INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

Il metodo di risoluzione degli integrali per sostituzione si usa per trasformare una forma composta in una forma elementare.

Lo scopo finale di questa operazione è rendere semplice qualche cosa che semplice non è(oppure non sembra).

PREMESSA IMPORTANTE

Premettiamo che questo metodo è applicabile in moltissime situazioni.

Alcune volte le sostituzioni possono sembrare ovvie e banali, mentre altre volte risultano del tutto inaspettate e apparentemente prive di significato (specialmente quando c’è in ballo la trigonometria).

Presento un paio di strategie maggiormente utilizzate.

Non fate caso ai numeri delle strategie che sono puramente indicativi

Se leggendole la prima volta vi capita di non capirci niente non preoccupatevi!

Prima che l’effetto delle parole scritte possa colpire la vostra mente servono almeno dai 5 ai 10 esempi per ogni strategia.

Dunque date pure una leggera lettura a quanto scritto sotto e poi attaccate con 5 esercizi semplici e vedrete che almeno la strategia 1 sarà compresa.

Con altri 5 esercizi anche la strategia 2 potrebbe essere compresa.

Ovviamente se dieci esercizi non bastano a comprendere l’argomento vi consiglio di farne altri dieci

TRE STRATEGIE PER L’INTEGRAZIONE CON SOSTITUZIONE

Presentiamo ora le tre strategie più comuni quando si opera con l’integrale per parti

STRATEGIA 1 – SOSTITUZIONE ELEMENTARE

Supponiamo di trovarci di fronte all’integrale di una funzione composta f(g(x))

$$ \int f\left(g(x)\right)\ dx =???$$

Il primo passo potrebbe essere quello di sostituire g(x) con una variabile t

$$ t=g(x) $$

Il secondo passaggio logico da pensare è quello che va sostituito anche il differenziale dx  in funzione di del differenziale dt

Dobbiamo però pensare che tali differenziali 

Se ci va bene (che in matematica può far ridere) deriviamo a sinistra e a destra dell’uguale e moltiplichiamo per i rispettivi differenziali

$$ t= g(x) \to (t)’\ dt= \left(g(x)\right)’\ dx \to dt= \left(g(x)\right)’\ dx $$

Questo metodo è perfetto se stiamo integrando la derivata di una funzione composta, ovvero se abbiamo un integrale del tipo:

$$ \int f\left(g(x)\right) g'(x) dx= \int f(t)\ dt$$

STRATEGIA 2 – SOSTITUZIONE ELEMENTARE CON FUNZIONE INVERSA

In alternativa possiamo sempre usare un metodo più generale, valida proprio per una forma di integrale del tipo

$$ \int f\left(g(x)\right)\ dx = ???$$

Prima ricaviamo la x in funzione della t (con la funzione inversa g^-1)

$$ t=g(x) \to x=g^{-1}(t) $$

Poi facciamo la stessa operazione : deriviamo e moltiplichiamo per i rispettivi differenziali

$$ t=g(x) \to x=g^{-1}(t) \to (x)’\ dx= \left(g^{-1}(t)\right)\ dt \to dx=\left(g^{-1}(t)\right)\ dt $$

A questo punto l’integrale di partenza diventa

$$ \int f\left(g(x)\right)\ dx =\int f(t)\left(g^{-1}(t)\right)\ dt= \cdots$$

STRATEGIA 3 – SOSTITUZIONE COMPOSTA DI FUNZIONE COMPOSTA

In alternativa possiamo sempre usare un metodo più generale, valida proprio per una forma di integrale del tipo

$$ \int f\left(g(x)\right)\ dx =???$$

Sostituiamo la funzione g(x) (o anche semplicemente la x) con una funzione y(t) 

$$ y(t)= g(x) $$

Poi facciamo il giochetto delle derivate e dei differenziali

$$ y(t)= g(x) \to y'(t)\ dt=g'(x)\ dx$$

Successivamente possiamo provare a sostituire i valori oppure a ricavare la  x in funzione della y.

Prima di vedere la soluzione potremo anche vedere i sorci verdi

AVANTI CON LA PRATICA DEGLI INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

Tutte quelle strategie che avete letto dovrebbero servire come orientamento di una strategia ma all’inizio tendono un po’ a confondere le idee e a destabilizzare le certezze.

Quindi prima di rileggerle tiriamo il fiato con qualche esercizio

ESERCIZIO 1 – INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

$$ \large \frac{1+e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ dx$$

Un primo modo per risolvere questo integrale per sostituzione è chiamare t la radice di x

$$ t= \sqrt{x}$$

In questo modo andiamo a derivare entrambi i termini ponendo i rispettivi differenziali

$$ t=\sqrt{x}\to (t)’\ dt= (\sqrt{x})’\ dx\to dt= \frac{1}{2\sqrt{x}}\ dx$$

Il testo di partenza può essere riscritto anche così:

$$ \frac{1+e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ dx= \int\left(1+e^\sqrt{x}\right)\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Dividendo all’interno dell’integrale per 2 e moltiplicando per 2 all’esterno possiamo scrivere:

$$\color{red}{2}\int\left(1+e^\sqrt{x}\right)\frac{1}{\color{red}{2}\sqrt{x}}$$

A questo punto possiamo usare i risultati delle sostituzioni:

$$2\int\left(1+e^\sqrt{x}\right)\frac{1}{2\sqrt{x}} \overset{\begin{cases} t=\sqrt{x}\\ dt= \frac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \end{cases}}{\longrightarrow} 2\int(1+e^t)\ dt$$

Risulta quindi l’integrale di una somma di elementi molto semplice

$$ 2\int(1+e^t)\ dt= 2(t+e^t)+c$$

Risostituendo in x otteniamo l’integrale finale

$$ \frac{1+e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ dx = 2\left(\sqrt{x}+e^\sqrt{x}\right) +c$$

ESERCIZIO 1 – VARIANTE

$$ \large \frac{1+e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ dx$$

Un secondo modo per risolvere questo integrale per sostituzione parte sempre con la stessa sostituzione: chiamare t la radice di x

$$ t= \sqrt{x}$$

A questo punto ricaviamo la x in funzione della t elevando alla seconda

$$ t= \sqrt{x}\to x=t^2$$

Usiamo dunque il giochetto delle derivate e dei differenziali

$$ t= \sqrt{x}\to x=t^2\to (x)’\ dx= (t^2)’\ dt\to dx= 2t\ dt$$

Ora sostituiamo nel testo di partenza questi risultati

$$ \frac{1+e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ dx= \int\frac{1+e^t}{t}2t\ dt$$

Semplificando riotteniamo ancora una volta lo stesso risultato del primo metodo.

$$ 2\int(1+e^t)\ dt= 2(t+e^t)+c$$

Risostituendo in x otteniamo l’integrale finale

$$ \frac{1+e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ dx = 2\left(\sqrt{x}+e^\sqrt{x}\right) +c$$

ESERCIZIO 2 – INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

$$ \large \int\frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}\ dx$$

Proviamo con la seguente sostituzione: chiamiamo t la differenza tra 1 il coseno di x:

$$t=1-\cos x$$

Ragioniamo subito sulle derivate e i differenziali: con la derivata del coseno di x arriviamo alla funzione seno di x:

$$t=1-\cos x\to (t)’\ dt= (1-\cos x)’\ dx \to dt=\sin x\ dx$$

Notiamo subito che possiamo immediatamente sostituire questi risultato nel testo cancellando ogni traccia della x.

$$ \int\frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}\ dx \overset{\begin{cases} t=1-\cos x\\ dt= \sin x\ dx \end{cases}}{\longrightarrow} = \int\frac{dt}{\sqrt{t}}$$

Possiamo ora riscrivere la radice al denominatore come una potenza ed integrare di conseguenza

$$ \int\frac{dt}{\sqrt{t}}=\int t^{-\frac{1}{2}}\ dt = \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}= \frac{t^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+c= 2\sqrt{t}+c$$

Infine non ci resta che sostituire. Dunque ricapitolando

$$ \int\frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}\ dx= 2\sqrt{1-\cos x}+c$$

ESERCIZIO 3 – 

$$\large \int\frac{1+2\tan^{-1}x}{x^2+1}\ dx \\ \ \\ (\tan^{-1}x\ \text{ è la funzione }\ \arctan x) $$

Cominciamo con lo spezzare l’integrale nella somma di due integrali

$$ \int\frac{1+2\tan{-1}x}{x^2+1}\ dx = \int\frac{1}{1+x^2}\ dx +2\int\frac{\tan^{-1}}{x^2+1}\ dx$$

Il primo risulta un integrale immediato:

$$ \int\frac{1}{1+x^2}\ dx = \tan^{-1}x +c$$

Mentre nel secondo integrale operiamo la seguente sostituzione

$$ \int\frac{\tan^{-1}x}{x^2+1}\ dx$$

Ricaviamo dunque il valore della x imponendo la funzione tangente su entrambi i membri (la tangente è la funzione inversa dell’arcotangente)

$$ \tan^{-1}x = t \to x=\tan t $$

Ragioniamo quindi sulle derivate e i differenziali

$$ \tan^{-1}x = t \to x=\tan t \to dx=(1+\tan^2t)\ dt$$

Dunque ora sostituiamo:

$$ \int\frac{\tan^{-1}x}{x^2+1}\ dx= \int\frac{t}{\tan^2t+1}(1+\tan^2t)\ dt= \int t\ dt= \frac{t^2}{2}+c$$

Sostituendo abbiamo che:

$$ \int\frac{\tan^{-1}x}{x^2+1}\ dx=\frac{\left(\tan^{-1}x\right)^2}{2}+c$$

Mettiamo dunque insieme tutti i risultati

$$ \int\frac{1+2\tan{-1}x}{x^2+1}\ dx =\tan^{-1}x +2\frac{\left(\tan^{-1}x\right)^2}{2}+c= \left(\tan^{-1}x\right)^2+\tan^{-1}x+c$$

ESERCIZIO 4 – INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

$$ \large \int\frac{1}{x+\sqrt{x}}\ dx$$

Sostituiamo la t al posto della radice di x e ricaviamo conseguentemente la x in funzione di t

$$ t= \sqrt{x}\to x=t^2 $$

Ragioniamo quindi sulle derivate e i differenziali

$$ t= \sqrt{x}\to x=t^2 \to dx=2t\ dt$$

Dunque ora sostituiamo:

$$ \int\frac{1}{x+\sqrt{x}}\ dx= \int\frac{2t}{t^2+t}\ dt$$

Raccogliamo la t al denominatore e semplifichiamo

$$ 2\int\frac{t}{t(t+1)}\ dt= 2\int\frac{1}{t+1}\ dt+c$$

A questo punto per integrare usiamo la regola del logaritmo, dal momento che abbiamo una frazione che presenta al numeratore la derivata del denominatore

$$ 2\int\frac{1}{t+1}\ dt+c= 2\log|t+1|+c$$

Non ci resta infine che sostituire

$$ 2\log|t+1|+c = 2\log\left|\sqrt{x}+1\right|+c$$

Ricapitolando:

$$ \int\frac{1}{x+\sqrt{x}}\ dx=2\log\left|\sqrt{x}+1\right|+c$$

Sicuramente un buon modo per verificare se il risultato è corretto è quello di calcolare la derivata dell’integrale ottenuto.

ESERCIZIO 5 – 

$$\large \int\frac{x+3}{\sqrt{x+2}}\ dx$$

Sostituiamo la t al posto della radice di x+2 e ricaviamo conseguentemente la x in funzione di t

$$ t=\sqrt{x+2}\to x+2=t^2\to x=t^2-2$$

Ragioniamo quindi sulle derivate e i differenziali

$$ x=t^2-2\to dx=2t\ dt$$

Dunque ora sostituiamo:

$$\int\frac{x+3}{\sqrt{x+2}}\ dx= \int\frac{t^2-2+3}{t}= \int\frac{t^2+1}{t}2t\ dt$$

Semplifichiamo la t e spostiamo fuori la costante

$$ \int\frac{t^2+1}{t}2t\ dt= 2\int(t^2+1)\ dt$$

Calcoliamo quindi due integrali elementari

$$ 2\int(t^2+1)\ dt= \left( \frac{t^3}{3}+t\right) = \frac{2}{3}t(t^2+3)$$

Infine passiamo alla sostituzione, ricapitolando

$$\int\frac{x+3}{\sqrt{x+2}}\ dx=\frac{2}{3}\sqrt{x+2}(x+3+2)+c$$

ESERCIZIO 6 – INTEGRALE DI 1 FRATTO SEN X

$$ \large \int\frac{1}{\sin x}\ dx$$

In questo caso potremo veramente passare ore e ore a tentare di risolvere questo integrale per sostituzione senza avere successo.

La strada da seguire nella ricerca della soluzione non è sempre così intuiva.

Il ragionamento corretto è usare le formule parametriche riscrivendo il valore del seno di x in funzione della tangente di x/2

$$ \sin x= \frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}$$

Dunque possiamo riscrivere il ostro integrale come segue:

$$\int\frac{1}{\sin x}\ dx= \int\frac{1}{\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}}\ dx= \int\frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{2\tan\frac{x}{2}}\ dx$$

Provvediamo la sostituzione dove chiamiamo t la tangente di x/2

$$ t=\tan\frac{x}{2}$$

Conseguentemente i differenziali e le derivate risultano

$$ t=\tan\frac{x}{2}\to dt=\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\frac{x}{2}\right)\ dx$$

Questo risultato ci va super bene da sostituire poiché toglie automaticamente ogni traccia della x e ci fa giungere ad un integrale elementare in t

$$ \int\frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{2\tan\frac{x}{2}}\ dx= \int\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\frac{x}{2}\right)\ dx=\int\frac{1}{t}\ dt=\log|t|+c$$

Risostituendo abbiamo la nostra soluzione

$$ \frac{1}{\sin x}\ dx=\log\left|\tan\frac{x}{2}\right|+c$$

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ESERCIZIO 6 – VARIANTE

$$ \large \int \frac{1}{\sin x}\ dx$$

Vediamo una valida alternativa allo sviluppo precedente

Partiamo nello stesso modo con la formula parametrica riscrivendo il valore del seno di x in funzione della tangente di x/2

$$ \sin x= \frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}$$

Dunque possiamo riscrivere il ostro integrale come segue:

$$\int\frac{1}{\sin x}\ dx= \int\frac{1}{\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}}\ dx= \int\frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{2\tan\frac{x}{2}}\ dx$$

Provvediamo la sostituzione dove chiamiamo t la tangente di x/2

$$ t=\tan\frac{x}{2}$$

Qui avviene il cambiamento.

Possiamo ricavare la x in funzione della t e ragionare sulle derivate e i differenziali

$$ t=\tan\frac{x}{2}\to x=2\tan^{-1}t\to dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt $$

Passiamo dunque alla sostituzione

$$ \int\frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{2\tan\frac{x}{2}}\ dx=\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt=\int\frac{1}{t}\ dt=\log|t|+c$$

In definitiva con la risostituzione in x abbiamo che

$$ \frac{1}{\sin x}\ dx=\log\left|\tan\frac{x}{2}\right|+c$$

ESERCIZIO 7- INTEGRALE DI 1 FRATTO COS X

$$ \large \int\frac{1}{\cos x}\ dx$$

Il ragionamento è pressoché identico a quello visto sopra.

Diciamo che fino alla sostituzione è tutto come prima 

Usiamo le formule parametriche per riscrivere il valore del coseno in funzione della tangente di x/2

$$ \sin x= \frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}$$

Dunque possiamo riscrivere il ostro integrale come segue:

$$\int\frac{1}{\sin x}\ dx= \int\frac{1}{\frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}}\ dx= \int\frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}\ dx$$

Provvediamo la sostituzione dove chiamiamo t la tangente di x/2

$$ t=\tan\frac{x}{2}$$

Possiamo ricavare la x in funzione della t e ragionare sulle derivate e i differenziali

$$ t=\tan\frac{x}{2}\to x=2\tan^{-1}t\to dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt $$

Passiamo dunque alla sostituzione

$$ \int\frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}\ dx= \int\frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt= 2\int\frac{1}{1-t^2}\ dt$$

Per risolvere l’integrale dobbiamo applicare il metodo per risolvere gli integrali di frazioni polinomiali.

Scomponiamo il denominatore e dobbiamo trovare i due numeratori A e B delle frazioni con denominatore di primo grado.

Lavoriamo perciò unicamente sulla frazione algebrica

$$ \frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{A}{1+t}+\frac{B}{1-t}$$

Facendo il denominatore comune ed eguagliando i numeratori otteniamo

$$1=A(1-t)+B(1+t)$$

Che possiamo riscrivere meglio così:

$$0t+1=(-A+B)t+(A+B)$$

Eguagliando i coefficienti di t con rispettivo grado passiamo per la risoluzione di una sistema lineare in due equazioni e due incognite

$$ \begin{cases} -A+B=0\\ A+B=1 \end{cases}$$

Applicando ad esempio il metodo dei determinanti perveniamo alle soluzioni del sistema lineare

$$ A=\frac{\left| \begin{array}{c} 0&1\\ 1&1 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} -1&1\\ 1&1\end{array} \right|}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2} \\ B=\frac{\left| \begin{array}{c} -1&0\\ 1&1 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} -1&1\\ 1&1\end{array} \right|}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2} $$

Dunque la frazione in oggetto può essere riscritta in questo modo

$$ \frac{1}{1-t^2}= \frac{1}{(1+t)(1-t)}= \frac{\frac{1}{2}}{1+t}+\frac{\frac{1}{2}}{1-t}$$

Riscriviamo a sua volta l’integrale in t:

$$2\int\frac{1}{1-t^2}\ dt= 2\left( \int\frac{\frac{1}{2}}{1+t}\ dt+\int\frac{\frac{1}{2}}{1-t}\ dt\right)$$

Raccogliendo il fattore comune 1/2 e trasportandolo di fuori dalla parentesi abbiamo

$$ 2\cdot\frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{1+t}\ dt+\int\frac{1}{1-t}\ dt\right)=$$

Per ottenere nella seconda frazione al numeratore la derivata del denominatore moltiplichiamo dentro e fuori dall’integrale per –1

$$ 2\cdot\frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{1+t}\ dt-\int\frac{-1}{1-t}\ dt\right)=$$

Semplifichiamo i 2 fuori dalla parentesi ed osserviamo che le frazioni da integrale hanno al numeratore la derivata del denominatore.

Il che ci conduce alla regola dei logaritmi:

$$ \int\frac{f'(t)}{f(t)}\ dt= \log\left|f(t)\right|+c$$

Applichiamola:

$$ \int\frac{1}{1+t}\ dt-\int\frac{-1}{1-t}\ dt= \log|1+t|-\log|1-t|+c$$

Che possiamo riscrivere meglio in questo modo:

$$ \log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+c $$

Quindi in via definitiva risostituiamo al posto della t il valore della tan(x/2) 

ESERCIZIO 8 – INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

$$ \large \int\sin^2x\cos^3x\ dx$$

Chiamiamo  t il seno di x

$$ t=\sin x$$

Ricaviamo a questo punto il valore di x in funzione di t con l’operazione di arcoseno (sin^-1) e ragioniamo sui differenziali

$$ t=\sin x\to x=\sin^{-1}t\to dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\ dt$$

Ricordiamo che dalla sostituzione del seno possiamo ricavare anche il coseno di x in funzione di t

$$ \cos x= \sqrt{1-\sin^2x}= \sqrt{1-t^2}$$

Passiamo dunque alla sostituzione

$$\int\sin^2x\cos^3x\ dx= \int t^2\sqrt{(1-t^2)^3}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$

Applichiamo la proprietà del portare fuori dei radicali

$$\int t^2(1-t^2)\sqrt{1-t^2}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}= \int t^2(1-t^2)\ dt$$

Svolgiamo i calcoli e integriamo:

$$\int(t^2-t^4)\ dt= \frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+c$$

Ora non dobbiamo far altro che sostituire il seno di x al posto della t

$$\int\sin^2x\cos^3x\ dx=\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+c$$

ESERCIZIO 9

Vediamo un caso di integrale risolto per sostituzione un po’ atipico 

$$ \large \int\sqrt{x^2-25}\ dx$$

Un modo per risolvere la questione è fare la seguente sostituzione (in apparenza un po’ strana)

$$ t=x+\sqrt{x^2-25}$$

Al fine di ricavare la x in funzione della t isoliamo il radicale ed eleviamo al quadrato

$$ \begin{array}{l} t-x=\sqrt{x^2-25} \\ (t-x)^2=x^2-25\\ t^2-2tx+x^2=x^2-25\\ 2tx=t^2+25\\ x=\large \frac{t^2+25}{2t} \end{array}$$

Ragioniamo adesso sul differenziale della x

$$ \begin{array}{l} dx=\large{\left(\frac{t^2+25}{2t}\right)’}\ \normalsize dt= \large\frac{(2t)(2t)-2(t^2+25)}{(2t)^2}\ \normalsize dt\\ dx=\large \frac{4t^2-2t^2-50}{4t^2}\ \normalsize dt=\large \frac{2t^2-50}{4t^2}\ \normalsize dt=\large \frac{2t^2-25}{2t^2}\ \normalsize dt \end{array}$$

Andiamo ora dunque a sostituire passo a passo

$$ \begin{array}{l} \int \sqrt{x^2-25}\ dx= \int(t-x)\ dx=\large \int\left(\normalsize t-\large\frac{t^2+25}{2t}\right) \normalsize dt \end{array}$$

Concentriamo la nostra attenzione sul calcolo dell’integrale.

Al numeratore della frazione svolgiamo il quadrato di binomio, pii spezziamo la frazione in tre frazioni e le integriamo una ad una

$$ \begin{array}{l} \large \int\frac{(t^2-25)^2}{t^3}= \int\frac{t^4-50t^2+625}{t^3}\normalsize dt= \\ \large\int\left(\normalsize t-\large\frac{50}{t}\normalsize +\large\frac{625}{t^3}\right)\normalsize dt=\large\frac{t^2}{2}\normalsize -50\log|t|-\large\frac{625}{2t^2}\normalsize +c \end{array}$$

Ricordiamo che tutto questo risultato è moltiplicato per 1/4

$$ \begin{array}{l} \large\frac{1}{4}\left(\frac{t^2}{2}\normalsize-50\log|t|-\large\frac{625}{2t^2}\right)\normalsize+c \\ =\large \frac{t^2}{8}\normalsize-\large\frac{25}{4}\normalsize\log|t|-\large\frac{625}{8t^2}\normalsize+c\end{array}$$

Ora ricordiamoci di mettere alla fine il valore della t in x

t=x+\sqrt{x^2-25}$$

Dunque in definitiva il nostro integrale vale:

$$ \int\sqrt{x^2-25}\ dx= \\ \frac{(x+\sqrt{x^2-25})^2}{8} -\frac{25}{4}\log \left|x-\sqrt{x^2-25}\right|-\frac{625}{8}\frac{1}{x+\sqrt{x^2-25}}$$

Questo era bello tosto!!!

ESERCIZIO 10

Vediamo ancora un caso molto particolare che ha per oggetto una sostituzione goniometrica

$$ \int\sqrt{36-4x^2}\ dx$$

Cominciamo raccogliendo il 36 all’interno dal radicale e portandolo fuori (sotto radice) 

$$\int\sqrt{36\left(1-\frac{x^2}{9}\right)}\ dx= 6\int\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}\ dx$$

Ora chiamiamo la terza parte di x con il nome di sint e facciamo i ragionamenti sui differenziali

$$ \sin t=\frac{x}{3}\to x=3\sin t\to dx=3\cos t\ dt$$

Passiamo ora alla sostituzione in t

$$ 6\int\sqrt{1-\sin^2t}\cdot 3\cos t\ dt$$

Portiamo fuori il 3 (che moltiplichiamo per il 6) 

Dalla relazione fondamentale della trigonometria sappiamo inoltre che

$$ 1-\sin^2t=\cos^2t$$

Dunque:

$$ \sqrt{1-\sin^2t}=\sqrt{\cos^2t}=\cos t$$

Quindi per i momento il nostro testo diventa:

$$ 18\int\cos t\cos t\ dt=18\int\cos^2t\ dt$$

Ricordiamo sempre dalle relazioni goniometriche che una della formule per la duplicazione del coseno è:

$$\cos 2t=2\cos^2t-1\to \cos^2t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$

Quindi riscriviamo l’integrale in questo modo:

$$ 18\int\frac{1+\cos2t}{2}\ dt= 9\int(1+\cos2t)\ dt$$

Focalizziamoci ora sui calcoli dell’integrale (non dimentichiamo il 9 alla fine!) 

Spezziamo l’integrale in una somma:

$$ \int(1+\cos2t)\ dt) \int1\ dt+\int\cos2t\ dt$$

Il primo integrale è immediato dal momento che sappiamo benissimo che

$$\int1\ dt=t+c$$

A questo punto ricordiamo la regola di integrazione che riguarda il seno di una funzione composta:

$$\int\cos\left(f(t)\right) \cdot f'(t)\ dt= \sin\left(f(t)\right)+c$$

Nel secondo integrale andiamo dunque a moltiplicare internamente per 2 (derivata dell’argomento) all’integrale e dividendo per 2 all’esterno pervenendo alla regola composta

$$ \int\cos2t\ dt= \color{blue}{\frac{1}{2}}\int\color{blue}{2}\cos2t\ dt=\frac{1}{2}\sin 2t+c$$

Sappiamo inoltre per la formula di duplicazione del seno che:

$$\sin2t=2\sin t\cos t$$

Quindi questa seconda parte di integrale diventa:

$$ \int\cos2t\ dt=\frac{1}{2}2\sin t\cos t+c=\sin t\cos t+c$$

Mettiamo dunque assieme tutto quanto 

$$ 9\int(1+\cos2t)\ dt= 9(t+\sin t\cos t)+c$$

Ora ricordiamoci della sostituzione principale

$$ \sin t= \frac{x}{3}$$

Da questa possiamo ricavare sia il valore di t con l’arcoseno (sin^-1) sia il valore del coseno di t

$$ \sin t=\frac{x}{3}\to \sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)\\ \ \\ \cos t=\sqrt{1-\sin^2t}=\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}=\frac{1}{2}\sqrt{9-x^2}$$

Dunque avremo che:

$$ \int\sqrt{36-4x^2}\ dx= \\ \ \\ 9\left(\sin{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+\frac{x}{3}\cdot\frac{1}{3}\sqrt{9-x^2}\right)= 9\sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+x\sqrt{9-x^2}+c$$

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