Capire come rappresentare la retta nello spazio è fondamentale in algebra lineare e geometria analitica, poiché ci permette di descrivere traiettorie e intersezioni in tre dimensioni. In questo articolo analizzeremo le due forme principali per descrivere una retta: la forma parametrica (vettoriale) e la forma cartesiana, utilizzando gli esempi tratti dalla dispensa fornita.
INDICE
Equazione parametrica della retta
Per definire una retta nello spazio, abbiamo bisogno di due elementi essenziali: un punto di passaggio $P$ e un vettore direzionale $v$ che indica l’orientamento della retta.
L’equazione vettoriale generica è data dalla formula:
$$r: x = P + \lambda v$$
Dove $x$ rappresenta un generico punto della retta $(x, y, z)$, $P$ è il punto noto $(x_0, y_0, z_0)$, $v$ è il vettore direzione $(v_x, v_y, v_z)$ e $\lambda$ è un numero reale (parametro) che varia.
Esplicitando le componenti, otteniamo il sistema parametrico:
$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}$$
Esempio: Retta passante per due punti
Consideriamo un esempio nel piano (facilmente estendibile allo spazio) per trovare la retta passante per i punti $P(-1, 2)$ e $Q(3, 5)$.
Il primo passo è calcolare il vettore direzionale $v$, dato dalla differenza tra le coordinate dei due punti ($Q – P$):
$$v = \binom{3}{5} – \binom{-1}{2} = \binom{4}{3}$$
Ora possiamo scrivere l’equazione parametrica usando il punto $P$ e il vettore $v$ appena trovato:
$$\binom{x}{y} = \binom{-1}{2} + \lambda \binom{4}{3}$$
Nello spazio tridimensionale, il procedimento è identico, aggiungendo semplicemente la componente $z$ ai vettori colonna.
Dalla forma parametrica alla cartesiana
Spesso è necessario convertire l’equazione parametrica nella forma cartesiana. Mentre la forma parametrica descrive la retta come un percorso generato da un vettore, la forma cartesiana descrive la retta nello spazio come l’intersezione di due piani.
Per effettuare il passaggio, bisogna eliminare il parametro $\lambda$ dal sistema di equazioni.
Esempio di conversione
Data la retta in forma parametrica:
$$r: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Scriviamo il sistema corrispondente:
$$\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -2 + 2\lambda \\ z = 3 – \lambda \end{cases}$$
Per eliminare $\lambda$, possiamo ricavarlo dalla terza equazione, che è la più semplice:
$$z = 3 – \lambda \Rightarrow \lambda = 3 – z$$
Sostituiamo questa espressione di $\lambda$ nelle prime due equazioni:
- $x = 1 + 2(3 – z) \Rightarrow x = 1 + 6 – 2z \Rightarrow x = 7 – 2z$
- $y = -2 + 2(3 – z) \Rightarrow y = -2 + 6 – 2z \Rightarrow y = 4 – 2z$
Portando tutti i termini a sinistra, otteniamo le due equazioni cartesiane che descrivono la retta:
$$\begin{cases} x + 2z – 7 = 0 \\ y + 2z – 4 = 0 \end{cases}$$
Questo sistema rappresenta la retta nello spazio come luogo geometrico dato dall’intersezione di due piani definiti dalle equazioni generali $ax + by + cz + d = 0$.
Questo concetto è estendibile anche agli iperspazi (spazi con dimensione maggiore di 3), dove la logica vettoriale rimane invariata.
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