Posizione di due rette nello spazio: teoria ed esercizi

Determinare la posizione di due rette nello spazio significa stabilire se esse giacciono sullo stesso piano (complanari) o meno, e in che modo interagiscono tra loro. A differenza della geometria piana, nello spazio tridimensionale le rette possono essere sghembe, ovvero non incontrarsi mai pur non essendo parallele.

Il metodo del rango per la classificazione

Per analizzare la posizione reciproca di due rette, utilizziamo le loro equazioni parametriche:

• $r: x = P + \lambda v$
• $s: x = Q + \mu w$

Dove $P, Q$ sono punti di passaggio e $v, w$ sono i vettori direzionali.

Costruiamo una matrice $A$ formata dai due vettori direzionali e dal vettore differenza dei punti:

$$A = \begin{pmatrix} v & w & Q-P \end{pmatrix}$$

Studiando il rango di questa matrice $\rho(A)$, determiniamo la configurazione geometrica:

1. Rette Sghembe: Se $\rho(A) = 3$ (il determinante è diverso da zero), le rette non sono complanari.
2. Rette Complanari: Se $\rho(A) = 2$, le rette giacciono sullo stesso piano.
   • Se $v$ e $w$ sono linearmente indipendenti, le rette sono Incidenti.
   • Se $v$ e $w$ sono multipli (dipendenti), le rette sono Parallele.
3. Rette Coincidenti: Se $\rho(A) = 1$, le rette sono la stessa retta.

Esempi pratici di calcolo

Analizziamo la posizione di due rette nello spazio utilizzando tre rette specifiche:

• $r: (2, 1, 0) + r(1, 1, 2)$
• $s: (3, -1, 2) + s(2, 3, -1)$
• $t: (6, 2, 3) + t(1, 1, 2)$

1. Caso di rette sghembe (r e s)

Confrontiamo la retta $r$ e la retta $s$.

Abbiamo i vettori $v=(1,1,2)$, $w=(2,3,-1)$ e calcoliamo la differenza dei punti $Q-P = (3-2, -1-1, 2-0) = (1, -2, 2)$.

Costruiamo la matrice e calcoliamo il determinante:

$$\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix} = -15 \neq 0$$

Poiché il determinante è non nullo, il rango è 3. Le rette sono sghembe.

2. Caso di rette parallele (r e t)

Confrontiamo la retta $r$ e la retta $t$.

I vettori direzionali sono $v=(1,1,2)$ e $w=(1,1,2)$. Si nota subito che sono identici (dipendenti), quindi le rette sono parallele o coincidenti.

Calcoliamo la differenza dei punti $Q-P = (6-2, 2-1, 3-0) = (4, 1, 3)$.

La matrice completa è:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Il determinante è nullo (due colonne uguali), ma esiste un minore $2 \times 2$ non nullo (usando l’ultima colonna). Il rango è 2.

Dato che $v$ e $w$ sono dipendenti, le rette sono parallele e distinte.

3. Caso di rette incidenti (s e t)

Confrontiamo la retta $s$ e la retta $t$.

Calcoliamo il determinante della matrice formata da $v_s$, $w_t$ e la differenza dei punti:

$$\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = 0$$

Il rango è 2, quindi sono complanari. Poiché i vettori direzionali $(2,3,-1)$ e $(1,1,2)$ non sono multipli (sono indipendenti), le rette sono incidenti.

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