DERIVATA CON IL RAPPORTO INCREMENTALE

In questo articolo vediamo come giungere al concetto di derivata prima di una funzione ad una variabile reale (y=f(x)) attraverso il concetto di limite del rapporto incrementale.

DEFINIZIONE DI DERIVATA PRIMA

La derivata prima di una funzione ad una variabile reale è definita come il limite del rapporto incrementale quando l’incremento h sull’asse delle x tende a zero.

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

La derivata è dunque una funzione che esprime il coefficiente angolare della retta tangentealla funzione in un suo punto generico x.

Matematicamente viene calcolata come un rapporto tra due zeri.

Dunque il suo calcolo richiede le conoscenze sul calcolo dei limiti, in particolare relativi alla forma indeterminata zero su zero

LA DERIVATA NELLA STORIA DELLA MATEMATICA

Per questioni legate alla storia dopo che sono nate le funzioni intorno al 1600 l’interesse dei matetici si è rivolto proprio verso una spinosa questione.

Questa questione riguardava il calcolo della pendenza ovvero del coefficiente angolare della funzione in un suo preciso punto.

Le ragioni di questo interesse sono molteplici e credo che inizialmente riguardassero questioni di natura fisica come ad esempio il calcolo della velocità di un corpo in un preciso istante.

Fatto sta che queste ricerche hanno creato una nuova branca matematica che ha rivoluzionato il modo di vedere il mondo e dato vita al mondo scientifico moderno.

Parliamo del calcolo infinitesimale.

Alcuni dei matematici che hanno affrontato questioni di così alto rango sono:

• Fermat
• Rolle
• Lagrange
• Cauchy
• Isaac Newton
• Leibnitz 

 solo per citarne alcuni.

Le questioni che si sono innalzate in una ricerca di tale portata hanno portato allo sviluppo di concetti matematici di enorme importanza come:

• Rapporto incrementale
• Infinitesimo 
• Zero diviso zero
• Limiti notevoli
• Derivata prima

Vediamo ora di chiarire attraverso degli esempi come si siano sviluppati questi ragionamenti

DERIVATA IN UN PUNTO CON IL RAPPORTO INCREMENTALE

Prima di analizzare il calcolo della funzione derivata partiamo dal concetto di derivata in un punto.

La derivata in un punto è definita come il limite del rapporto incrementale quando l’incremento orizzontale tende a zero.

$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Dal punto di vista geometrico tale valore identifica il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto  x₀.

A prima questo concetto può sembrare molto difficile da digerire, specialmente da chi ha poca sintonia con il mondo matematico.

Cerchiamo dunque di capire quali sono gli step per arrivare a questa definizione, dandone una percezione visiva.

Riconosciamo otto step:

1. Fissiamo una funzione di riferimento
2. Consideriamo un suo punto  x₀
3. Calcoliamo il valore della funzione in tale punto f( x₀) 
4. Creiamo un incremento h rispetto al punto  x₀ :  x₀+h
5. Calcoliamo il valore della funzione in  x₀ +h : f( x₀+h) 
6. Tracciamo una retta passante per i punti ( x₀, f( x₀)) e ( x₀+h , f( x₀+h))
7. Calcoliamo il coefficiente angolare che chiamiamo rapporto incrementale
8. Facciamo tendere l’incremento a zero e calcoliamo la derivata

GLI OTTO STEP PER COSTRUIRE IL RAPPORTO INCREMENTALE E LA DERIVATA PRIMA

Il primo step consiste nel considerare una funzione in un tratto del suo dominio dove risulti continu

Ora consideriamo un punto sull’asse delle x che chiamiamo  x₀

Calcoliamo il valore della funzione in tale punto.

Dal punto di vista geometrico dobbiamo proiettare il punto con un segmento verticale fino a toccare la funzione.

Poi ci muoviamo orizzontalmente (paralleli all’asse x) fino ad incontrare l’asse verticale (asse delle y).

In questo punto finale sull’asse delle y leggiamo il valore della funzione in x0 che chiamiamo f( x₀)

Adesso dobbiamo creare un incremento orizzontale rispetto al punto  x₀.

Questo significa che partiamo dal punto x₀ e ci muoviamo a destra (oppure a sinistra) di un certo segmento h.

Chiamiamo questo segmento h incremento sull’asse delle x rispetto ad  x₀.

Dopo questo incremento siamo finiti nel punto  x₀+h

Successivamente calcoliamo il valore della funzione nel punto  x₀+h seguendo la stessa procedura che abbiamo seguito per il punto  x₀.

Chiamiamo questo valore sull’asse delle y f( x₀+h)

Adesso tracciamo per i due punti della funzione ( x₀, f( x₀)) e ( x₀+h) f( x₀+h)) una retta che risulta secante alla funzione.

Calcoliamo a questo punto il coefficiente angolare della retta come rapporto tra il differenziale delle y e quello delle x.

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Chiamiamo questo coefficiente angolare rapporto incrementale della funzione f(x) nel punto  x₀

$$\text{r.i.}=\frac{\Delta\ f(x_0)}{\Delta}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ \ \\ \begin{array}{l}\Delta f((x_0)=f(x_0+h)-f(x_0)&\text{ è l’incremento della funzione $f$ a seguito dell’incremento $\Delta x=h$}\\\Delta x=h=(x_0+h)-x_0& \text{è l’incremento sull’asse delle $x$}\end{array}$$

Infine facciamo tendere progressivamente l’incremento h verso zero fino a che questa quantità diventa infinitesima, ovvero infinitamente piccola.

RETTA SECANTE E TANGENTE: DAL RAPPORTO INCREMENTALE ALLA DERIVATA PRIMA

Di questo modo i due punti sulla funzione ( x₀, f( x₀)) e ( x₀+h) diventano talmente vicini che risultano indistinguibili.

La retta passante per questi due punti risulta pertanto tangente alla funzione f(x) nel punto x0.

La pendenza di questa retta viene calcolata come il limite per h (incremento delle x) che tende a zero del rapporto incrementale in  x₀ su f(x).

$$ f'(x_0)=\lim_{h\to0}\text{r.i.}(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h-f(x_0)}{h}$$

Definiamo questa quantità la derivata prima della funzione in tale punto.

Possiamo anche calcolare l’equazione della retta tangente che risulta

$$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\ \ \\ \begin{array}{l}x_0&\text{ è il punto considerato}\\f(x_0)&\text{ è il valore della funzione $f$ nel punto $x_0$}\\f'(x_0)&\text{ è il valore della derivata prima di $f$ nel punto $x_0$}\\ x-x_0&\text{ è l’incremento sull’asse orizzontale rispetto al punto $x_0$}\end{array}$$

DERIVATA COME RAPPORTO ZERO SU ZERO

Il calcolo del giungere alla derivata è dunque il limite del rapporto incrementale quando l’incremento orizzontale h tende a zero.

$$ f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h-f(x_0)}{h}$$

Quando andiamo a calcolare questo limite ci rendiamo conto con stupore che si tratta di una forma indeterminata del tipo zero su zero:

$$ f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h-f(x_0)}{h}=\frac{\color{red}{0}}{\color{red}{0}}$$

Infatti data la continuità (per ipotesi) della funzione al tendere dell’incremento h a zero si crea un incremento infinitesimo anche della funzione.

Come facciamo dunque a calcolare questo rapporto?

Per fare questa operazione necessitiamo di tutte le abilità matematiche che si conseguono nel corso della risoluzione dei limiti.

In particolare delle forme indeterminate zero su zero.

Quindi ci servirà una buona base di questi argomenti:

• Scomposizioni
• Razionalizzazioni
• Limiti notevoli

ESEMPI DI CALCOLO DI DERIVATE IN UN PUNTO CON IL RAPPORTO INCREMENTALE

Vediamo dunque alcuni esempi per il calcolo della derivata prima usando la definizione di limite del rapporto incrementatale.

Gli esempi che presentiamo si riferiscono a diverse tipologie di funzione:

• Polinomiale
• Fratta
• irrazionale
• Esponenziale
• Logaritmica
• Goniometrica

DERIVATA IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE POLINOMIALE

Consideriamo la funzione polinomiale e il punto  x₀

$$ f(x)=x^2+2x+3\quad x_0=1$$

Calcoliamo per prima cosa il valore della funzione nel punto x0:

$$ f(1)=1^2+2\cdot1+3=6$$

Ora calcoliamo il valore della funzione nel punto x0+h:

$$\begin{aligned}&f(1+h)=(1+h)^2+2(1+h)+3\\&f(1+h)=1+2h+h^2+2+2h+3\\&f(1+h)=6+4h+h^2\end{aligned}$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\begin{aligned}&\text{r.i.}(1)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\&\text{r.i.}(1)=\frac{6+4h+h^2-6}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=\frac{h(4+h)}{h}=4+h\end{aligned}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zero nell’incremento

$$ f'(1)=\lim_{h\to0}(4+h)=4$$

Questo valore indica la derivata nel punto che è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto.

Per calcolare l’equazione della retta tangente usiamo la formula:

$$ y=f(1)+f'(1)(x-1)\\ \ \\ y=6+4(x-1)\to y=4x+2$$

DERIVATA IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE FRATTA

Consideriamo la funzione fratta e il punto x0

$$ f(x)=\frac{2x+1}{x+1}\qquad x_0=2$$

Calcoliamo per prima cosa il valore della funzione nel punto x0:

$$ f(2)=\frac{2\cdot2+1}{2-1}=5$$

Ora calcoliamo il valore della funzione nel punto x0+h:

$$ f(2+h)=\frac{2(2+h)+1}{2+h-1}=\frac{5+2h}{1+h}$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\text{r.i.}(2)=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$

Da notare che dividere per h è come moltiplicare per 1/h

$$\text{r.i.}(2)=\left(\frac{5+2h}{1+h}-2\right)\frac{1}{h}$$

Calcoliamo la somma di frazioni presente nella parentesi facendo il denominatore comune:

$$\frac{5+2h-5(1+h)}{1+h}=\frac{5+2h-5-5h}{1+h}=\frac{-3h}{1+h}$$

Dunque il nostro rapporto incrementale risulta:

$$\text{r.i.}(2)=\left(\frac{-3h}{1+h}\right)\frac{1}{h}=-\frac{3}{1+h}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zero nell’incremento

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\left(-\frac{3}{1+h}\right)=-3$$

Questo valore indica la derivata nel punto che è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto.

Per calcolare l’equazione della retta tangente usiamo la formula:

$$ y=f(2)+f'(2)(x-2)\\ \ \\ y=5-3(x-2)\to y=-3x+11$$

DERIVATA IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE IRRAZIONALE

Consideriamo la funzione irrazionale e il punto  x₀

$$f(x)=\sqrt{2x+3}\qquad x_0=3$$

Calcoliamo per prima cosa il valore della funzione nel punto  x₀:

$$f(3)=\sqrt{2\cdot3+3}=3$$

Ora calcoliamo il valore della funzione nel punto  x₀+h:

$$f(3+h)=\sqrt{2\cdot(3+h)+3}=\sqrt{9+2h}$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\text{r.i.}(3)=\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{\sqrt{9+2h}-3}{h}$$

Razionalizziamo il numeratore

$$ \text{r.i.}(3)=\frac{\sqrt{9+2h}-3}{h}\cdot\frac{\sqrt{9+2h}+3}{\sqrt{9+2h}+3}=\frac{(9+2h)-9}{h\left(\sqrt{9+2h}+3\right)}$$

Svolgiamo i conti al numeratore e semplifichiamo il termine h:

$$ \text{r.i.}(3)=\frac{2h}{h\left(\sqrt{9+2h}+3\right)}=\frac{2}{\sqrt{9+2h}+3}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zero

$$ f'(3)=\lim_{h\to0}\left(\frac{2}{\sqrt{9+2h}+3}\right)=\frac{1}{3}$$

Questo valore indica la derivata nel punto che è il coefficiente angolare della retta tangentealla funzione nel punto.

Per calcolare l’equazione della retta tangente usiamo la formula:

$$ y=f(3)+f'(3)(x-3)\\ \ \\ y=3+\frac{1}{3}(x-3)\to y=\frac{1}{3}x+2$$

SCOPRI I LIMITI, LE DERIVATE E GLI INTEGRALI

Comincia il tuo percorso in una delle più avvincenti storie della matematica del XVII e del XVIII secolo.

Un viaggio incredibile che ti porterà a scoprire ed apprendere i segreti dei limiti, delle derivate e degli integrali

DERIVATA IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

Consideriamo la funzione esponenziale e il punto  x₀

$$f(x)=e^{x+1}\qquad x_0=-1$$

Calcoliamo per prima cosa il valore della funzione nel punto  x₀:

$$f(-1)=e^{-1+1}=e^0=1$$

Ora calcoliamo il valore della funzione nel punto  x₀+h:

$$ f(-1+h)=e^{-1+h+1}-1=e^h-1$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$ \text{r.i.}(-1)=\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\frac{e^h-1}{h}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zeronell’incremento

$$f'(-1)=\lim_{h\to0}\left(\frac{e^h-1}{h}\right)=$$

Applichiamo i limiti notevoli per cui la funzione e^h  risulta asintotica ad h quando h tende a zero

$$h\to0:\quad e^h-1\sim h$$

Dunque la nostra derivata prima nel punto risulta:

$$f'(-1)=\lim_{h\to0}\left(\frac{e^h-1}{h}\right)\sim\lim_{h\to0}\left(\frac{h}{h}\right)=1$$

Questo valore indica la derivata nel punto che è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto.

Per calcolare l’equazione della retta tangente usiamo la formula:

$$ y=f(-1)+f'(-1)(x+1)\\ \ \\ y=1+1(x+1)\to y=x+2$$

DERIVATA IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

Consideriamo la funzione logaritmica e il punto  x₀

$$f(x)=\log(x+2)\qquad x_0=0$$

(con log intendiamo il logaritmo naturale ovvero in base e)

Calcoliamo per prima cosa il valore della funzione nel punto  x₀:

$$f(0)=\log(2+0)=\log 2$$

Ora calcoliamo il valore della funzione nel punto  x₀+h:

$$f(0+h)=\log(2+h)$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$ \text{r.i.}(0)=\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\log(2+h)-\log 2}{h}$$

Al numeratore applichiamo la proprietà dei logaritmi

$$ \text{r.i.}(0)=\frac{\log\left(\frac{2+h}{2}\right)}{h}=\frac{\log\left(1+\frac{1}{2}h\right)}{h}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zeronell’incremento

$$f'(0)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\log\left(1+\frac{1}{2}h\right)}{h}\right)=$$

Applichiamo i limiti notevoli per cui la funzione log(1+kh)  risulta asintotica ad k·h quando h tende a zero

$$h\to0:\quad\log\left(1+\frac{1}{2}h\right)\sim\frac{1}{2}h$$

Perciò approssimiamo il valore della nostra derivata in x=0:

$$f'(0)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\log\left(1+\frac{1}{2}h\right)}{h}\right)\sim\lim_{h\to0}\left(\frac{\frac{1}{2}h}{h}\right)=\frac{1}{2}$$

Questo valore indica la derivata nel punto che è il coefficiente angolare della retta tangentealla funzione nel punto.

Per calcolare l’equazione della retta tangente usiamo la formula:

$$ y=f(0)+f'(0)(x-0)\\ \ \\ y=\log 2+\frac{1}{2}(x-0)\to y=\frac{1}{2}x+\log 2$$

DERIVATA IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE GONIOMETRICA

Consideriamo la funzione goniometrica e il punto  x₀

$$f(x)=\sin x\qquad x_0=\frac{\pi}{2}$$

Calcoliamo per prima cosa il valore della funzione nel punto  x₀:

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$

Ora calcoliamo il valore della funzione nel punto  x₀+h:

$$f\left(\frac{\pi}{2}+h\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+h\right)$$

Per la proprietà degli angoli complementari sappiamo che:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+h\right)=\cos h$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\text{r.i.}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{f\left(\frac{\pi}{2}+h\right)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{h}=\frac{\cos h-1}{h}=-\frac{1-\cos h}{h}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zeronell’incremento

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\lim_{h\to0}\left(-\frac{1-\cos h}{h}\right)=$$

Applichiamo i limiti notevoli per cui la funzione 1-cosh  risulta asintotica a 1/2h²

$$h\to0:\quad1-\cos h\sim\frac{1}{2}h^2$$

Dunque possiamo così approssimare la nostra derivata prima nel punto:

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\lim_{h\to0}\left(-\frac{1-\cos h}{h}\right)\sim\lim_{h\to0}\left(-\frac{\frac{1}{2}h^2}{h}\right)=\lim_{h\to0}\left(-\frac{1}{2}h\right)=0$$

Questo valore indica la derivata nel punto che è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto.

Per calcolare l’equazione della retta tangente usiamo la formula:

$$y=f\left(\frac{\pi}{2}\right)+f’\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\\ \ \\ y=1+0\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\to y=0$$

DERIVATA INTESA COME FUNZIONE

La derivata prima di una funzione è a sua volta una funzione che esprime in ogni punto della funzione la pendenza della retta tangente.

Per ricavare l’equazione della derivata prima calcoliamo il limite del rapporto incrementale in un generico punto quando l’incremento h tende a zero.

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

In pratica ripetiamo la stessa procedura che abbiamo cisto per calcolare la derivata in un punto con la differenza che non abbiamo un punto specifico.

Quando abbiamo la funzione derivata possiamo calcolare la pendenza (coefficiente angolare) dellaretta tangente in un punto x₀ specifico semplicemente inserendo le coordinate del punto nella funzione.

Vediamo ora gli stessi esempi di calcolo della funzione derivata sulle stesse funzioni dove abbiamo calcolato la derivata in un punto.

SCOPRI I LIMITI, LE DERIVATE E GLI INTEGRALI

ESEMPI DI CALCOLO DI DERIVATE  CON IL RAPPORTO INCREMENTALE

Gli esempi che presentiamo si riferiscono a diverse tipologie di funzione:

• Polinomiale
• Fratta
• irrazionale
• Esponenziale
• Logaritmica
• Goniometrica

DERIVATA  DI UNA FUNZIONE POLINOMIALE

Consideriamo la funzione polinomiale

$$f(x)=x^2+2x+3$$

Calcoliamo il valore della funzione nel punto x+h:

$$\begin{aligned}&f(x+h)=(x+h)^2+2(x+h)+3\\&f(x+h)=x^2+2xh+h^2+2x+2h+3\end{aligned}$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\begin{aligned}&\text{r.i.}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&\text{r.i.}(x)=\frac{(x^2+2xh+h^2+2x+2h+3)-(x^2+2x+3)}{h}\\&\text{r.i.}(x)=\frac{2xh+h^2+2h}{h}=\frac{h(2x+h+2)}{h}=2x+h+2\end{aligned}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zero nel rapporto incrementale

$$f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h+2)=2x+2$$

Possiamo a questo punto calcolare ad esempio la derivata prima in x=0, x=1, x=2

$$f'(0)=2\cdot0+1=2\quad f'(1)=2\cdot1+1=3\quad f'(2)=2\cdot2+1=5$$

DERIVATA IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE FRATTA

Consideriamo la funzione fratta 

$$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$$

Calcoliamo il valore della funzione nel punto x+h:

$$f(x+h)=\frac{2(x+h)+1}{x+h-1}=\frac{2x+2h+1}{x+h-1}$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\text{r.i.}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Da notare che dividere per h è come moltiplicare per 1/h:

$$\text{r.i.}(x)=\left(\frac{2x+1}{x-1}-\frac{2x+2h+1}{x+h-1}\right)\frac{1}{h}$$

Concentriamoci ora sulla frazione e facciamo il denominatore comune e svolgiamo i conti

$$\frac{(2x+2h+1)(x-1)-(2x+1)(x+h-1)}{(x+h-1)(x-1)}$$

Svolgiamo i calcoli al numeratore

$$2x^2-2x+2hx-2h+x-1-(2x^2+2hx-2x+x+h-1)=-3h$$

Il nostro rapporto incrementale dunque risulta

$$\text{r.i.}(x)=\frac{-3h}{(x+h-1)(x-1}\cdot\frac{1}{h}=\frac{-3}{(x+h-1)(x-1}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zero nel rapporto incrementale

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{-3}{(x+h-1)(x-1}\right)=-\frac{3}{(x-1)^2}$$

Possiamo a questo punto calcolare ad esempio la derivata prima in x=0, x=2, x=3

$$f'(0)=-\frac{3}{(0-1)^2}=-3\quad f'(2)=-\frac{3}{(2-1)^2}=-3\quad f'(3)=-\frac{3}{(3-1)^2}=-\frac{3}{4}$$

DERIVATA DI UNA FUNZIONE IRRAZIONALE

Consideriamo la funzione irrazionale

$$f(x)=\sqrt{2x+3}$$

Calcoliamo il valore della funzione nel punto  x+h:

$$f(x+h)=\sqrt{2(x+h)+3}=\sqrt{2x+2h+3}$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\text{r.i.}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{2x+2h+3}-\sqrt{2x+3}}{h}$$

Razionalizziamo il numeratore

$$\begin{aligned}&\text{r.i.}(x)=\frac{\sqrt{2x+2h+3}-\sqrt{2x+3}}{h}\cdot\frac{\sqrt{2x+2h+3}+\sqrt{2x+3}}{\sqrt{2x+2h+3}+\sqrt{2x+3}}\\&\text{r.i.}(x)=\frac{(2x+2h+3)-(2x+3)}{h\left(\sqrt{2x+2h+3}+\sqrt{2x+3}\right)}\\&\text{r.i.}(x)=\frac{2h}{h\left(\sqrt{2x+2h+3}+\sqrt{2x+3}\right)}=\frac{2}{\sqrt{2x+2h+3}+\sqrt{2x+3}}\end{aligned}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zero nel rapporto incrementale

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{2}{\sqrt{2x+2h+3}+\sqrt{2x+3}}\right)=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}

Possiamo a questo punto calcolare ad esempio la derivata prima in x=–1, x=0, x=1

$$f'(-1)=\frac{1}{\sqrt{2(-1)+3}}=1\quad f'(0)=\frac{1}{\sqrt{2(0)+3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad f'(-1)=\frac{1}{\sqrt{2(-1)+3}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

DERIVATA  DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

Consideriamo la funzione esponenziale 

$$f(x)=e^{x+1}$$

Calcoliamo il valore della funzione nel punto  x+h:

$$f(x+h)=e^{x+h+1}$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\begin{aligned}&\text{r.i.}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&\text{r.i.}(x)=\frac{e^{x+h+1}-e^{x+h}}{h}=e^{x+1}\frac{e^h-1}{h}\end{aligned}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zero nel rapporto incrementale

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\left(e^{x+1}\frac{e^h-1}{h}\right)=e^{x+1}\lim_{h\to0}\left(\frac{e^h-1}{h}\right)$$

Applichiamo i limiti notevoli per cui la funzione e^{h –1} risulta asintotica ad h quando h tende a zero

$$h\to0:\quad e^x-1\sim h$$

Procediamo quindi con il calcolo della nostra derivata:

$$f'(x)=e^{x+1}\lim_{h\to0}\left(\frac{e^h-1}{h}\right)\sim e^{x+1}\lim_{h\to0}\left(\frac{h}{h}\right)=e^{x+1}$$

Possiamo a questo punto calcolare ad esempio la derivata prima in x=–1, x=0, x=1/2 , x=-3/4:

$$\begin{aligned}&f(-1)=e^{-1+1}=e^0=1\qquad f(-1)=e^{-1+1}=e^0=1\\ & f\left(\frac{1}{2}\right)=e^{\frac{1}{2}+1}=e^\frac{3}{2}=\sqrt[]{e^3}\qquad f\left(-\frac{3}{4}\right)=e^{-\frac{3}{4}+1}=e^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{e}\end{aligned}$$

DERIVATA  DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

Consideriamo la funzione logaritmica 

$$f(x)=\log(2+x)$$

Calcoliamo il valore della funzione nel punto  x₀+h:

$$f(x+h)=\log(2+h+x)$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\text{r.i.}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\log(2+h+x)-\log(2+x)}{h}$$

Al numeratore applichiamo la proprietà dei logaritmi

$$\text{r.i.}(x)=\frac{\log\left(\frac{2+x+h}{2+x}\right)}{h}=\frac{\log\left(1+\frac{1}{2+x}h\right)}{h}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zero nel rapporto incrementale

$$f'(x)=\lim_{ h\to0}\left(\frac{\log\left(1+\frac{1}{2+x}h\right)}{h}\right)=$$

Applichiamo i limiti notevoli per cui la funzione log(1+kh)  risulta asintotica ad k·h quando h tende a zero

$$h\to0:\quad \log\left(1+\frac{1}{2+x}h\right)\sim\frac{1}{2+x}h$$

Con questa informazione possiamo calcolare la derivata prima della nostra funzione:

$$f'(x)=\lim_{ h\to0}\left(\frac{\log\left(1+\frac{1}{2+x}h\right)}{h}\right)\sim\lim_{ h\to0}\left(\frac{1+\frac{1}{2+x}h}{h}\right)=\frac{1}{2+x}$$

Possiamo a questo punto calcolare ad esempio la derivata prima in x=0, x=1, x=2:

$$f'(0)=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}\quad f'(1)=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}\quad f'(2)=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$$

DERIVATA  DI UNA FUNZIONE GONIOMETRICA

Consideriamo la funzione goniometrica seno di x

$$f(x)=\sin x$$

Calcoliamo il valore della funzione nel punto  x₀+h:

$$f(x+h)=\sin(x+h)$$

Per la formula di addizione del seno possiamo scrivere:

$$\sin(x+h)=\sin x\cos h+\sin h\cos x$$

Adesso calcoliamo il valore del rapporto incrementale 

$$\begin{aligned}&\text{r.i.}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&\text{r.i.}(x)=\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}\end{aligned}$$

Infine non ci resta che calcolare la derivata prima nel punto facendo tendere h a zero nel rapporto incrementale

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}\right)=$$

Notiamo che quando la h tende a zero il cosh tende a  1

$$h\to0:\quad \cos h\sim1$$

Dunque riscriviamo il nostro limite come

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin x+\sin h\cos x-\sin x}{h}\right)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin h\cos x}{h}\right)$$

Per le proprietà dei limiti notevoli la funzione sinh tende ad h quando h tende a zero

$$h\to0:\quad \sin h\sim h$$

Dunque il nostro limite è in maniera asintotica risulta

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin h\cos x}{h}\right)\sim\lim_{h\to0}\left(\frac{ h\cos x}{h}\right)=\cos x$$

Possiamo a questo punto calcolare ad esempio la derivata prima in x=0, x=π/4 , x=π/2:

$$f'(0)=\cos 0=1\quad f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$

REGOLE DI DERIVAZIONE

I ragionamenti reiterati sull’applicazione del metodo del limite del rapporto incrementale portano ben presto i matematici ad una classificazione rigorosa delle tipologie di funzione:

• Polinomiale
• Irrazionale
• Fratta 
• Esponenziale
• Logaritmica
• Valore assoluto
• Goniometrica

Questa classificazione agevola la creazione di regole di derivazione che rendono molto più veloci ed efficienti i calcolo delle derivate.

Sotto riporto la tabella delle regole per le principali funzioni elementari.

Se vuoi approfondire leggi l’articolo sulle regole di derivazione

Per la dimostrazione di queste regole guarda l’articolo relativo alle regole di derivazione.

REGOLE DI DERIVAZIONE SULLE OPERAZIONI FONDAMENTALI

Grazie allo sviluppo delle derivate mediante il rapporto incrementale è stato possibile ricavare regole di derivazione per le funzioni collegate dalle operazioni fondamentali.

Ci riferiamo in questo caso a:

• Somme e differenze
• Moltiplicazioni 
• Divisioni

Sotto riportiamo queste regole

Per approfondire questi temi vedi gli articoli riguardanti la derivata di:

• Prodotto di funzioni
• Divisione di funzioni

SIMBOLOGIA DELLE DERIVATE

La lettura di testi sulle funzioni derivate causa spesso dei notevoli problemi di simbologia.

Restiamo per un attimo sulla simbologia delle derivate prime per funzioni ad una variabile derivate rispetto ad x

Le più comuni sono:

$$y’\quad f'(x)\quad \frac{dy}{dx}\quad\frac{df}{dx}\quad\left(f(x)\right)’\quad D\left(f(x)\right)\quad\frac{d}{dx}\left(f(x)\right)\quad\dot{y}$$

Per quanto riguarda le prime due

$$y’\qquad f'(x)$$

 c’è poco da dire in quanto sono le più utilizzate nelle scuole superiori in Italia quindi passiamo

Applichiamola ad esempio alla derivazione del logaritmo (funzione presa come riferimento) 

$$\begin{array}{l}y=\log x&\to&y’=\frac{1}{x}\\ f(x)=\log x&\to&f'(x)=\frac{1}{x}\end{array}$$

La terza e la quarta scrittura:

$$\frac{dy}{dx}\qquad \frac{df}{dx}$$

richiamano il concetto del limite del rapporto incrementale e alla forma zero su zero.

Ricordiamo infatti che la derivata prima è un rapporto tra due quantità infinitesime.

$$\begin{array}{l}\text{$dy$ o $df$ sono le variazioni infinitesime della funzione dovuta a $dx$}\\ \text{$dx$ è la variazione infinitesima debita dalla x (la quantità $h$)}\end{array}$$

Applichiamo ancora al caso del logaritmo

$$\begin{array}{l}y=\log x&\to&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\\ f(x)=\log x&\to&\frac{df}{dx}=\frac{1}{x}\end{array}$$

Le tre scritture

$$\left(f(x)\right)’\qquad D\left(f(x)\right)\qquad\left(f(x)\right)$$

 sono a mio avviso un po’ ingombranti ma ci fanno ben capire che stiamo sottoponendo quella funzione al processo di derivazione.

In questo caso riportiamo proprio quella funzione dentro la pare tesi al posto della f(x)

Ritornando al nostro esempio del logaritmo abbiamo che:

$$(\ln x)’=\frac{1}{x}\qquad D(\ln x)=\frac{1}{x}\qquad \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$$

DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

Grazie alle procedure di derivazione basate sul limite del rapporto incrementale si è potuto estrapolare delle regole generali che valgono anche per le funzioni composte.

Consideriamo la seguente funzione composta:

$$ y=f\left(g(x)\right)$$

La derivata di questa funzione segue la regola:

$$ y’=\frac{df}{dx}=\left(\frac{d}{d\left(g(x)\right)}f\left(g(x)\right)\right)\cdot \left(\frac{d}{dx}g(x)\right)\\ \ \\ \begin{aligned}&\frac{d}{d\left(g(x)\right)}f\left(g(x)\right)\ \text{ è la derivata della funzione $f\left(g(x)\right)$ rispetto a $g(x)$}\\&\frac{d}{dx}g(x)\ \text{è la derivata della funzione $g(x)$ rispetto alla $x$}\end{aligned}$$

Per comodità di scrittura si può scrivere:

$$ \left(f\left(g(x)\right)\right)’=f’\left(g(x)\right)\cdot g'(x)$$

Oppure anche 

$$ \frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}\\ \ \\ \begin{aligned}&\frac{df}{dx}\ \text{ è la derivata di$f$ rispetto a $x$}\\&\frac{df}{dg}\ \text{ è la derivata di$f$ rispetto a $g$}\\&\frac{dg}{dx}\ \text{ è la derivata di$g$ rispetto a $x$}\end{aligned}$$

Chiaramente possiamo espandere questa procedura anche con tre o più funzioni presenti in una composizione.

Ad esempio se dobbiamo calcolare la derivata prima di f composto g composto k di x:

$$\left(f\left(g\left(k(x)\right)\right)\right)’$$

Possiamo scrivere in maniera sintetica:

$$ \frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dk}\cdot\frac{dk}{dx}$$

Per approfondire il tema della derivata di una composta leggi il seguente articolo:

DERIVATE DI FUNZIONI A DUE VARIABILI CON IL RAPPORTO INCREMENTALE

La procedura di calcolo delle derivate con il rapporto incrementale viene applicato anche per le funzioni a più variabili.

Prendiamo in esame il caso di funzioni a due variabili.

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:\quad z=f(x,y)$$

Con le funzioni a due variabili parliamo di derivate parziali in quanto è possibile calcolare la derivata su una sola variabile alla volta.

Nel nostro caso ad esempio parliamo di derivata parziale rispetti alla x oppure rispetto alla y.

La derivata parziale rispetto alla x presenta generalmente le seguenti simbologie:

$$\frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}\quad\text{oppure}\quad f’_x\quad f’_y$$

Le prime due si leggono “differenziale della funzione f (o della funzione z) rispetto al differenziale della x“

Le altre due si possono leggere “effe primo in x”  o “zeta primo in x”   o “derivata fi f rispetto ad x”  o “derivata di z su x”

Comunque sia teniamo ad esempio la lettera f e applichiamo la procedura del limite del rapporto incrementale:

$$f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$

Se calcoliamo la derivata in y scriviamo:

$$f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$$

ESEMPIO DI DERIVATA CON RAPPORTO INCREMENTALE PER UNA FUNZIONE A DUE VARIABILI

Facciamo un esempio pratico e consideriamo la funzione f(x,y) 

$$f(x,y)=x^2y-y^2$$

Calcoliamo la derivata parziale in x

$$f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\\ \ \\ \begin{aligned}&=\lim_{h\to0}\frac{\left((x+h)^2y-y^2\right)-(x^2y-y^2)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\left((x^2+2hx+h^2)y-y^2\right)-(x^2y-y^2)}{h}\\&\lim_{h\to0}\frac{x^2y+2hxy+h^2y-y^2-x^2y+y^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{2hxy+h^2y}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(2xy+hy)}{h}=\lim_{h\to0}(2xy+hy)=2xy\end{aligned}$$

Mettiamo anche il calcolo della derivata prima parziale in y

$$f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}\\ \ \\ \begin{aligned}&=\lim_{h\to0}\frac{\left(x^2(y+h)-(y+h)^2\right)-(x^2y-y^2)}{h}\\&\lim_{h\to0}\frac{x^2y+hx^2-y^2-2hy-h^2-x^2y+y^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{hx^2-2hy-h^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(x^2-2y-h)}{h}=\lim_{h\to0}(x^2-2y-h)=x^2-2y\end{aligned}$$

HAI QUALCHE DOMANDA ?

Se questo articolo ti ha fatto venire qualche domanda scrivila nei commenti.

SCOPRI I LIMITI, LE DERIVATE E GLI INTEGRALI

Comincia il tuo percorso in una delle più avvincenti storie della matematica del XVII e del XVIII secolo.

Un viaggio incredibile che ti porterà a scoprire ed apprendere i segreti dei limiti, delle derivate e degli integrali