MOTODO GAUSS
In questo articolo vediamo come risolvere un sistema lineare applicando il metodo Gauss.
Il metodo Gauss può essere visto come un’espansione del metodo della riduzione della matrice a scala, che si basa sulla procedura della riduzione a scala di una matrice.
Tale metodo si basa sulle combinazioni lineari dei vettori riga della matrice al fine di ottenere degli zeri in posizioni ben definite di modo da creare gli elementi speciali detti elementi pivot.
Mentre nel metodo di riduzione a scala la nostra finalità è ottenere una matrice diagonale, con il metodo di Gauss vogliamo ottenere una matrice diagonale.
Quindi utilizziamo la prima riga per annullare tutti gli elementi della prima colonna (eccetto quello sulla prima riga).
La seconda riga viene utilizzata per annullare tutti gli elementi della seconda colonna (eccetto quello sulla seconda riga).
In generale l’i-esima riga viene utilizzata per annullare gli elementi dell’i-esima colonna (eccetto quello sulla riga i-esima).
ESEMPIO DELL’APPLICAZIONE DEL METODO GAUSS
Vediamo insieme il seguente sistema lineare:
Ricaviamo ora la matrice completa di sistema A|B del tipo 4×5:
Il rimo passo consiste nell’ottenere gli zeri sulla prima colonna utilizzando combinazioni lineari delle altre righe con la prima.
Nella seconda riga sottraiamo la prima dalla seconda.
Mentre nella terza riga sottraiamo alla terza il doppio della seconda.
L’ultima riga la lasciamo invariata (presenta già uno zero all’inizio).
Otteniamo la matrice A|B’:
Fino a qui è tutto identico al metodo della riduzione della matrice a scala.
Ora passiamo alla seconda riga.
Il nostro obiettivo è quello di creare tutti zeri sulla seconda colonna, sia sopra che sotto la seconda riga.
Al posto della prima riga sostituiamo la somma della prima riga con la seconda.
Mentre al posto della terza riga sostituiamo il doppio della terza meno il triplo della seconda.
Nella quarta riga non la tocchiamo in quanto è già presente lo zero.
A questo punto sfruttiamo la terza riga per annullare la terza riga.
Al posto della prima riga scriviamo il quintuplo della prima più il doppio della terza.
Nella seconda riga scriviamo il quintuplo della seconda più il triplo della terza.
Da ultimo sostituiamo la quarta riga con il quintuplo della quarta riga sommata alla terza riga.
Dividiamo per –2 la seconda riga, cambiamo di segno alla terza e dimezziamo la quarta.
Ora vogliamo annullare gli elementi della quarta colonna sfruttando la quarta riga.
Sostituiamo a tal fine la prima riga con 7 volte la riga1 più 13 volte l’ultima.
Al posto della seconda riga scriviamo 7 volte la riga2 meno 16 volte l’ultima.
Infine non ci resta che sostituire la terza riga con 7 volte la terza meno 9 volte l’ultima.
Con la matrice A|BIV siamo ad un passo dalla vittoria:
Dividiamo ora per 35 le prime tre righe e per 7 la quarta.
Ed ecco che abbiamo la soluzione cercata:
NOTE FINALI
Da notare che per risolvere questo sistema con n equazioni in n incognite. si poteva utilizzare il metodo della matrice inversa.
Ovvero partendo da un sistema del tipo:
Possiamo determinare la soluzione di questo sistema moltiplicando a sinistra entrambi membri per la matrice inversa:
In questo modo otteniamo la soluzione del vettore X incognito.
Questa formula è strettamente connessa al calcolo della matrice inversa con il metodo gaussiano.
Da notare che se al posto del vettore X avessimo avuto una matrice X del tipo nxn e al posto del vettore B dei termini noti avessimo avuto una matrice identica I nxn potremmo scrivere:
Risulta immediatamente chiaro che X è la matrice inversa di A.
Seguendo lo stesso ragionamento seguito per la risoluzione del sistema lineare possiamo moltiplicare a destra e a sinistra per l’inversa di A.
E ricavare la matrice inversa.
Seguendo il metodo Gauss visto per i sistemi lineari risulta dunque anche possibile calcolare la matrice inversa.
Seguendo il metodo Gauss visto per i sistemi lineari risulta dunque anche possibile calcolare la matrice inversa.
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