IL COSENO IPERBOLICO

Il coseno iperbolico è definito come la semi somma tra la funzione esponenziale e^x e la funzione esponenziale e^-x.

$$\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Viene definito iperbolico per via della relazione iperbolica che esiste tra il seno e il coseno iperbolico.

$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$

 che ricorda molto l’equazione dell’iperbole equilatera.

$$X^2-Y^2=1$$

GRAFICO E PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE COSENO IPERBOLICO

Mostriamo sotto il grafico della funzione coseno iperbolico ed elenchiamo sotto le principali proprietà

ESPLICITIAMO ALCUNE CARATTERISTICHE DEL COSENO IPERBOLICO

Andiamo ora ad esplicitare alcune caratteristiche che abbiamo elencato della funzione seno iperbolico.

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

Se vogliamo studiare l’intersezione con l’asse delle y mettiamo a sistema la funzione coseno iperbolico con la retta x=0

$$\begin{cases}f(x)=\cosh(x)\\x=0 \end{cases}$$

Dobbiamo dunque calcolare il valore della funzione se x=0

Ci rifacciamo perciò alla definizione stessa di coseno iperbolico

$$f(x)=\sinh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Dunque abbiamo che:

$$f(0)=\cosh(0)=\frac{e^0+e^{-0}}{2}=\frac{1+1}{2}=1$$

Dunque la funzione passa per l’origine (0,1) 

Determiniamo ora l’intersezione con l’asse delle x col seguente sistema

$$\begin{cases}f(x)=\cosh(x)\\f(x)=0 \end{cases}$$

Risolviamo perciò l’equazione

$$\cosh(x)=0$$

Ancora una volta rifacciamoci alla definizione

$$\frac{e^x+e^{-x}}{2}=0\ \to\ e^x+e^{-x}=0$$

L’equazione risulta impossibile, poiché una somma di esponenziali (quantità positive) non può essere nulla. 

Dunque la funzione non ammette intersezioni con l’asse x.

SEGNO DEL COSENO IPERBOLICO

Per studiare il segno della funzione coseno iperbolico impostiamo la seguente disequazione

$$\cosh(x)>0$$

Espandiamo la funzione

$$\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0\ \to\ e^x+e^{-x}>0$$

Ribaltiamo la potenza con esponente negativo 

$$e^x+\frac{1}{e^x}>0$$

La disequazione esponenziale risulta sempre verificata.

Dunque la funzione risulta sempre positiva in tutto il suo dominio.

DOMINIO, LIMITI E CODOMINIO DELLA FUNZIONE

Dall’equazione espansa della funzione coseno iperbolico

$$\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Ricaviamo immediatamente che il dominio è tutto R.

Questo dal momento che il suo dominio è quello della funzione esponenziale.

Dunque possiamo anche capire che è continua in tutto il dominio da –∞ a più ∞.

Passiamo ai limiti agli estremi del dominio

$$\begin{aligned}&\lim_{x\to-\infty}\cosh(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{-\infty}+e^{+\infty}}{2}=\frac{0+\infty}{2}=+\infty\\&\\&\lim_{x\to+\infty}\cosh(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{+\infty}+e^{-\infty}}{2}=\frac{+\infty+0}{2}=+\infty\end{aligned}$$

Dalle informazioni rilevate fino ad ora siamo in grado di stabilire il codominio della funzione coseno iperbolico di x:

$$C=(1,+\infty)$$

DERIVATA DELLA FUNZIONE SENO IPERBOLICO

Calcoliamo la derivata del coseno iperbolico

$$(\cosh(x))’=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)’=\frac{(e^x+e^{-x})’}{2}=\frac{e^x+(-e^{-x})}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

Questa ultima coincide proprio con la funzione seno iperbolico.

$$(\cosh(x)’=\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

INTEGRALE DELLA FUNZIONE SENO IPERBOLICO

La cosa veramente interessante è che la derivata del seno iperbolico coincide con il coseno iperbolico, infatti

$$\begin{aligned}&(\sinh(x))’=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)’=\frac{(e^x-e^{-x})’}{2}=\frac{e^x-(-e^{-x})}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\&\\&(\sinh(x))’=\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\end{aligned}$$

Ne deduciamo immediatamente che l’integrale del seno iperbolico deve essere per forza ancora il coseno iperbolico (ovviamente con la costante c) 

$$\int\cosh(x)\ dx=\sinh(x)+c$$

LIMITI NOTEVOLI 

Con la funzione seno iperbolico possiamo tranquillamente dimostrare il limite notevole per cui 

$$\lim_{x\to0}\frac{\cosh(x)-1}{x^2}=\frac{1}{2}$$

Per dimostrarlo espandiamo come al solito la funzione

$$\lim_{x\to0}\frac{\frac{e^x+e^{-x}-1}{2}}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{2x^2}=$$

Usiamo lo sviluppo di Taylor Mac-Laurin dell’esponenziale fino al secondo ordine

$$e^x+x+\frac{x^2}{2}\quad e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}$$

Dunque ritorniamo al limite

$$\lim_{x\to0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+1-x+\frac{x^2}{2}-2}{2x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$$

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FUNZIONE ARCOCOSENO IPERBOLICO  (INVERSA) 

La funzione inversa del coseno iperbolico è la funzione arcocoseno (o settore coseno) iperbolicodeterminata con le scritture

$$y=\cosh^{-1}(x)\quad\text{o}\quad y=\text{arccosh}(x)\quad\text{o}\quad y=\text{settcosh}(x)$$

Per calcolarne il valore dobbiamo risolvere un’equazione di secondo grado

Partiamo dall’equazione

$$\cosh y=x$$

Espandiamo secondo la definizione

$$\frac{e^y+e^{-y}}{2}=x$$

Raddoppiamo e scriviamo il reciproco della funzione esponenziale

$$e^y+\frac{1}{e^y}-2x=0$$

Moltiplichiamo per e^y

$$e^{2y}-2xe^y+1=0$$

Con una sostituzione in t trasformiamo in un’equazione di secondo grado

$$t^2-2xt+1=0$$

Applichiamo la formula risolutiva ridotta

$$t=x\pm\sqrt{x^2-1}$$

L’equazione ammette soluzione solamente quando il discriminante è positivo ovvero quando 

x^2-1>0\ \to\ x\le-1\ \lor\ x\ge1\ to\ x\ge1$$

Dal momento che x è una somma di esponenziali vale solo la zona x>=1

In tali condizioni le soluzioni risultano entrambe accettabili

$$e^y=x\pm\sqrt{x^2-1}$$

Eliminiamo l’esponenziale con il logaritmo naturale

$$y=\log\left(x\pm\sqrt{x^2-1}\right)$$

Tuttavia per creare una funzione dobbiamo avere una relazione univoca dalla x verso la y.

Si è deciso perciò di considerare come zona di relazione binivoca nella funzione coseno iperlico di x da invertire l’intervallo (0,+∞).

In tale zona la relativa funzione inversa è:

$$y=\cosh(x)=\log\left(x\pm\sqrt{x^2-1}\right)$$

RELAZIONE FONDAMENTALE E IPERBOLE EQUILATERA

La relazione fondamentale iperbolica ci dice che la differenza tra il quadrato del coseno iperbolico e del seno iperbolico vale 1

$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$

Il modo certamente più intuitivo di rappresentare questa relazione è tramite il classicoteorema di Pitagora dove abbiamo un triangolo rettangolo con cateti sinh(x) e 1 ed ipotenusa pari a cosh(x) 

In questo caso meglio riscriverla così

$$\sinh^2(x)+1=\cosh^2(x)$$

Per dimostrare questa relazione:

$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$

basta espandere le funzioni

$$\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2=$$

Sviluppiamo i quadrati di binomio ed espandiamo

$$\begin{aligned}&\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\\&\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}=\frac{4}{4}=1\end{aligned}$$

Se ripartiamo dalla relazione fondamentale

$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$

 ed operiamo una semplice sostituzione (cambio di variabili) 

$$X=\cosh(x)\quad Y=\sinh(x)$$

Otteniamo esattamente l’equazione dell’iperbole equilatera.

$$X^2-Y^2=1$$

Non possiamo non notare la somiglianza alla relazione fondamentale della goniometria dove

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$

 che diventa con le stesse sostituzioni l’equazione della circonferenza goniometrica.

$$X^2+Y^2=1$$

Nel grafico possiamo apprezzare maggiormente il contrasto tra queste relazioni a confronto

FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, BISEZIONE E PARAMETRICHE 

Possiamo considerare la “goniometria iperbolica” come un’espansione della goniometria tradizione.

Dunque non mancano all’interno delle funzione iperboliche le formule di :

• Addizione e sottrazione
• Duplicazione e bisezione 
• Parametriche 

Andiamo ad elencarle sotto 

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

$$\begin{aligned}&\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\\&\\&\cosh(x-y)=\cosh(x)\cosh(y)-\sinh(x)\sinh(y)\end{aligned}$$

FORMULE DI DUPLICAZIONE E BISEZIONE

$$\begin{aligned}&\cosh(2x)=\cosh^2(x)+\sinh^2(x)\\&\\&\cosh\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{\cosh(x)+1}{2}}\end{aligned}$$

FORMULE PARAMETRICHE

$$\cosh(x)=\frac{1+\tanh^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1-\tanh^2\left(\frac{x}{2}\right)}$$

Sicuramente state pensando all’estrema somiglianza che esiste tra le formule suddette e le tradizionali formule della goniometria.

Per esaltarne ancora di più questo aspetto riportiamole a confronto nella tabella sottostante

FORMULE DI PROSTAFERESI E WERNER

Già che ci siamo spendiamo ancora un po’ di tempo per fare un confronto tra goniometria classica e “goniometria iperbolica” circa le temutissime e odiatissime formule di Prostaferesi e di Werner

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SVILUPPO DI TAYLOR DEL COSENO IPERBOLICO 

Lo sviluppo di Taylor – Maclaurin del seno iperbolico ricorda ancora una volta quello del coseno tradizionale che ricordiamo essere:

$$\sin(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^k\cdot\frac{x^{2k}}{(2k)!}$$

Passare allo sviluppo di Taylor del coseno iperbolico il passo è veramente molto breve.

Ci basta infatti mettere tutti i segni positivi!

$$\sin(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{x^{2k}}{(2k)!}$$

UTILITÀ DEL SENO IPERBOLICO CON GLI INTEGRALI

Grazie al concetto di seno iperbolico (e funzioni iperboliche in generale) è possibile risolvere alcuni tipi di integrali molto specifici del tipo:

$$\int\sqrt{x^2-k^2}dx\quad\int\frac{1}{\sqrt{x^2-k^2}}dx$$

Proviamo ad esempio a risolvere il seguente integrale

$$\int\sqrt{x^2-4}dx$$

Raccogliamo 4 all’interno del radicale e portiamo lo fuori

$$\int\sqrt{4\left(\frac{x^2}{4}-1\right)}dx=2\int\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2-1}dx$$

Poniamo ora la seguente sostituzione col coseno iperbolico e lavoriamo sui differenziali

$$\frac{x}{2}=\cosh(t)\ \to\ 2\cosh(t)\ \to\ dx=2\sinh(t)\ dt$$

D’altro canto possiamo anche ricavare il valore di t in funzione della x

$$\cosh(t)=\frac{x}{2}\ \to\ t=\cosh^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$$

Ora passiamo alla vera e propria sostituzione

$$\begin{aligned}&2\int\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2-1}dx=\\&\\&2\int\sqrt{\cosh^2(t)-1}\ 2\sinh(t)dt\end{aligned}$$

Per la relazione fondamentale della “goniometria iperbolica” sappiamo che

$$\cosh^2(t)-1=\cosh^2(t)$$

Dunque riprendiamo l’integrale e spostiamo fuori le costanti

$$\begin{aligned}&4\int\sqrt{\sinh^2(t)}\ \sinh(t)dt=\\&4\int\sinh(t)\ \sinh(t)dt=\\&4\int\sinh^2(t)dt=\end{aligned}$$

Arrivati a questo punto ci viene in soccorso la formula di bisezione del seno iperbolico che ci dice che

$$\sinh^2(t)dt=\frac{\cosh(2t)-1}{2}$$

Dunque sostituendo 

$$4\int\frac{\cosh(2t)-1}{2}dt=2\int\left(\cosh(2t)-1\right)dt=$$

A questo punto possiamo integrare

$$2\left(\frac{1}{2}\sinh(2t)-t\right)+c$$

Usiamo la formula di duplicazione del seno iperbolico

$$\begin{aligned}&2\left(\frac{1}{2}\left(2\sinh(t)\cosh(t)\right)-t\right)+c=\\&\\&2\left(\sinh(t)\cosh(t)-t\right)\end{aligned}$$

Ora rimettiamo tutto con la lettera x e il giuoco è fatto 

$$2\left(\frac{x}{2}\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}-\cosh^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)+c=$$

Possiamo ancora rendere la soluzione un po’ più bella esteticamente

$$\frac{x}{2}\sqrt{x^2+4}-2\cosh^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+c=$$

Volendo potremmo anche esplicitare la funzione inversa del seno iperbolico 

$$\frac{x}{2}\sqrt{x^2+4}-2\log\left(\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{4}-1}\right)+c=$$

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