Le equazioni differenziali del primo ordine sono equazioni differenziali in cui compaiono la funzione y (incognita) e la sua derivata con grado 1.
La forma con cui si presentano tali equazioni è del tipo:
$$y’+a(x)\cdot y=b(x)$$
La soluzione generale delle equazioni differenziali del primo ordine è:
$$y=e^{-A(x)}\left(c+\int e^{A(x)}\cdot b(x)dx\right)$$
con la funzione A(x) che è l’integrale indefinito della funzione a(x)
Per prendere confidenza con questo tipo di equazione vi consiglio di svilupparealmeno cinque esercizi (scritti da voi!!!)
INDICE
ESEMPI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
Vediamo di fare un po’ di chiarezza sui concetti teorici che abbiamo introdotto.
Dunque svolgiamo insieme qualche esercizio sulle equazioni differenziali del primo ordine.
ESEMPIO 1 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
Svolgiamo questo esercizio
$$y’+y\tan x=3\sin(2x)$$
Teniamo presente che si tratta di una equazione differenziale del primo ordine del tipo
$$y’+a(x)\cdot y=b(x)$$
In particolare abbiamo che:
$$a(x)=\tan x\qquad b(x)=3\sin(x)$$
Calcoliamo la funzione A(x) che è l’integrale della funzione a(x) (senza costante integrativa)
$$A(x)=\int\tan x\ dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\log|\cos x|$$
Applichiamo ora la regola per la soluzione generale
$$y=e^{-A(x)}\left(c+\int e^{A(x)}\cdot b(x)dx\right)$$
Inseriamo dunque i dati noti
$$y=e^{-\left(-\left(\log|\cos x|\right)\right)}\left(c+\int e^{-\log|\cos x|}\cdot 3\sin(2x)\ dx\right)$$
Lavoriamo sul fattore esterno esponenziale supponendo positivo l’argomento del valore assoluto
$$e^{-\left(\log|\cos x|\right)}=e^{\log (\cos x)}=\cos x$$
Passiamo ora al fattore esponenziale interno
$$e^{-\log|\cos x|}=e^{\log\left(\frac{1}{\cos x}}=\frac{1}{\cos x}$$
Riscriviamo dunque meglio
$$y=\cos x\left(c+\int\frac{}1{\cos x}3\sin(2x)\ dx\right)$$
Portiamo la costante fuori dall’integrale
$$y=\cos x\left(c+3\int\frac{1}{\cos x}\sin(2x)\ dx\right)$$
Ora occupiamoci proprio del calcolo di quest’ultimo
$$\int\frac{1}{\cos x}\sin(2x)\ dx$$
Ricordiamo che per la formula di duplicazione del seno
$$\sin(2x)=2\cos x\sin x$$
Dunque inserendo nel calcolo dell’integrale e spostando fuori la costante abbiamo
$$2\int\frac{1}{\cos x}\cdot\sin x\cos x\ dx$$
che semplificato risulta essere un integrale elementare
$$2\int\sin x\ dx=-2\cos x$$
(non scriviamo la costante integrativa poiché già presente nella soluzione generale).
Scriviamo dunque meglio il valore della soluzione generale y
$$y=\cos x(c-6\cos x)$$
ESEMPIO 2
Vediamo un secondo esempio di equazione differenziale del primo ordine
$$y’=-y+2e^{-x}\sin x$$
Scriviamola meglio nella forma più vicina all’equazione nella forma generale
$$y’+a(x)\cdot y=b(x)$$
Riscriviamo un attimo il testo più vicino possibile alla forma nota:
$$y’+1y=2e^{-x}\sin x$$
$$a(x)=1\ \qquad b(x)=2e^{-x}\sin x$$
Calcoliamo l’integrale generale A(x) (senza costante c) della funzione a(x)
$$A(x)=\int1\ dx=x$$
Troviamo ora la soluzione generale y con la formula
$$y=e^{-A(x)}\left(c+\int e^{A(x)}\cdot b(x)dx\right)$$
Dunque scriviamo:
$$y=e^{-x}\left(c+\int e^x\cdot2e^{-x}\sin x\ dx\right)$$
Focalizziamo ora l’attenzione sul calcolo dell’integrale interno alla parentesi
$$\int e^x\cdot2e^{-x}\sin x\ dx$$
La produttoria degli esponenziali restituisce 1
$$e^x\cdot e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1$$
perciò avremo
$$=2\int\sin x\ dx=-2\cos x$$
Ritorniamo dunque al valore di y
$$y=e^{-x}(c-2\cos x)$$
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ESEMPIO 3 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
Prendiamo questo terzo esempio
$$y’+2y=x$$
Rispetto alla forma generale delle equazioni differenziali del primo ordine
$$y’+a(x)\cdot y=b(x)$$
Riconosciamo che
$$a(x)=2\qquad b(x)=x$$
Dunque l’integrale A(x) risulta essere
$$A(x)=\int2\ dx=2x$$
Applichiamo quindi la regola per la soluzione generale
$$y=e^{-A(x)}\left(c+\int e^{A(x)}\cdot b(x)dx\right)$$
ottenendo
$$e^{-2x}\left(\int e^{2x}\cdot x\ dx+c\right)$$
Svolgiamo quindi l’integrale dentro la parentesi
$$\int e^{2x}\cdot x\ dx$$
Possiamo usare l’integrazione per parti
$$\begin{array}{l}f(x)=x&\to& f'(x)=1\\g'(x)=2e^{2x}&\to&g(x)=\int e^{2x}\ dx=\frac{1}{2}e^{2x} \end{array}$$
Applichiamo la regola
$$\int e^{2x}\cdot x\ dx=\frac{1}{2}x e^{2x}-\int\frac{1}{2}e^{2x}\ dx$$
Fare il secondo integrale è molto semplice in quanto fotocopia del primo
$$\int\frac{1}{2}e^{2x}\ dx=\frac{1}{2}x e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}=\frac{1}{2} e^{2x}\left(x-\frac{1}{2}\right)$$
Inseriamo dunque tutto nella soluzione generale
$$y=e^{-2x}\left(\int e^{2x}\cdot x\ dx+c\right)=e^{-2x}\left(\frac{1}{2} e^{2x}\left(x-\frac{1}{2}\right)+c\right)$$
Possiamo ulteriormente sviluppare i conti
$$y=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{c}{e^{2x}}$$
ESEMPIO 4 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
Consideriamo la seguente equazione differenziale
$$xy’+y=x\log x$$
Dividiamo tutto per x
$$y’+\frac{1}{x}y=\log x$$
Siamo giunti in questo modo all’equazione differenziale del primo ordine del tipo
$$y’+a(x)\cdot y=b(x)$$
Dove in particolare
$$a(x)=\frac{1}{x}\qquad b(x)=\log x$$
Calcoliamo la funzione A(x)
$$A(x)=\int\frac{1}{x}\ dx=\log|x|$$
Ipotizzando positiva la x possiamo scrivere
$$A(x)=\log x$$
Applichiamo quindi la regola per la soluzione generale
$$y=e^{-A(x)}\left(c+\int e^{A(x)}\cdot b(x)dx\right)$$
Dunque scriviamo:
$$y=e^{-\log x}\left(c+\int e^{\log x}\cdot\log x\ dx\right)$$
Lavoriamo sui due termini esponenziali
$$\begin{aligned}&e^{-\log x}=e^{\log\left(\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{x}\\ \ \\ &e^{\log x}=\log x\end{aligned}$$
Sostituiamo questi valori nella soluzione generale
$$y=\frac{1}{x}\left(c+\int x\cdot\log x\ dx\right)$$
Ora calcoliamo l’integrale interno
$$\int x\cdot\log x\ dx$$
applicando la regola dell’integrale per parti
$$\begin{array}{l} y=\log x&\to&f'(x)=\frac{1}{x}\\ g'(x)=x&\to&g(x)=\int x\ dx=\frac{x^2}{2}\end{array}$$
Dunque avremo che
$$\begin{aligned}&\int x\cdot\log x\ dx=\frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{1}{x}\cdot\frac{x^2}{2}\ dx=\\&=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{1}{2}\int x\ dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{1}{2}\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}\left(\log x-\frac{1}{2}\right)\end{aligned}$$
Inseriamo questo risultato all’interno della soluzione generale
$$\begin{aligned}&y=\frac{1}{x}\left(c+\int x\cdot\log x\ dx\right)\\&y=\frac{1}{x}\left(c+\frac{x^2}{2}\left(\log x-\frac{1}{2}\right)\right)\\&y=\frac{x}{2}\left(\log x-\frac{1}{2}\right)+\frac{c}{x}\end{aligned}$$
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