LA FUNZIONE ESPONENZIALE

In questo articolo parliamo della funzione esponenziale, di come si costruisce e le sue proprietà.

LA FUNZIONE ESPONENZIALE

La funzione esponenziale è una funzione che presenta l’incognita all’esponente.

La forma più basilare di finzione esponenziale è la seguente:

Come la possiamo visualizzare graficamente?

LA BASE DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE

Prima di costruire la funzione esponenziale è importante fare una premessa che riguarda la base della funzione esponenziale.

La base della funzione esponenziale deve essere positiva e diversa da zero.

I valori plausibili che essa può assumere sono dunque quelli compresi tra lo zero e l’uno e quella maggiori di 1.

Per capirne il motivo vediamo cosa succede se attribuiamo alla funzione esponenziale una base negativa, nulla oppure unitaria.

BASI NEGATIVE 

Se attribuiamo alla base a un valore negativo ad esempio –2:

Ci rendiamo conto di questa cosa:

Se l’esponente x è un numero pari il valore dell’esponenziale è positivo.

Ad esempio:

Mentre se sostituiamo all’esponente x un numero dispari la potenza è negativa:

Quando sostituiamo alla x una frazione con denominatore pari l’esponenziale non esiste nei numeri reali:

Se sostituiamo invece una frazione con denominatore dispari esiste ed è negativo:

Quando sostituiamo in generale un numero reale irrazionale ci troviamo di fronte ad un dilemma amletico:

Consideriamo infatti come esponente il pi-greco.

Il numero pi-greco non può essere riscritto come nessun rapporto di numeri razionali, quindi non sapremo mai se il valore considerato esiste o non esiste:

La presenza di basi negative sembra non accordarsi quindi con esponenti reali ed è escluso quindi che possiamo anche solo pensare al dominio di una tal funzione:

BASE NULLA E BASE UNO

I casi della base nulla (=0) e della base unitaria (=1) non creano funzioni esponenziali ma solo funzioni costanti.

Se la base valesse zero infatti la funzione esponenziale si ridurrebbe alla funzione:

Mentre se la base valesse 1, la funzione esponenziale sarebbe la retta orizzontale:

COSTRUZIONE DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

Creiamo ora la nostra prima funzione esponenziale e prendiamo per comodità una base comoda maggiore di uno ad esempio 2.

La funzione che andiamo a costruire sarà dunque:

Possiamo anche scriverla con una notazione più completa:

Cominciamo a dare dei valori naturali all’esponente x e vediamo quali valori assume la nostra funzione:

Come si può notare al crescere dell’esponente i valori della funzione esponenziale crescono in maniera più che proporzionale.

Per questo si parla anche di crescita esponenziale.

Proseguiamo ora nei con dei numeri relativi negativi:

Se volessimo continuare con delle frazioni:

Come vediamo la funzione esponenziale non ha problemi di esponente poiché sono ammessi tutti gli esponenti reali.

Volendo potremmo anche calcolarci il valore di :

Se volessimo a spanne averne un valore approssimato siccome π è compreso tra il 3 e il 4, allora:

Sicuramente sarà più vicino all’8 dal momento che π è più vicino al 3 che al 4.

Potremmo quindi azzardare un valore molto simile al 10.

Se andiamo a fare i calcoli con la calcolatrice scopriamo che:

Avremmo fatto meglio a dire circa nove.

Andiamo ora a riportare i valori calcolati in una tabella:

Il secondo passo consiste nel rappresentare all’interno del piano cartesiano queste coppie di valori (x,y) come dei punti

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DOMINIO DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE

Il dominio della funzione esponenziale è rappresentato dai valori dell’esponente x.

Come già detto in precedenza l’esponente non presenta particolari ostacoli e può assumere un qualsiasi valori reali.

Il dominio D (campo di esistenza) della funzione esponenziale è perciò R

 ovvero sono ammissibili tutti i valori:

CODOMINIO DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE

Mentre l’esponente può assumere qualsiasi valore reale, il valore dell’esponenziale assume valori strettamente positivi.

Anche quando eleviamo la base ad un esponente negativo, essendo la base positiva) l’esponenziale da sempre come risultato un numero positivo.

Il codominio C, ovvero i valori assunti dalla funzione, risulta perciò vincolato ai soli reali positivi.

INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI

Essendo l’esponenziale sempre positivo la funzione si trova sempre al di sopra dell’asse x.

Pertanto non esistono intersezioni con questo asse.

Esiste invece una sola intersezione con l’asse delle y e si tratta del punto di coordinate:

Questo si verifica perché quando l’esponente vale zero il valore della potenza è 1.

Per qualsiasi base reale a che sia diversa da zero.

SEGNO DELLA FUNZIONE

Il segno della funzione esponenziale è sempre positivo, per qualsiasi valore assunto dall’esponente.

Questo si verifica perché abbiamo assunto che la base della funzione esponenziale deve essere positiva.

Elevando infatti un qualsiasi numero positivo ad un qualsiasi esponente reale il suo valore sarà sempre positivo nel campo dei numeri reali. 

Dal punto di vista geometrico la funzione si trova pertanto sempre al di sopra dell’asse x.

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LIMITI AGLI ESTREMI DEL DOMINIO 

Il dominio della funzione esponenziale è:

Pertanto i limiti che ci interessa studiare sono quelli verso gli infiniti.

Partiamo dal caso del più infinito:

Ci rendiamo conto seguendo la seguente sequenza:

Che a mano a mano l’esponente cresce anche la funzione esponenziale cresce.

Non è difficile vedere che la crescita dell’esponenziale è molto più forte rispetto alla crescita del suo esponente.

Nel caso della funzione:

 presa in esame ogni qual volta l’esponente cresce di una unità, questo porta ad un raddoppio del valore della potenza.

Se avessimo preso in esame la funzione:

Sarebbe triplicato.

È logico dunque pensare che quando la x tende all’infinito anche il valore dell’esponenziale tende all’infinito.

E che questo infinito sia di gran lunga più grande rispetto all’infinito delle x.

Passiamo ora al limite verso il meno infinito.

Osserviamo ancora questa sequenza:

A mano a mano che l’esponente diminuisce anche la funzione esponenziale diminuisce.

Questa volta si capisce subito però che l’esponenziale non va al meno infinito.

Ogni volta che l’esponente diminuisce di uno (nel caso considerato) la finzione dimezza il suo valore.

La serie dei numeri diventa sempre più piccola fino quasi ad annullarsi.

Concludiamo perciò che il limite per x che tende verso il meno infinito della funzione esponenziale con base maggiore di 1 tende allo zero.

LA BASE e

Tra le infinite basi ce possiamo dare ad una funzione esponenziale ve n’è una che merita una particolare attenzione.

Si tratta del numero di Nepero (o di Eulero), la costante e.

Il suo valore si aggira attorno a 2,71828…

Questo numero si calcola come il limite per  che tende ad infinito della somma tra 1 e 1/n tutta elevata alla n.

Per avvicinarvi molto a questo numero basta che prendiamo la nostra calcolatrice e digitiamo:

Questo numero ricopre un ruolo importantissimo nella matematica ed è collegato ai logaritmi naturali.

La funzione esponenziale con base  è:

Mostriamola sotto in figura:

FUNZIONI ESPONENZIALI A CONFRONTO

Vogliamo ora mettere a confronto quattro diversi tipi di funzione esponenziale con base maggiore di 1 per osservarne l’andamento.

Mi riferisco in particolare alle funzioni:

Andiamo quindi a rappresentarle nello stesso sistema cartesiano, che disegniamo con geogebra.

Notiamo che tutte le funzioni in questione passano per lo stesso punto:

Che è l’intersezione con l’asse delle x.

Dopo tutto lo abbiamo già ricordato più volte che:

In secondo luogo osserviamo che per i valori positivi delle ascisse (x>0) le funzioni con base maggiore tendono stanno più in alto delle altre.

In pratica crescono più velocemente al tendere ad infinito.

Possiamo anche dire che il loro infinito è più forte degli infiniti delle funzioni esponenziali con base minore.

Nella parte che precede lo zero (x<0) invece succede il contrario.

Le funzioni con base maggiore tendono a stare al di sotto di quelle con base minore.

Si  appiattisco più velocemente allo zero.

In questo senso hanno infinitesimi più forti.

FUNZIONI ESPONENZIALI CON BASE COMPRESA TRA 0 E 1

Quando la base della funzione esponenziale è maggiore di 1, la funzione risulta decrescente.

Prendiamo in esame il caso della funzione:

Possiamo anche scrivere questa funzione in virtù delle proprietà delle potenze come 2 elevato alla meno x.

Pertanto essa risulta graficamente simmetrica rispetto alla funzione:

 rispetto all’asse delle y.

Vediamole a confronto:

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