Dopo aver analizzato i Criteri del Confronto e studiato il caso limite della Serie Armonica, aggiungiamo oggi un’altra freccia al nostro arco per lo studio delle serie a termini positivi: il Criterio della Radice (o Criterio di Cauchy).
In Analisi 1, capita spesso di imbattersi in serie dove il termine generale $a_n$ appare elevato alla potenza $n$-esima, del tipo $(f(n))^n$. In questi casi, i criteri di confronto possono risultare laboriosi. Il criterio della radice è stato progettato proprio per semplificare queste strutture esponenziali, sfruttando la proprietà algebrica $\sqrt[n]{x^n} = x$.
L’Enunciato del Teorema
Sia $\sum a_n$ una serie a termini non negativi ($a_n \ge 0$).
Per determinare il carattere della serie, dobbiamo calcolare il seguente limite:
$$l = \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n}$$
Il verdetto dipende esclusivamente dal valore di $l$:
- Se $l < 1$: La serie converge.
- Se $l > 1$: La serie diverge.
- Se $l = 1$: Il criterio è inefficace (o nullo). Non possiamo concludere nulla; la serie potrebbe convergere o divergere e dovremo usare un altro metodo (come il confronto).
Nota bene: Se il limite è $l > 1$, la serie diverge perché viene violata la condizione necessaria di convergenza (il termine generale non tende a 0, ma anzi esplode all’infinito).
Esercizi Svolti: 3 Casi Esemplari
Vediamo tre esempi pratici per capire come applicare il criterio.
Esercizio 1: Convergenza Classica
Studiamo la serie:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{2n+1} \right)^n$$
Riconosciamo subito la struttura “potenza $n$-esima”. Applichiamo la radice:
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n}{2n+1} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1}$$
Raccogliendo la $n$ dominante, il limite è $1/2$.
Poiché $l = 1/2 < 1$, la serie converge.
Esercizio 2: Divergenza con Limite Notevole
Consideriamo la serie:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}$$
Attenzione all’esponente $n^2$. Applicando la radice $n$-esima, l’esponente si riduce a $n$:
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$
Questo è esattamente il limite notevole che definisce il numero di Nepero $e \approx 2,718$.
Poiché $l = e > 1$, la serie diverge.
Esercizio 3: Il Caso Inefficace
Proviamo ad applicare il criterio alla serie armonica $\sum \frac{1}{n}$ (che sappiamo divergere) e alla serie armonica generalizzata $\sum \frac{1}{n^2}$ (che sappiamo convergere).
- Per $1/n$: $\lim \sqrt[n]{1/n} = \lim \frac{1}{n^{1/n}} = \frac{1}{1} = 1$.
- Per $1/n^2$: $\lim \sqrt[n]{1/n^2} = 1$.In entrambi i casi otteniamo 1, ma i destini delle serie sono opposti. Questo dimostra che se $l=1$, il criterio della radice va abbandonato.
Quando usare il Criterio della Radice?
Il mio consiglio per l’esame è di usare questo criterio quando:
- Il termine generale è tutto elevato alla $n$ o a una potenza che dipende da $n$ (es. $n^2$, $\sqrt{n}$).
- Sono presenti esponenziali forti (come $n^n$) che “mangiano” polinomi o fattoriali.
Se invece ti trovi davanti a frazioni di polinomi o logaritmi semplici, il confronto asintotico rimane la strada maestra.
Trafiletto Storico
Questo criterio è spesso attribuito al matematico francese Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), un gigante dell’analisi matematica.
Cauchy fu un ingegnere militare prima di diventare matematico e la sua ossessione per il rigore lo portò a riformulare l’intero calcolo infinitesimale.
Fu lui a pubblicare questo criterio nel suo celebre corso di analisi all’École Polytechnique di Parigi nel 1821, dando agli ingegneri dell’epoca uno strumento pratico per testare la stabilità delle serie.