Le equazioni differenziali a variabili separabili sono equazioni differenziali del primo ordine che si presentano nel seguente modo
$$y’=f(x)\ g(x)$$
La derivata prima della nostra funzione y incognita è il prodotto di una certa funzione in x f(x) per una certa funzione in y g(x)
Per risolvere questo tipo di equazione dobbiamo separare le incognite x e y.
In particolare riscriviamo la funzione derivata di y come un rapporto di quantità infinitesime dy/dx
$$\frac{dy}{dx}=f(x)\ g(x)$$
A questo punto separiamo le variabili ovvero spostiamo tutte le y sul lato sinistro
$$\frac{dy}{g(x)}=f(x)\ dx$$
Ora possiamo integrare entrambi i termini
$$\frac{dy}{g(y)}=\int\ f(x)\ dx$$
Sviluppando entrami gli integrali e facendo qualche passaggio otteniamo la soluzione generale all’equazione differenziale a variabili separabili.
ESEMPI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIBILI SEPARABILI
Sembra più complicato a dirsi che a farsi.
Vediamo dunque qualche esempio per lo svolgimento delle equazioni differenziali a variabili separabili
ESEMPIO 1 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI
Consideriamo la seguente equazione differenziale del primo ordine
$$y’=\frac{x}{1+x^2}y^2$$
Riscriviamo la derivata y’ come un rapporto di quantità infinitesime dy/dx
$$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1+x^2}y^2$$
Separiamo le variabili: tutte le y a sinistra e tutte le x a destra
$$\frac{dy}{y^2}=\frac{x}{1+x^2}\ dx$$
Integriamo ora entrambi i termini dell’equazione
$$\int\frac{dy}{y^2}=\int\frac{x}{1+x^2}\ dx$$
Sul lato sinistro dell’equazione possiamo riscrivere una potenza di y con esponente negativo ed integrare con la regola della potenza
$$\int y^{-2}\ dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}$$
Da notare che non abbiamo messo la costante integrativa poiché la possiamo mettere sul lato destro
Integriamo ora il lato destro dell’equazione in x
$$\int\frac{x}{1+x^2}\ dx$$
Ci accorgiamo che la derivata del numeratore è pari a 2x, perciò moltiplichiamo per 2 la frazione e bilanciamo dividendo per 2 all’esterno dell’integrale.
$$\color{blue}{\frac{1}{2}}\int\frac{\color{blue}{2}x}{1+x^2}\ dx$$
In tal modo finiamo nella regola del logaritmo
$$\frac{1}{2}\int\frac{2x}{1+x^2}\ dx=\frac{1}{2}\log|1+x^2|+c$$
Rileviamo inoltre che non è necessario porre il valore assoluto all’argomento del logaritmo in quanto l’argomento è sempre positivo
$$\frac{1}{2}\frac{2x}{1+x^2}\ dx=\frac{1}{2}\log|1+x^2|+c=\frac{1}{2}\log(1+x^2)+c$$
Dunque possiamo scrivere in sintesi che:
$$\int\frac{dy}{y^2}=\int\frac{x}{1+x^2}\ dx\quad\to\quad -\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\log(1+x^2)+c$$
Cambiamo di segno ad entrambi i termini e ribaltiamo i membri
$$y=-\frac{1}{\frac{1}{2}\log(1+x^2)+c}$$
Per essere più estetici possiamo anche usare le proprietà dei logaritmi
$$y=-\frac{1}{\log\sqrt{1+x^2}+c}$$
ESEMPIO 2 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI
Consideriamo la seguente equazione differenziale del primo ordine
$$y’=\frac{\pi}{2}(1+y^2)\cos x$$
Riscriviamo la derivata y’ come un rapporto di quantità infinitesime dy/dx
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\pi}{2}(1+y^2)\cos x$$
Separiamo le variabili: tutte le y a sinistra e tutte le x a destra
$$\frac{dy}{1+y^2}=\frac{\pi}{2}\cos x\ dx$$
Integriamo ora entrambi i termini dell’equazione
$$\int\frac{dy}{1+y^2}=\frac{\pi}{2}\cos x\ dx$$
L’integrale sul lato sinistro è immediato e conduce all’arcotangente di x
$$\int\frac{dy}{1+y^2}=\tan^{-1}y$$
Da notare che non abbiamo messo la costante integrativa poiché la possiamo mettere sul lato destro
Anche sul lato destro abbiamo un integrale immediato che ci conduce al seno di x
$$\int\frac{\pi}{2}\cos x\ dx=\frac{\pi}{2}\int\cos x=\frac{\pi}{2}\sin x+c$$
Dunque possiamo scrivere in sintesi che:
$$\int\frac{dy}{1+y^2}=\frac{\pi}{2}\cos x\ dx\quad\to\quad \tan^{-1}y=\frac{\pi}{2}\sin x+c$$
Applichiamo la funzione tangente da entrambi i lati dell’equazione per trovare la nostra incognita y
$$y=\tan\left(\frac{\pi}{2}\sin x+c\right)$$
ESEMPIO 3 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI
Consideriamo la seguente equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili
$$y’=e^{x-y}$$
Riscriviamo la derivata y’ come un rapporto di quantità infinitesime dy/dx
$$\frac{dy}{dx}=e^{x-y}$$
Sviluppiamo il lato destro dell’equazione applicando le proprietà delle potenze
$$\frac{dy}{dx}=e^x\ e^{-y}$$
Separiamo ora le variabili
$$e^y\ dy=e^x\ dx$$
Integriamo ora entrambi i termini dell’equazione
$$\int e^y\ dy=\int e^x\ dx$$
Entrambi gli integrali sono immediati e riguardano una semplice funzione esponenziale
$$e^y=e^x+c$$
Applichiamo il logaritmo naturale ad entrambi i membri per ricavare il valore della funzione incognita y
$$\begin{aligned}&\log e^y\ dy=\log(e^x+c)\\&\\&y=\log(e^x+c)\end{aligned}$$
ESEMPIO 4 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI
Consideriamo la seguente equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili
$$y’=y^3\sin(2x)$$
Riscriviamo la derivata y’ come un rapporto di quantità infinitesime dy/dx
$$\frac{dy}{dx}=y^3\sin(2x)$$
Separiamo ora le variabili
$$\frac{dy}{y^3}=\sin(2x)\ dx$$
Integriamo dunque ambo i membri
$$\frac{dy}{y^3}=\int\sin(2x)\ dx$$
Sul lato sinistro dell’equazione possiamo riscrivere una potenza di y con esponente negativo ed integrare con la regola della potenza
$$\int y^{-3}\ dy=\frac{y^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2y^2}$$
Passiamo ora all’integrale del lato destro dell’equazione differenziale
$$\int\sin(2x)\ dx$$
La derivata dell’argomento del seno è pari a 2 dunque moltiplichiamo dentro l’integrale per la costante e dividiamo fuori ed applichiamo la regola di integrazione del seno
$$\int\sin(2x)\ dx=\color{blue}{\frac{1}{2}}\int\color{blue}{2}\sin(2x)\ dx=-\frac{1}{2}\cos(2x)+c$$
In conclusione abbiamo che
$$\frac{dy}{y^3}=\int\sin(2x)\ dx\quad\to\quad -\frac{1}{2y^2}=-\frac{1}{2}\cos(2x)+c$$
Dividiamo per 2, cambiamo i segni e ribaltiamo
$$y^2=\frac{1}{\cos(2x)+c}$$
(la costante integrativa non subisce modifiche perché resta sempre un numero)
Risolviamo ora l’equazione di secondo grado (valida quando il lato destro è positivo)
$$y=\pm\sqrt{\frac{1}{\cos(2x)+c}}$$
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