Se consideriamo un sistema lineare con n equazioni in n incognite, scritto nella forma matriciale:
Possiamo determinare la soluzione di questo sistema moltiplicando a sinistra entrambi membri per la matrice inversa:
In questo modo otteniamo la soluzione del vettore X incognito.
PREMESSA LOGICA
Prima di sviluppare questo metodo attraverso un esempio è bene sapere che per risolvere un sistema lineare ci sono diverso metodi.
Accanto a quelli più tradizionali imparati alle scuole superiori ovvero:
- Sostituzione
- Confronto
- Semplificazione
esistono altri metodi che più si adattano alle logiche dell’algebra lineare.
Mi riferisco in particolare a:
- Cramer
- Metodo dei determinanti e minori (trattato in questa sede)
- Matrice pivotale
- Metodo Gauss-Green o della matrice identica.
ESEMPIO
Bando alle ciance facciamo subito un esempio prendendo in esame il caso di un sistema lineare con 3 equazioni in tre incognite.
Scriviamo ora il sistema nella forma matriciale:
Dove A è la matrice dei coefficienti (3×3), X è il vettore incognito (3×1) e B è il vettore dei termini noti.
La matrice A risulta dunque essere:
Sappiamo che la soluzione che dobbiamo trovare è:
Per questo motivo occorre calcolare la matrice inversa di A, ovvero A-1.
Ricordiamo che per calcolare questa matrice esistono due metodi.
Il primo è quello che consiste nel risolvere un sistema lineare.
Mentre il secondo è quello che sfrutta i determinanti e i complementi algebrici.
Se accedete al secondo metodo vedrete proprio il caso di questa matrice.
La matrice inversa risulta essere:
A questo punto la soluzione del sistema lineare è:
Per calcolare la prima incognita x moltiplichiamo la prima riga della matrice inversa per il vettore noto B.
La seconda componente y del vettore incognito si ottiene moltiplicando la seconda riga dell’inversa per B.
Raccogliendo 1/8 abbiamo:
Seguendo la stessa procedure per z otteniamo:
Ecco che abbiamo ottenuto la nostra soluzione.
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UNA “PICCOLA” RIFLESSIONE
Questa procedura vale solamente per sistemi con n equazioni in n incognite.
Dopo tutto è un metodo che si basa esclusivamente sul determinante.
Quindi solamente se il sistema ammette un numero di equazioni uguale al numero delle incognite possiamo avere una matrice A dei coefficienti del tipo nxn.
Ma siamo veramente sicuri che non sia in alcun modo possibile esportare questa procedura a sistemi lineari con un numero di incognite superiore al numero di equazioni?
Proviamo a considerare questo semplice esempio di sistema lineare con 2 equazioni in 3 incognite:
In questo caso la matrice dei coefficienti A è del tipo 2×3:
E il sistema può essere letto come:
Pertanto non risulta possibile con il metodo visto in precedenza
risolvere il sistema lineare dal momento che la matrice non è quadrata.
(la matrice in realtà risulta invertibile a sinistra, ma non usando il metodo di Laplace).
Come facciamo dunque a sbrogliare il caso?
Proviamo a fare questo piccolo accoglimento tecnico.
Spostiamo tutte le z sul lato destro del sistema, ottenendo:
Ora consideriamo come incognite del sistema la x e la y, mentre la terza incognita z diventa un parametro.
In questo modo la matrice A diventa una quadrata di ordine 2:
Il sistema può essere letto come:
Vediamo subito che la matrice è invertibile poiché il determinante che risulta certamente diverso da zero:
Ora andiamo a calcolare la matrice dei complementi, che risulta un’operazione estremamente elementare.
Infatti quando una matrice è del tipo 2×2 basta che scambiamo di posto gli elementi sulla diagonale principale.
Mentre quelli sulla diagonale secondaria oltre a scambiarli di posto cambiamo anche i loro segni.
Infine non ci resta che calcolare l’inversa dividendo la trasposta della matrice dei complementi (matrice aggiunta) per il determinante di A:
Da notare che in questa particolare situazione la matrice aggiunta coincide con la matrice dei complementi algebrici.
A questo punto applichiamo la regola generale per determinare la soluzione del sistema lineare:
Calcoliamo adesso la prima incognita x:
E l’incognita y:
Ed ecco che abbiamo trovato il nostro vettore incognito a due componenti:
Ovviamente dobbiamo tenere presente che le incognite originare del sistema lineare erano 3.
Per questo motivo il vero vettore incognito ha tre componenti x, y e z.
Quindi se vogliamo scriverlo meglio le prime due componenti sono quelle che abbiamo scritto mentre l’ultima è semplicemente z, dove z è un’incognita libera di variare , detto anche paramento libero.
Dunque scriviamo:
In alcuni testi troverete che qualcuno preferisce attribuire a z un generico numero reale, chiamando con il nome di un altro parametro ad esempio t oppure a.
Questo viene fatto per distinguere il piano dell’incognita dal piano dei valori che l’incognita può assumere.
Ad esempio se attribuiamo a z il valore di un qualsiasi numero reale t:
Il nostro vettore incognito diventa:
MORALE DELLA FAVOLA
Il metodo della matrice inversa che abbiamo presentato oggi vale per sistemi con numero di equazioni ed incognite identici.
Per trovare la soluzione del sistema sfruttiamo le proprietà delle matrici senza “macchiarci” a causa della ripetuta scrittura delle incognite tipica del metodo della sostituzione.
Si può pensare a questo metodo risolutivo come più elegante rispetto ai metodi “tradizionali”.
Possiamo dire che in qualche modo ci stiamo elevando dalla massa comune e diventiamo più nobili.
Con qualche piccolo accorgimento è inoltre possibile generalizzare il metodo a quando il numero di incognite supera il numero di equazioni.
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