EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE – POLINOMI

Le equazioni del secondo a coefficienti costanti non omogenee si presentano nel seguente modo 

$$ay”+by’+cy=q(x)$$

Dove q(x) è una certa funzione che può assumere diverse forme tra cui:

• Polinomio 
• Esponenziale 
• Trigonometrica in seno e coseno
• Esponenziale per trigonometrica in seno e coseno
• Esponenziale per polinomio 

La soluzione generale di questo tipo di equazione differenziale prende la seguente forma

$$y=y_O+y_P\\ \ \\\begin{aligned}&\text{$y_O$ è la soluzione dell’equazione omogenea}\\&\text{$y_P$ è la soluzione particolare}\end{aligned}$$

Tale soluzione particolare è collegata al tipo di funzione assunta da q(x) 

Il procedimento che useremo per trovarla si chiama metodo di somiglianza

In questa sezione consideriamo il caso in cui q(x) è una funzione polinomiale.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE CON POLINOMI

Consideriamo ora il caso dell’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti in cui la funzione q(x) è un polinomio.

La forma che analizziamo dunque è la seguente

$$ay”+by’+cy=p^n(x)\\ \ \\\text{$p^n(x)$ è un polinomio di grado $n$}$$

STEP 1 – RISOLVERE L’EQUAZIONE OMOGENEA

In primo luogo dobbiamo risolvere l’equazione differenziale omogenea y_O

$$ay”+by’+cy=0$$

Per risolvere questo tipo di equazioni le trasformiamo momentaneamente in una equazione di secondo grado scritta in questa forma

$$a\lambda^2+b\lambda+c=0$$

Quando il delta è positivo e le soluzioni sono 𝜆₁ e 𝜆₂ la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=c_1\ e^{\lambda_1 x}+c_2\ e^{\lambda_2 x}$$

Se il delta è nullo e la soluzione dell’equazione è 𝜆₀ allora la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=e^{\lambda_0 x}(c_1+c_2x)$$

Mentre quando il delta dell’equazione di secondo grado è negativo e le soluzioni sono 

$$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$$

Allora la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea diventa

$$y_O=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\cos\beta x)$$

STEP 2 – TROVARE LA SOLUZIONE PARTICOLARE

Il vero punto di novità quando abbiamo a che fare con una equazione differenziale non omogenea è la ricerca della soluzione particolare.

Il metodo che adottiamo per trovarla si chiama somiglianza.

Proprio come dice il nome stesso la soluzione particolare assomigli alla funzione che l’equazione eguaglia, in questo caso il polinomio.

Partendo dall’equazione differenzia del secondo ordine completa

$$ay”+by’+cy=p^n(x)\\ \ \\\text{$p^n(x)$ è un polinomio di grado $n$}$$

La forma assunta dalla soluzione particolare dipende dai coefficienti b e c.

Quando entrambe queste costanti sono non nulle allora la soluzione particolare y_Pprende la forma di un generico polinomio di grado n

$$\begin{aligned}&b\ne0\land c\ne0\to y_P=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\\& \\& a_0,a_1,\dots, a_n\quad\text{sono i coefficienti del polinomio (da calcolare)}\end{aligned}$$

Se il coefficiente c vale zero allora cerchiamo un polinomio di grado n+1.

$$\begin{aligned}&b\ne0\land c=0\to y_P=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}\\& \\& a_0,a_1,\dots, a_n, a_{n+1}\quad\text{sono i coefficienti del polinomio (da calcolare)}\end{aligned}$$

Quando entrambi i coefficienti valgono zero allora cerchiamo un polinomio di grado n+2

$$\begin{aligned}&b\ne0\land c=0\to y_P=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}+a_{n+2}x^{n+2}\\& \\ &a_0,a_1,\dots, a_n, a_{n+1}, a_{n+2}\quad\text{sono i coefficienti del polinomio (da calcolare)}\end{aligned}$$

Una volta trovata la soluzione particolare y_P possiamo dunque scrivere lasoluzione generale di y come la somma tra la soluzione dell’omogenea y_O e di quella particolare y_P

$$y=y_O+y_P$$

ESEMPI DI EQUAZIONI DFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE COMPLETE A COEFFICIENTI COSTANTI CON POLINOMI

Svolgiamo dunque qualche esempio di equazioni differenziali del secondo ordine con i polinomi.

Distinguiamo i tre casi.

Per quanto riguarda il primo caso facciamo anche una ripartizione (non necessaria in questo contesto)  a seconda del segno discriminante.

ESEMPIO 1.1 – B, C ≠0 CON ∆>0

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine

$$y”-3y’+2y=2x^2+x-1$$

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-3\lambda+2=0$$

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado in 𝜆 e annulliamo i fattori

$$(\lambda-2)(\lambda-1)=0\\ \ \\&\lambda-2=0\quad\to\quad\lambda=2\\&\lambda-1=0\quad\to\quad\lambda=1\end{aligned}$$

Dunque la soluzione dell’equazione omogenea è

$$y_O=c_1e^{2x}+c_2e^x$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

Siccome il termine c dell’equazione differenziale è non nullo la soluzione particolare assume la forma generale di un polinomio di secondo grado.

$$y_P=Ax^2+Bx+C$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$y’_P=2Ax+B\qquad y_P”=2A$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”-3y’+2y=2x^2+x-1$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$2A-3(2Ax+B)x+2(Ax^2+Bx+C)=2x^2+x-1$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione come un polinomio di grado 2 rispetto alla x

$$2Ax^2+(-6A+2B)x+(2A-3B+2C)=2x^2+1x-1$$

Impostiamo quindi un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti rispettivi delle x

$$\begin{cases} 2A=2\\-6A+2B=1\\2A-3B+2C=-1\end{cases}$$

Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente il valore della A

$$2A=2\ \to\ A=1$$

Sostituendo questo valore nella seconda equazione ricaviamo la B

$$-6+2B=1\ \to\ 2B=7\ \to\ B=\frac{7}{2}$$

Non ci resta ora che andare nella terza equazione per ricavare il termine C

$$2-3\cdot\frac{7}{2}+2C=-1\ \to\ 2C=\frac{15}{2}\ \to\ C=\frac{15}{4}$$

Ecco dunque i tre valori ricercati del polinomio

$$A=1\quad B=\frac{7}{2}\quad C=\frac{15}{4}$$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=x^2+\frac{7}{2}x+\frac{15}{4}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y=y_O+y_P:\quad y=c_1e^{2x}+c_2e^x+x^2+\frac{7}{2}x+\frac{15}{4}$$

Chiaramente i colori diversi non sono necessari ma spero vivamente che vi aiutino nello scopo di capire questa disciplina molto ardua.

ESEMPIO 1.2 – B, C ≠0 CON ∆=0

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine

$$y”-4y’+4y=2x^2+x-1$$

Per comodità ho tenuto identico il polinomio a destra.

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-4\lambda+4=0$$

Scomponiamo il lato di sinistra come un quadrato di binomio (∆=0) 

$$(\lambda-2)^2=0\ \to\ \lambda-2=0\ \to \lambda=2$$

Dunque la soluzione dell’equazione omogenea è

$$y_O=e^{2x}(c_1+c_2x)$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

Siccome il termine c dell’equazione differenziale è non nullo la soluzione particolare assume la forma generale di un polinomio di secondo grado.

$$y_P=Ax^2+Bx+C$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$y’_P=2Ax+B\qquad y_P”=2A$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”-4y’+4y=2x^2+x-1$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$2A+4(2Ax+B)+4(Ax^2+Bx+C)=2x^2+x-1$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione come un polinomio di grado 2 rispetto alla x

$$4Ax^2+(-8A+4B)x+(2A-4B+4C)=2x^2+1x-1$$

Impostiamo quindi un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti rispettivi delle x

$$\begin{cases}4A=2\\-8A+4B=1\\2A-4B+4C=-1 \end{cases}$$

Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente il valore della A

$$4A=2\quad\to\quad A=\frac{1}{2}$$

Sostituendo questo valore nella seconda equazione ricaviamo la B

$$-8\cdot\frac{1}{2}+4B=1\ \to\ 4B=5\ \to\ B=\frac{5}{4}$$

Non ci resta ora che andare nella terza equazione per ricavare il termine C

$$2\cdot\frac{1}{2}-4\cdot\frac{5}{4}+4C=-1\ \to\ 4C=3\ \to\ C=\frac{3}{4}$$

Ecco dunque i tre valori ricercati del polinomio

$$A=\frac{1}{2}\quad B=\frac{5}{4}\quad C=\frac{3}{4} $$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=\frac{1}{2}+\frac{5}{4}x+\frac{3}{4}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y=y_O+y_P:\quad y=e^{2x}(c_1+c_2x)+\frac{1}{2}+\frac{5}{4}x+\frac{3}{4}$$

RISCOPRI LA MATEMATICA

Comincia un viaggio indimenticabile ed unico che affronta tutte le tappe principali in un percorso che cambierà per sempre il tuo modo di pensare alla matematica.

ESEMPIO 1.3 – B, C ≠0 CON ∆<0

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine

$$y”-2y’+10y=2x^2+x-1$$

Per comodità ho tenuto identico il polinomio a destra.

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda-2\lambda+10=0$$

Il delta quarti dell’equazione di secondo grado risulta negativo, infatti

$$\frac{\Delta}{4}=1-10=-9$$

Dunque le soluzioni immaginarie sono 

$$\lambda_{1,2}=1\pm\sqrt{-9}=1\pm3i$$

La parte reale 𝛼 e quella immaginaria 𝛽 sono rispettivamente:

$$\alpha=1\qquad\beta=3$$

Quindi la soluzione dell’equazione differenziale omogenea è

$$y_O=e^x\left(c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)\right)$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

Siccome il termine c dell’equazione differenziale è non nullo la soluzione particolare assume la forma generale di un polinomio di secondo grado.

$$y_P=Ax^2+Bx+C$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$y’_P=2Ax+B\qquad y_P”=2A$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”-2y’+10y=2x^2+x-1$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$2A-2(2Ax+B)+10(Ax^2+Bx+C)=2x^2+x-1$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione come un polinomio di grado 2 rispetto alla x

$$10Ax^2+(-4A+10B)x+(2A-2B+10C)=2x^2+1x-1$$

Impostiamo quindi un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti rispettivi delle x

$$\begin{cases}10A=2\\-4A+10B=1\\2A-2B+10C \end{cases}$$

Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente il valore della A

$$10A=2\ \to\ A=\frac{1}{5}$$

Sostituendo questo valore nella seconda equazione ricaviamo la B

$$-4\cdot\frac{1}{5}+10B=1\ \to\ 10B=\frac{9}{5}\ \to\ B=\frac{9}{50}$$

Non ci resta ora che andare nella terza equazione per ricavare il termine C

$$2\cdot\frac{1}{5}-2\cdot\frac{9}{50}+10C=-1\ \to\ C=-\frac{13}{125}$$

Ecco dunque i tre valori ricercati del polinomio

$$A=\frac{1}{5}\quad B=\frac{9}{50}\quad C=-\frac{13}{125}$$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=\frac{1}{5}x^2+\frac{9}{50}x-\frac{13}{125}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y=y_O+y_P:\ \\ \ \\ y=e^x\left(c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)\right)+\frac{1}{5}x^2+\frac{9}{50}x-\frac{13}{125}$$

ESEMPIO 2 -CASO PARTICOLARE – B≠0, C =0 

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine in cui il termine c vale zero

$$y”-3y’=9x^2+6x-5$$

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2+3\lambda=0$$

Raccogliamo a fattor comune il termine di sinistra e applichiamo la legge di annullamento del prodotto per trovare le soluzioni della spuria

$$\lambda(\lambda-3)=0\quad\to\quad \lambda=0\lor \lambda=-3$$

Dunque la soluzione  dell’equazione omogenea è

$$y_O=c_1e^{0x}+c_2e^{-3x}$$

Ricordando che un numero (diverso da zero) elevato alla zero vale 1, possiamo scrivere questa soluzione in maniera più semplice nel seguente modo:

$$y_O=c_1+c_2e^{-3x}$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

In questo caso il termine c vale zero dunque siamo alla ricerca di un polinomio con grado superiore di 1 rispetto alla funzione destra.

Il polinomio che stiamo cercando è di terzo grado e si presenta nella sua forma generale come segue

$$y_P=Ax^3+Bx^2+Cx+D$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$y’_P=3Ax^2+2Bx+C\qquad y”_P=6Ax+2B$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”-3y’=9x^2+6x-5=0$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$6Ax+2B+3(3Ax^2+Bx+C)=9x^2+6x-5=0$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione come un polinomio di grado 2 rispetto alla x

$$9Ax^2+(6A+6B)x+(2B+3C)=9x^2+6x-5$$

Impostiamo quindi un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti rispettivi delle x

$$\begin{cases} 9A=9\\6A+6B=6\\2B+3C=-5\end{cases}$$

Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente il valore della A

$$9A=9\ \to\ A=1$$

Sostituendo questo valore nella seconda equazione ricaviamo la B

$$6+6B=6\ \to\ B=0$$

Non ci resta ora che andare nella terza equazione per ricavare il termine C

$$2\cdot0+3C=-5\ \to\ C=-\frac{5}{3}$$

Ecco dunque i tre valori ricercati del polinomio

$$A=1\quad B=0\quad C=-\frac{5}{3}$$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=x^2-\frac{5}{3}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y=y_O+y_P:\qquad y=c_1+c_2\ e^{-3x}+x^2-\frac{5}{3}$$

Chiaramente i colori diversi non sono necessari ma spero vivamente che vi aiutino nello scopo di capire questa disciplina molto ardua.

ESEMPIO 3 – CASO PARTICOLARE – B=0, C =0 

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine quando sia il termine b che il termine c valgono entrambi zero

$$y”=12x^2+6x-3=0$$

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2=0$$

L’unica soluzione di 𝜆 è zero

$$\lambda=0$$

Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O+e^{0x}(c_1+c_2x)$$

Ricordando che un numero (diverso da zero) elevato alla zero vale 1, possiamo scrivere questa soluzione in maniera più semplice nel seguente modo:

$$y_O=c_1+c_2x$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

Siccome sia c che b valgono zero siamo alla ricerca di un polinomio con grado superiore di 2 rispetto alla funzione destra.

Il polinomio che stiamo cercando è di quarto grado e si presenta nella sua forma generale come segue

$$y_P=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$\begin{aligned}&y’_P=4Ax^3+3Bx^2+2Cx+D\\&y”_P=12Ax^2\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”=12x^2+6x-3$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$12Ax^2+6B+2C=12x^2+6x-3$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione come un polinomio di grado 2 rispetto alla x

$$12Ax^2+6Bx+2C=12+6x-3$$

Impostiamo quindi un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti rispettivi delle x

$$\begin{cases}12A=12\\6B=6\\2C=-3\end{cases}$$

Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente il valore della A

$$12A=12\ \to\ A=1$$

Mentre dalla seconda equazione ricaviamo la B

$$6B=6\ \to\ B=1$$

Infine dalla terza equazione ricaviamo immediatamente la C

$$2C=-3\ \to\ C=-\frac{2}{3}$$

Ecco dunque i tre valori ricercati del polinomio

$$A=1\quad B=1\quad C=-\frac{2}{3}$$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=x^2+x-\frac{2}{3}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y=y_O+y_P\quad\to\quad y=c_1+c_2x+x^2+x-\frac{2}{3}$$

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