{X}\mathbf{X}$ | $\mathbf{\Delta}\mathbf{X}^3 + \mathbf{X}\mathbf{\Delta}\mathbf{X}^2 + \mathbf{X}^2\mathbf{\Delta}\mathbf{X} + \mathbf{X}^3\mathbf{\Delta}$ |
Derivazione Dettagliata delle Regole Fondamentali
Tra le regole per il calcolo delle derivate di funzioni matriciali polinomiali, vediamo in dettaglio il caso del quadrato e del cubo.
1. Derivazione Dettagliata di $\mathbf{F}(\mathbf{X}) = \mathbf{X}^2$
Espandendo $\mathbf{F}(\mathbf{X} + \mathbf{\Delta}) = (\mathbf{X} + \mathbf{\Delta})(\mathbf{X} + \mathbf{\Delta})$:
$$\mathbf{F}(\mathbf{X} + \mathbf{\Delta}) = \underbrace{\mathbf{X}^2}_{\text{Grado 0}} + \underbrace{\mathbf{X}\mathbf{\Delta} + \mathbf{\Delta}\mathbf{X}}_{\text{Grado 1}} + \underbrace{\mathbf{\Delta}^2}_{\text{Grado 2}}$$
Il termine lineare (Grado 1) definisce la derivata:
$$\mathbf{F}'(\mathbf{X})[\mathbf{\Delta}] \text{ per } \mathbf{X}^2 \implies \mathbf{\Delta}\mathbf{X} + \mathbf{X}\mathbf{\Delta}$$
2. Derivazione Dettagliata di $\mathbf{F}(\mathbf{X}) = \mathbf{X}^3$
Espandiamo $\mathbf{F}(\mathbf{X} + \mathbf{\Delta}) = (\mathbf{X} + \mathbf{\Delta})^3$. Separiamo i termini per grado rispetto a $\mathbf{\Delta}$:
$$\mathbf{F}(\mathbf{X} + \mathbf{\Delta}) = \sum_{\text{Grado 0}} + \sum_{\text{Grado 1}} + \sum_{\text{Grado 2}} + \sum_{\text{Grado 3}}$$
Termini di Grado 1 (Lineaari, $\mathbf{F}'(\mathbf{X})[\mathbf{\Delta}]$):
Questi termini contengono esattamente un solo fattore $\mathbf{\Delta}$ nelle tre possibili posizioni:
- $(\mathbf{\Delta})(\mathbf{X})(\mathbf{X}) = \mathbf{\Delta}\mathbf{X}^2$
- $(\mathbf{X})(\mathbf{\Delta})(\mathbf{X}) = \mathbf{X}\mathbf{\Delta}\mathbf{X}$
- $(\mathbf{X})(\mathbf{X})(\mathbf{\Delta}) = \mathbf{X}^2\mathbf{\Delta}$
$$\mathbf{F}'(\mathbf{X})[\mathbf{\Delta}] = \mathbf{\Delta}\mathbf{X}^2 + \mathbf{X}\mathbf{\Delta}\mathbf{X} + \mathbf{X}^2\mathbf{\Delta}$$
Termini di Grado 2 (Quadratici in $\mathbf{\Delta}$, Ignorati):
Contengono due fattori $\mathbf{\Delta}$ (esempi: $\mathbf{\Delta}^2\mathbf{X}, \mathbf{\Delta}\mathbf{X}\mathbf{\Delta}, \mathbf{X}\mathbf{\Delta}^2$ e le loro permutazioni). Questi termini sono $\mathcal{O}(\Vert\mathbf{\Delta}\Vert^2)$ e vengono ignorati nell’approssimazione lineare.
Termini di Grado 3 (Cubici in $\mathbf{\Delta}$, Ignorati):
Contiene tre fattori $\mathbf{\Delta}$: $\mathbf{\Delta}^3$. Anche questo è ignorato.
Applicazione ai Polinomi Matriciali Completi
Per un polinomio matriciale completo con coefficienti a sinistra, come l’Equazione Cubica Matriciale (CME):
$$\mathbf{F}(\mathbf{X}) = \mathbf{A}\mathbf{X}^3 + \mathbf{B}\mathbf{X}^2 + \mathbf{C}\mathbf{X} + \mathbf{D}$$
L’operatore di derivata di Fréchet è la somma delle derivate dei singoli termini, con i coefficienti $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ che rimangono come premoltiplicatori:
$$\mathbf{F}'(\mathbf{X})[\mathbf{\Delta}] = \mathbf{A}(\mathbf{\Delta}\mathbf{X}^2 + \mathbf{X}\mathbf{\Delta}\mathbf{X} + \mathbf{X}^2\mathbf{\Delta}) + \mathbf{B}(\mathbf{\Delta}\mathbf{X} + \mathbf{X}\mathbf{\Delta}) + \mathbf{C}\mathbf{\Delta}$$
Questo operatore forma la matrice coefficiente dell’Equazione di Sylvester generalizzata, essenziale per ogni iterazione del Metodo di Newton.
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Impara l’algebra lineare con un percorso strutturato e facile da seguire passo a passo.
Un viaggio che parte dai vettori e dalle matrici, passando per i sitemi lineari giungerai nei meandri degli spazi vettoriali, della diagonalizzazione delle matrici con tappa finale nelle coniche.