EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE CON ESPONENZIALE PER SENO E COSENO

In questo articolo parliamo delle equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee con esponenziale per seno e coseno a coefficienti costanti.

PREMESSA SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

Le equazioni del secondo a coefficienti costanti non omogenee si presentano nel seguente modo 

$$ay”+by’+cy=q(x)$$

Dove q(x) è una certa funzione che può assumere diverse forme tra cui:

• Polinomio 
• Esponenziale 
• Trigonometrica in seno e coseno
• Esponenziale per trigonometrica in seno e coseno
• Esponenziale per polinomio 

La soluzione generale di questo tipo di equazione differenziale prende la seguente forma

$$y=y_O+y_P\\ \ \\\begin{aligned}&\text{$y_O$ è la soluzione dell’equazione omogenea}\\&\text{$y_P$ è la soluzione particolare}\end{aligned}$$

Tale soluzione particolare è collegata al tipo di funzione assunta da q(x) 

Il procedimento che useremo per trovarla si chiama metodo di somiglianza

In questa sezione consideriamo il caso in cui q(x) è una funzione esponenziale che moltiplica seno e coseno con lo stesso argomento

EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE CON ESPONENZIALE PER SENO E COSENO

Consideriamo ora il caso dell’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti in cui la funzione q(x)  è una funzione esponenziale che moltiplica una funzione goniometrica in seno e coseno in cui l’argomento è identico

La forma che analizziamo dunque è la seguente

$$ay”+by’+cy=e^{\gamma x}\left(a\sin(wx)+b\cos(wx)\right)\\ \ \\ e^{\gamma x}\left(a\sin(wx)+b\cos(wx)\right)\\\text{ è una funzione esponenziale che moltiplica seno e coseno}$$

STEP 1 – RISOLVERE L’EQUAZIONE OMOGENEA

In primo luogo dobbiamo risolvere l’equazione differenziale omogenea y_O

$$ay”+by’+cy=0$$

Per risolvere questo tipo di equazioni le trasformiamo momentaneamente in una equazione di secondo grado scritta in questa forma

$$a\lambda^2+b\lambda+c=0$$

Quando il delta è positivo e le soluzioni sono 𝜆₁ e 𝜆₂ la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=c_1\ e^{\lambda_1 x}+c_2\ e^{\lambda_2 x}$$

Se il delta è nullo e la soluzione dell’equazione è 𝜆₀ allora la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=e^{\lambda_0 x}(c_1+c_2x)$$

Mentre quando il delta dell’equazione di secondo grado è negativo e le soluzioni sono 

$$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$$

Allora la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea diventa

$$y_O=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\cos\beta x)$$

STEP 2 – TROVARE LA SOLUZIONE PARTICOLARE

Quando abbiamo a che fare con un’equazione non omogenea dobbiamo ricercare una soluzione particolare.

Il metodo che adottiamo per trovarla si chiama somiglianza.

Come dice il nome stesso la soluzione particolare assomigli alla funzione che l’equazione eguaglia, in questo caso la funzione esponenziale che moltiplica seno e coseno con lo stesso argomento.

Partendo dall’equazione differenzia del secondo ordine completa

$$ay”+by’+cy=e^{\gamma x}\left(a\sin(wx)+b\cos(wx)\right)\\ \ \\ e^{\gamma x}\left(a\sin(wx)+b\cos(wx)\right)\\\text{ è una funzione esponenziale che moltiplica seno e coseno}$$

Da notare che tale funzione potrebbe presentare i coefficienti a e b che potrebbero essere anche nulli.

Pertanto potremmo cadere benissimo in uno di questi due casi

$$\begin{aligned}&ay”+by’+cy=e^{\gamma x}\sin(wx)\\&\ \\&ay”+by’+cy=e^{\gamma x}\cos(wx)\end{aligned}$$

In generale la soluzione particolare y_P che stiamo ricercando assume la forma 

$$y_P=e^{\gamma x}\left(A\sin(wx)+B\cos(wx)\right)$$

Dobbiamo tenere presente che potremmo avere un caso particolare ovvero quello in cui le soluzioni dell’equazione di secondo grado dell’omogenea sono 

$$\lambda_{1,2}\alpha\pm i\beta\quad\text{con }\ \alpha=\gamma\land\beta=w$$

Per cui la soluzione come scritta prima fa parte della classe di funzioni appartenenti alla soluzione dell’omogenea.

$$y_O=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\cos\beta x)$$

Questo è il motivo per cui moltiplichiamo per x la soluzione particolare che diventa quindi

$$y_P=x\left(e^{\gamma x}(A\sin(wx)+B\cos(wx))\right)$$

Una volta trovata la soluzione particolare y_P possiamo dunque scrivere lasoluzione generale di y come la somma tra la soluzione dell’omogenea y_O e di quella particolare y_P

$$y=y_O+y_P$$

ESEMPI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE COMPLETE A COEFFICIENTI COSTANTI CON ESPONENZIALE PER SENO E COSENO

Svolgiamo dunque qualche esempio di equazioni differenziali del secondo ordine con funzione esponenziale che moltiplica seno e coseno.

Distinguiamo il caso generale dal caso specifico

Per quanto riguarda il primo caso facciamo anche una ripartizione (comunque non necessariain questo contesto)  a seconda del segno discriminante.

Negli esempi facciamo funzioni con solo il seno, solo il coseno ed entrambi.

Lasciamo alla fantasia del lettore l’invenzione di altri casi

ESEMPIO 1.1 – CON ∆>0

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine

$$y”-3y’+2y=3e^x\sin(3x)$$

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-3\lambda+2=0$$

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado in 𝜆 e annulliamo i fattori

$$\begin{aligned}&(\lambda-2)(\lambda-1)=0\\&\lambda-2=0\to\lambda=2\\&\lambda-1=0\to\lambda=1\end{aligned}$$

Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=c_1e^{2x}+c_2e^x$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

$$y_P=e^x\left(A\sin(3x)+B\cos(3x)\right)$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica.

Per la derivata prima abbiamo:

$$\begin{aligned}&y’_P=e^x\left(A\sin(3x)+B\cos(3x)\right)+3e^x\left(A\cos(3x)-B\sin(3x)\right)\\& \\&y’_P=e^x\left((A-3B)\sin(3x)+(3A+B)\cos(3x)\right) \end{aligned}$$

Mentre per la derivata seconda:

$$\begin{aligned}&e^x\left((A-3B)\sin(3x)+(3A+B)\cos(3x)\right)+e^x\left(3(A-3B)\cos(3x)-3(3A+B)\sin(3x)\right)\\&\\&y”_P=e^x\left((-8A-6B)\sin(3x)+(6A-8B)\cos(3x)\right)\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”\color{blue}{-3}y’\color{blue}{+2}y=3e^x\sin(3x)$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$\begin{aligned}&e^x\left((-8A-6B)\sin(3x)+(6A-8B)\cos(3x)\right)\color{blue}{-3}e^x\left((A-3B)\sin(3x)+(3A+B)\cos(3x)\right) \color{blue}{+}\\&\\&\color{blue}{+2}e^x\left(A\sin(3x)+B\cos(3x)\right)=3e^x\sin(3x)\end{aligned}$$

Semplifichiamo per ex entrambi i membri e lavoriamo un po’ i coefficienti del seno e del coseno

$$(-9A+3B)\sin(3x)+(-3A-9B)\cos(3x)=3\sin(3x)+0\cos(3x)$$

Semplifichiamo tutto per 3 e cambiamo i segni

$$(3A-B)\sin(3x)+(A+3B)\cos(3x)=-\sin(3x)+0\cos(3x)$$

A questo punto impostiamo un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti di seno e coseno

$$\begin{cases}3A-B=-1\\A+3B=0 \end{cases}$$

Dalla seconda equazione ricaviamo la A in funzione di B

$$A+3B=0\to A=-3B$$

Sostituiamo nella prima equazione per ricavare il valore di B

$$3A-B=-1\to-9B-B=-1\to10B=1\to B=\frac{1}{10}$$

Quindi otteniamo la A dalla prima

$$A=-3B\to A=-\frac{3}{10}$$

Dunque la soluzione particolare che stiamo cercando è

$$y_P=e^x\left(-\frac{3}{10}\sin(3x)+\frac{1}{10}\cos(3x)\right)$$

Possiamo quindi scrivere la soluzione generale come la somma della soluzione omogenea con la soluzione particolare:

$$y=y_O+y_P\quad\to\quad y=c_1e^{2x}+c_2 e^x+e^x\left(-\frac{3}{10}\sin(3x)+\frac{1}{10}\cos(3x)\right)$$

RISCOPRI LA MATEMATICA

Prepara al meglio il tuo esame, ricostruisci le parti mancanti della matematica.

Comincia un viaggio indimenticabile ed unico che affronta tutte le tappe principali in un percorso che cambierà per sempre il tuo modo di pensare alla matematica.

ESEMPIO 1.2 –  CON ∆=0

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine in cui la funzione q(x) è il prodotto tra una funzione esponenziale e una funzione coseno

$$y”-4y’+4y=13e^{-x}\cos(2x)$$

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-4\lambda+4=0$$

Scomponiamo il lato di sinistra come un quadrato di binomio (∆=0) 

$$\begin{aligned}&\lambda^2-4\lambda+4=0\\&\lambda-2=0\to\lambda=2\end{aligned}$$

Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea è

$$y_O=e^{2x}(c_1+c_2x)$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

$$y_P=e^{-x}\left(A\sin(2x)+B\cos(2x)\right)$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

La derivata prima risulta:

$$\begin{aligned}&y’_P=-e^{-x}\left(A\sin(2x)+B\cos(2x)\right)+2e^{-x}\left(A\cos(2x)-B\sin(2x)\right)\\&\\&y’_P=e^{-x}\left((-A-2B)\sin(2x)+(2A-B)\cos(2x)\right)\end{aligned}$$

Mentre per la derivata seconda abbiamo:

$$\begin{aligned}&-e^{-x}\left((-A-2B)\sin(2x)+(2A-B)\cos(2x)\right)+2e^{-x}\left((-A-B)\cos(2x)-(2A-B)\sin(2x)\right)\\&\\&y”_P=e^{-x}\left((-3A+4B)\sin(2x)+(-4A-3B)\cos(2x)\right)\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”\color{blue}{-4}y’\color{blue}{+4}y=10e^{-x}\sin(2x)$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$\begin{aligned}&e^{-x}\left((-3A+4B)\sin(2x)+(-4A-3B)\cos(2x)\right)\color{blue}{-4}e^{-x}\left((-A-2B)\sin(2x)+(2A-B)\cos(2x)\right)+\\&\\&\color{blue}{+4}e^{-x}\left(A\sin(2x)+B\cos(2x)\right)=13e^{-x}\sin(2x)\end{aligned}$$

Semplifichiamo per ex entrambi i membri e lavoriamo un po’ i coefficienti del seno e del coseno

$$(5A+12B)\sin(2x)+(-12A+5B)\cos(2x)=0\sin(2x)+13\cos(2x)$$

Impostiamo un sistema lineare per eguagliare i coefficienti

$$\begin{cases} 5A+12B=0\\-12A+5B=13\end{cases}$$

Possiamo tra i vari metodi risolutivi applicare il metodo dei determinanti

$$\begin{aligned}&A=\frac{\left| \begin{array}{c} 0&12\\13&5\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} 5&12\\-12&5\end{array} \right|} =\frac{0-12\cdot13}{169}=-\frac{12}{13}\\ \ \\&B=\frac{\left| \begin{array}{c} 5&0\\-12&13\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} 5&12\\-12&5\end{array} \right|} =\frac{5\cdot13-0}{169}=\frac{5}{13} \end{aligned}$$

Dunque la soluzione particolare che stiamo cercando è

$$y_P=e^{-x}\left(-\frac{12}{13}\sin(2x)+\frac{5}{13}\cos(2x)\right)$$

Scriviamo dunque la soluzione generale come la somma della soluzione omogenea con la soluzione particolare:

$$y=y_O+y_P\quad\to\quad e^{2x}(c_1+c_2x)+e^{-x}\left(-\frac{12}{13}\sin(2x)+\frac{5}{13}\cos(2x)\right)$$

ESEMPIO 1.3 -CON ∆<0

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine

$$y”-2y’+10y=e^{2x}\left(11\sin(-x)-7\cos(-x)\right)$$

Per comodità ho tenuto identica la funzione esponenziale a destra.

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-2\lambda+10=0$$

Il delta quarti dell’equazione di secondo grado risulta negativo, infatti

$$\frac{\Delta}{4}=1-10=-9$$

Dunque le soluzioni immaginarie sono 

$$\lambda_{12}=1\pm\sqrt{-9}=1\pm3i$$

La parte reale 𝛼 e quella immaginaria 𝛽 sono rispettivamente:

$$\alpha=1\quad\beta=3$$

Quindi la soluzione dell’equazione differenziale omogenea è

$$y_O=e^x\left(c_1\cos(3x)+c_3\sin(3x)\right)$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

$$y_P=e^{2x}\left(A\sin(-x)+B\cos(-x)\right)$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

Per la derivata prima abbiamo:

$$\begin{aligned}&y’_P=2e^{2x}\left(A\sin(-x)+B\cos(-x)\right)-e^{-2x}\left(A\cos(-x)-B\sin(-x)\right)\\&\\&y’_P=e^{2x}\left((2A+B)\sin(-x)+(-A+2B)\cos(-x)\right)\end{aligned}$$

Mentre per la derivata seconda otteniamo:

$$\begin{aligned}&2e^{2x}\left((2A+B)\sin(-x)+(-A+2B)\cos(-x)\right)-e^{2x}\left((2A+B)\cos(-x)-(-A+2B)\sin(-x)\right)\\&\\&y”_P=e^{2x}\left((3A+4B)\sin(-x)+(-4A+3B)\cos(-x)\right)\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”\color{blue}{-2}y’\color{blue}{+10}y=e^{2x}\left(11\sin(-x)-7\cos(-x)\right)$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$\begin{aligned}&e^{2x}\left((3A+4B)\sin(-x)+(-4A+3B)\cos(-x)\right)\color{blue}{-2}e^{2x}\left((2A+B)\sin(-x)+(-A+2B)\cos(-x)\right)+\\&\\&\color{blue}{+10}e^{2x}\left(A\sin(-x)+B\cos(-x)\right)=e^{2x}\left(11\sin(-x)-7\cos(-x)\right)\end{aligned}$$

Semplifichiamo per ex entrambi i membri e lavoriamo un po’ i coefficienti del seno e del coseno

$$(9A+2B)\sin(-x)+(-2A+9B)\cos(-x)=11\sin(-x)-7\cos(-x)$$

Impostiamo un sistema lineare per eguagliare i coefficienti

$$\begin{pmatrix} 9A+2B=11\\-2A+9B=7\end{pmatrix}$$

Possiamo tra i vari metodi risolutivi applicare il metodo dei determinanti

$$\begin{aligned}&A=\frac{\left| \begin{array}{c} 11&2\\7&9\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} 9&2\\-2&9\end{array} \right|} =\frac{99-14}{81+4}=-\frac{85}{85}=1\\ \ \\&B=\frac{\left| \begin{array}{c} 9&11\\-2&7\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c}9&2\\-2&9\end{array} \right|} =\frac{63+22}{81+4}=\frac{85}{85} =1\end{aligned}$$

Dunque la soluzione particolare che stiamo cercando è

$$y_P=e^{2x}\left(\sin(-x)+\cos(-x)\right)$$

Otteniamo quindi la soluzione generale sommando alla soluzione omogenea quella particolare:

$$y=y_O+y_p\quad\to\quad y=e^x\left(c_1\cos(3x)+c_3\sin(3x)\right)+e^{2x}\left(\sin(-x)+\cos(-x)\right)$$

ESEMPIO 2 – CASO PARTICOLARE CON  α=γ    e   β=w

Vediamo ora un esempio con il baso particolare in cui la parte reale 𝛼 della soluzione complessa coincide con il parametro 𝛾 che troviamo all’esponenziale.

Mentre la parte immaginaria 𝛽 coincide con il parametro w all’interno dell’argomento del seno e del coseno.

$$y”-6y’+13y=e^{3x}(4\sin(2x)-3\cos(2x)$$

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-6\lambda+13=0$$

Il delta quarti dell’equazione è certamente negativo, infatti

$$\frac{\Delta}{4}=9-13=-4$$

 dunque le soluzioni sono complesse e sono

$$\lambda_{1,2}=3\pm2i$$

Quindi la soluzione dell’equazione omogenea è:

$$y_O=e^{3x}(c_1\sin(2x)+c_2\cos(2x)$$

Ci accogliamo immediatamente che la forma classica della soluzione particolare non è ammessa in quanto già contenuta nella soluzione dell’omogenea

$$y_P=e^{3x}(A\sin(2x)+B\cos(2x)\quad \text{identica alla soluzione omogenea!!!}$$

Dunque dobbiamo moltiplicarla per x

$$y_P=xe^{3x}(A\sin(2x)+B\cos(2x))\quad\text{soluzione corretta!!!}$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

La derivata prima è:

$$\begin{aligned}&y’_P=e^{3x}\left(A\sin(2x)+B\cos(2x)\right)+3x\ e^{3x}(A\sin(2x)+B\cos(2x))+2x\ e^{3x}(A\cos(2x)-B\sin(2x))\\&y’_P=e^{3x}\left(\left((3A-2B)x+A\right)\sin(2x)+\left((2A+3B)x+B\right)\cos(2x)\right)\end{aligned}$$

Mentre la derivata seconda:

$$\begin{aligned}&y”_P=3 e^{3x}\left(\left((3A-2B)x+A\right)\sin(2x)+\left((2A+3B)x+B\right)\cos(2x)\right)+\\&+e^{3x}\left(3A\sin(2x)+2\left((3A-2B)x+A\right)\cos(2x)+3B\cos(2x)-2\left((2A+3B)x+B\right)\sin(2x)\right)\\&\ \\&y”=e^{3x}\left(\left((5A-12B)x+(6A-2B)\right)\sin(2x)+\left((12A+5B)x+(2A+6B)\right)\cos(2x)\right)\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”\color{blue}{-6}y’\color{blue}{+13}y=e^{3x}(4\sin(2x)-3\cos(2x))$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi e semplificando per l’esponenziale

Lavoriamo bene prima la parte sinistra

$$\begin{aligned}&\left((5A-12B)x+(6A-2B)\right)\sin(2x)+\left((12A+5B)x+(2A+6B)\right)\cos(2x)+ \\& \\& \color{blue}{-6}\left((3A-2B)x+A\right)\sin(2x)+\left((2A+3B)x+B\right)\cos(2x)\color{blue}{+13}x(A\sin(2x)+B\cos(2x))\end{aligned}$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione e riportiamo l’equazione

$$-2B\sin(2x)+2A\cos(2x)=4\sin(2x)-3\cos(2x)$$

A questo punto impostiamo un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti di seno e coseno

$$\begin{cases}-2B=4\\4A=-3 \end{cases}$$

Da cui ricaviamo immediatamente i valori di A e B

$$A0-2\qquad B=-\frac{3}{4}$$

Dunque la soluzione particolare che stiamo cercando è

$$y_P=-x\ e^{3x}\left(2\sin(2x)-+\frac{3}{4}\cos(2x)\right)$$

Otteniamo la soluzione generale sommando alla soluzione omogenea la soluzione particolare:

$$y=y_O+y_P\ :\quad\to\\ \ \\ y=e^{3x}(c_1\sin(2x)+c_2\cos(2x))-x\ e^{3x}\left(2\sin(2x)+\frac{3}{4}\cos(2x)\right)$$

HAI QUALCHE DOMANDA SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE: ESPONENZIALE PER SENO E COSENO?

Se questo articolo ti ha fatto venire qualche domanda scrivila nei commenti.

RISCOPRI LA MATEMATICA

Prepara al meglio il tuo esame, ricostruisci le parti mancanti della matematica.

Comincia un viaggio indimenticabile ed unico che affronta tutte le tappe principali in un percorso che cambierà per sempre il tuo modo di pensare alla matematica.

L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?

Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale

Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica

Visita il canale YouTube!