In questo articolo vediamo come calcolare la lunghezza di una curva (chiamiamola 𝛾) scritta in forma parametrica.
La forma sintetica con cui scriviamo tale lunghezza è un integrale.
$$L_\gamma=\int_\gamma ds \\ \ \\ \begin{aligned}&\text{$\gamma$ è la curva che stiamo analizzando}\\&\text{$ds$ è un pezzettino infinitesimo di questa curva}\end{aligned}$$
Tale espressione si legge: “integrale lungo la curva 𝛾 nei suoi pezzettini ds”
Scritta in maniera più “pesante” la lunghezza di questa curva diventa
$$ L_\gamma=\int_a^b|r'(t)|dt\\ \begin{aligned}&\text{$r'(t)$ è ilvettore derivato di $r(t)$}\\&\text{$|r'(t)|$ è il modulo del vettore derivato di $$r(t)}\\&\text{$a,b$ sono gli estremi di integrazione}\\&\text{$dt$ è un pezzetto infinitesimo dell’intervallo $[a,b]$}\end{aligned}$$
Leggiamo in questo modo questa scrittura: ” integrale che va da a a b del modulo di r'(t) in dt”
INDICE
NOTA IMPORTANTE
Se sei arrivato su questa pagina so già che probabilmente è perché stai cercando di comprendere unargomento tortuoso che ti tedia durante il giorno e ti porti ad incubi notturni nel sonno.
Se sei veramente tu questa persona ti confido una cosa importante.
Sappi che questa condizione è del tutto normale quando si affrontano questioni così delicate e sublimi e ti dirò un segreto che risolverà per sempre questa tua angosciante situazione.
Per comprendere questo argomento è importante partire dalle premesse teoriche ma ricorda: abbina alla teoria degli esempi pratici!
In questo modo comincerai a digerire meglio queste nozioni.
Dopo aver fatto almeno tre esercizi pratici ritorna ancora alla teoria e noterai che magicamente sarà tutto molto più chiaro.
Al termine di questa operazione continua con altri tre esercizi e poi rileggi ancora la teoria.
Il tocco finale è quello di fare in solitaria altri tre esercizi (anche quelli che hai letto la prima volta senza scrivere).
Quindi in definitiva servono testa, cuore e ovviamente una penna, un foglio ed una calcolatrice 😉
PREMESSE SULLA CURVA E SULLA SUA LUNGHEZZA
Cominciamo col dire che una curva può essere scritta in forma parametrica mediante un vettore di due o tre componenti a secondo che si trovi su un piano o nello spazio.
LUNGHEZZA DI UNA CURVA NEL PIANO
Una curva 𝛾 nel piano è scritta con un vettore di due componenti e si presenta nel seguente modo:
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t) \end{pmatrix}\qquad \text{con }\ t\in[a,b]$$
Dove le due componenti del vettore x(t) e y(t) sono scritte rispetto ad un certo parametro t che appartiene in genere ad un certo intervallo chiuso e limitato [a,b]
In particolare a e b sono detti estremi di tale intervallo.
Una cosa che dobbiamo immediatamente fare dopo che ci viene presentata la curva è calcolare il suo vettore derivati r'(t)
$$\gamma:\quad r'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t) \end{pmatrix}\qquad \text{con }\ t\in[a,b]$$
dove in particolare
$$\text{$x'(t),y'(t)$ sono le derivate delle componenti $x(t),y(t)$}$$
Fatta questa operazione calcoliamo immediatamente il modulo del vettore derivato.
Tale modulo è la somma dei quadrati delle componenti
$$|r'(t)|=\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}$$
Infine non ci resta che applicare la formula generale per il calcolo della lunghezza di una curva in forma parametrica
$$L_\gamma=\int_a^b|r'(t)\ dt$$
Si legge “integrale che va dal punto a al punto b del modulo di r'(t) in dt”
Molto spesso per indicare in maniera sintetica questa scrittura scriviamo
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds$$
Ovvero “integrale lungo la curva gamma in ds”
LUNGHEZZA DI UNA CURVA NELLO SPAZIO
Possiamo replicare in modo identico il ragionamento fatto sulle curve del piano per le curve dello spazio.
Queste curve vengono parametrizzate mediante vettori con tre componenti dipendenti unicamente dal parametro t definito nell’intervallo reale [a,b]
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t) \end{pmatrix}\qquad \text{con }\ t\in[a,b]$$
Il vettore derivato di r(t) si chiama r'(t) e possiede tutte le componenti derivate rispetto al parametro t
$$\gamma:\quad r'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t) \end{pmatrix}\qquad \text{con }\ t\in[a,b]$$
Esattamente come nel caso a due dimensioni il modulo del vettore derivato è la somma dei quadrati delle componenti
$$|r'(t)|=\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2+\left(z'(t)\right)^2}$$
La lunghezza della curva rimane sempre
$$L_\gamma=\int_a^b|r'(t)|\ dt$$
Si legge “integrale che va dal punto a al punto b del modulo di r'(t) in dt”
che possiamo sintetizzare con la scrittura veloce
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds$$
Ovvero “integrale lungo la curva gamma in ds”
GENERALIZZAZIONE IN PIÙ VARIABILI
Alla matematica ed in particolare ai matematici come me piace sempre generalizzare al massimo un problema, anche se questo non risulta più visibile in un grafico.
Dunque prima di vedere gli esercizi pratici voglio ancora “torturarvi ancora un po’ su questa questione” 😉
Tutto quello che abbiamo in due e tre variabili è generalizzabile anche in n variabili.
In questo caso la curva r(t) viene presentata con un vettore di n componenti
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\\cdots\\x_n(t) \end{pmatrix}\qquad \text{con }\ t\in[a,b]$$
Di conseguenza anche il vettore derivato possiede le n-derivate rispetto a t
$$\gamma:\quad r'(t)=\begin{pmatrix}x’_1(t)\\x’_2(t)\\\cdots\\x’_n(t) \end{pmatrix}\qquad \text{con }\ t\in[a,b]$$
Quindi nel modulo del vettore derivato compare la sommatore dei quadrati delle n componenti
$$|r'(t)|=\sqrt{\left(x_1′(t)\right)^2+\left(x_2′(t)\right)^2+\cdots+\left(x_n'(t)\right)^2}$$
ESEMPI DI CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DI UNA CURVA
Bando alle ciance e cominciamo subito con una serie di esercizi pratici in cui andiamo a calcolare la lunghezza di una curva.
ESEMPIO 1 – LUNGHEZZA DI UNA CURVA
Calcoliamo la lunghezza della curva 𝛾 descritta dal vettore di R2 r(t)
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix} 3(t^2-t)\\4\sqrt{2t^3}\end{pmatrix}\qquad t\in[1,2]$$
Calcoliamo per prima cosa il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix} 3(2t-1)\\4\sqrt{2}\frac{3}{2}t^\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3(2t-1)\\6\sqrt{2}\sqrt{t}\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2t-1\\2\sqrt{2}\sqrt{t} \end{pmatrix}$$
In secondo luogo occupiamoci del modulo di r'(t)
$$\begin{aligned}&|r'(t)|=3\sqrt{(2t-1)^2+8t}\\&|r'(t)|=3\sqrt{4t^2-4t+1+8t}\\&3\sqrt{4t^2+4t+1}\end{aligned}$$
Ci rendiamo immediatamente conto del fatto che dentro la radice quadrata abbiamo un quadrato di binomio
$$|r'(t)|=3\sqrt{(2t+1)^2}=3(2t+1)$$
In questo caso abbiamo omesso il modulo dopo la semplificazione poiché nell’intervallo di definizione [1,2] tale quantità è certamente positiva.
Ora procediamo con il calcolo della lunghezza della curva 𝛾applicando la formula generale
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds=\int_1^2|r'(t)|\ dt=\int_1^23(2t+1)\ dt$$
Spostiamo al di fuori la costante ed integriamo in modo molto semplice il polinomio
$$L_\gamma=3\int_1^2(2t+1)\ dt=[t^2+t]_1^2$$
Non ci resta che calcolare l’integrale definito
$$L_\gamma=3[(4+2)-(1+1)]=12$$
ESEMPIO 2 –
Questo metodo dei vettori per esprimere la lunghezza di una curva è molto utile anche quando abbiamo a che fare con le funzioni tradizionali ad una variabile.
Ad esempio per calcolare la lunghezza dell’arco di radice quadrata che va da 0 a 1.
Chiaramente in questo caso la funzione in oggetto è
$$y=\sqrt{x}\qquad\text{con }\ 0\le x\le1$$
Possiamo parametrizzare questa funzione con un vettore molto semplice di due componenti
$$r(t)=\begin{pmatrix} t^2\\t\end{pmatrix}\qquad t\in[0,1]$$
Calcoliamo quindi il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix} 2t\\1\end{pmatrix}\qquad t\in[0,1]$$
In secondo luogo occupiamoci del modulo di r'(t)
$$|r'(t)|=\sqrt{4t^2+1}$$
Procediamo infine con il calcolo della lunghezza della curva 𝛾applicando la formula generale
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds=\int_0^1|r'(t)|\ dt=\int_0^1\sqrt{4t^2+1}\ dt$$
Per calcolare questo integrale procediamo con la seguente sostituzione
$$v=2t+\sqrt{4t^2+1}$$
Isoliamo il radicale a destra
$$v-2t=\sqrt{4t^2+1}$$
Possiamo dunque la t in funzione della v elevando al quadrato e svolgendo i conti
$$\begin{aligned}&(v-2t)^2=4t^2+1\\&v^2-4tv+4t^2=4t^2+1\\&4tv=v^2-1\\&t=\frac{v^2-1}{4v}\end{aligned}$$
Ritorniamo dunque alla situazione dove abbiamo isolato il radicale che affermava
$$\sqrt{4t^2+1}=v-2t$$
Piazziamo quindi il valore della t appena trovato
$$\sqrt{4t^2+1}=v-2\frac{v^2-1}{4v}$$
Svolgendo i conti a destra abbiamo il valore del radicale sottoposto all’integrale
$$\sqrt{4t^2+1}=\frac{2v^2-v^2+1}{4v}=\frac{v^2+1}{2v}$$
Ora occupiamoci dei differenziali sempre ripartendo dalla funzione che esprime t in funzione di v
$$t=\frac{v^2-1}{4v}$$
Differenziamo ambo i membri
$$\begin{aligned}&dt\cdot1=\frac{2v\cdot4v-(v^2-1)\cdot4}{16v^2}dv\\&dt=\frac{2v^2-(v^2-1)}{4v^2}dv\\&dt=\frac{v^2+1}{4v^2}dv\end{aligned}$$
Essendo in ballo una sostituzione dobbiamo anche trasformare gli estremi di integrazione ricordando sempre che per la sostituzione iniziale
$$v=2t+\sqrt{4t^2+1}$$
Trasformiamo dunque i due estremi
$$\begin{array}{l}t=0&\to&v=2\cdot0+\sqrt{4\cdot0^2+1}=1\\t=\&\to&v=2\cdot1+\sqrt{4\cdot1^2+1}=2+\sqrt{5}\end{array}$$
Ora torniamo al nostro integrale di partenza
$$\int_0^1\sqrt{4t^2+1}dt$$
e sostituiamo i preziosi risultati
$$\sqrt{4t^2+1}=\frac{v^2+1}{2v}\qquad dt=\frac{v^2+1}{4v^2}dv\quad v\in[1,2+\sqrt{5}]$$
Nell’integrale di partenza:
$$\begin{aligned}&\int_1^{2+\sqrt{5}}\frac{v^2+1}{2v}\cdot\frac{v^2+1}{4v^2}dv=\\&\frac{1}{8}\int_1^{2+\sqrt{5}}\frac{(v^2+1)^2}{v^3}dv=\\&\frac{1}{8}\int_1^{2+\sqrt{5}}\left(\frac{v^4+2v^2+1}{v^3}\right)dv\end{aligned}$$
Possiamo dunque spezzare la frazione e concludere
$$\begin{aligned}&\frac{1}{8}\int_1^{2+\sqrt{5}}\left(v+2\cdot\frac{1}{v}+\frac{1}{v^3}\right)dv=\\&\frac{1}{8}\left[\frac{v^2}{2}+2\log|v|-\frac{1}{2v^2}\right]_1^{2+\sqrt{5}}\\&\frac{1}{8}\left[\left(\frac{(2+\sqrt{5}}{2}+2\log|2+\sqrt{5}|-\frac{1}{2\left(2+\sqrt{5}\right)^2}\right)-\left(\frac{1}{2}-2\log1-\frac{1}{2}\right)\right]\end{aligned}$$
Sviluppando i conti abbiamo il valore della lunghezza della curva cercata
$$L_\gamma=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{4}\log\left(2+\sqrt{5}\right)$$
Sia ben inteso che questo integrale di partenza
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds=\int_0^1|r'(t)|\ dt=\int_0^1\sqrt{4t^2+1}dt$$
Poteva anche essere risolto con la sostituzione
$$t=\frac{1}{2}\tan u$$
ESEMPIO 3 –
Vediamo ora l’esempio di un’altra curva “tradizionale”.
Vogliamo calcolare la lunghezza della semicirconferenza destra con centro nell’origine degli assi e raggio 3.
Gli amanti di matematica come non possono non sapere che si tratta della circonferenza di equazione
$$\gamma:\quad x^2+y^2=9\qquad\text{con }\ x\ge0$$
Possiamo parametrizzare questa funzione grazie al parametro 𝜃 angolo
$$\gamma:\quad r(\theta)=3\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta \end{pmatrix}\qquad\theta\in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Calcoliamo quindi il vettore derivato r'(t)
$$r'(\theta)=3\begin{pmatrix} -\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}$$
In secondo luogo occupiamoci del modulo di r'(t)
$$|r'(\theta)|=3\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=3$$
(inutile dire che abbiamo applicato la relazione fondamentale della goniometria)
Procediamo infine con il calcolo della lunghezza della curva 𝛾applicando la formula generale
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}|r'(\theta)|d\theta=3\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}d\theta$$
A questo punto diventa un gioco da ragazzi
$$3[\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}=3\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=3\pi$$
Da notare che avremmo potuto farlo anche senza integrali se conosciamo la formula della lunghezza di una circonferenza.
ESEMPIO 4 –
Calcoliamo la lunghezza della curva 𝛾 descritta dal vettore di R2 r(t)
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix} t-\sin t\\1-\cos t\end{pmatrix}\qquad t\in[0,2\pi]$$
Calcoliamo per prima cosa il vettore derivato r'(t)
$$r'(\theta)=\begin{pmatrix} 1-\cos t\\\sin t\end{pmatrix}$$
In secondo luogo occupiamoci del modulo di r'(t)
$$\begin{aligned}&|r'(t)|=\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2}\\&|r'(t)|=\sqrt{1-2\cos t+\cos^2t+\sin^2t}\end{aligned}$$
Applicando la relazione fondamentale della goniometria otteniamo
$$|r'(t)|=\sqrt{2-2\cos t}=\sqrt{2}\sqrt{1-\cos t}$$
Ora procediamo con il calcolo della lunghezza della curva 𝛾applicando la formula generale (spostiamo fuori la costante)
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds=\int_0^{2\pi}|r'(t)|dt=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos t}dt$$
Usiamo questo stratagemma: moltiplichiamo sia al numeratore che al denominatore per (1+cost)
$$\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sqrt{(1-\cos t)\frac{1+\cos t}{1+\cos t}}dt=$$
Al numeratore otteniamo
$$\begin{aligned}&(1-\cos t)(1+\cos t)=1-\cos^2t=\sin^2t\\&\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sqrt{\frac{\sin^2t}{1+\cos t}}dt\end{aligned}$$
Applicando la radice ad entrambi numeratore e denominatore otteniamo
$$\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\frac{|\sin t|}{\sqrt{1+\cos t}}dt$$
Il passaggio del modulo non è banale, dunque se vogliamo toglierlo troviamo un intervallo in cui il seno è positivo.
Se scegliamo l’intervallo da 0π e π il suo integrale risulta essere perfettamente la metà (questo per la simmetria ella funzione da integrare) dunque lo raddoppiamo
$$2\sqrt{2}\int_0^\pi\frac{\sin t}{\sqrt{1+\cos t}}dt=$$
Questo integrale può essere riletto come la potenza di una funzione per la sua derivata
$$2\sqrt{2}\int_0^\pi(1+\cos t)^{-\frac{1}{2}}\sin t\ dt=$$
Aggiustiamo il segno
$$-2\sqrt{2}\int_0^\pi(1+\cos t)^{-\frac{1}{2}}(-\sin t)\ dt=$$
Integriamo
$$\begin{aligned}&-2\sqrt{2}\left[\frac{(1+\cos t)^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\right]_0^\pi=\\&-4\sqrt{2}\left[\sqrt{1+\cos\pi}-\sqrt{1+\cos0}\right]=\\&-4\sqrt{2}\left[\sqrt{1-1}-\sqrt{1+1}\right]=\\&-4\sqrt{2}\left[0-\sqrt{2}\right]=8\end{aligned}$$
Dunque la nostra lunghezza cercata è pari a 8.
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ESEMPIO 5 – LUNGHEZZA DI UNA CURVA
Calcoliamo la lunghezza della curva 𝛾 descritta dal vettore di R2 r(t)
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix} t\\\log (\cos t)\end{pmatrix}\qquad t\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$$
Calcoliamo per prima cosa il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix} 1\\\frac{-\sin t}{\cos t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-\tan t\end{pmatrix}$$
In secondo luogo occupiamoci del modulo di r'(t)
$$|r'(t)|=\sqrt{1+\tan^t}=\sec t$$
Ricordiamo che tangente, 1 e secante formano una relazione pitagorica dove la secante è l’ipotenusa
Omettiamo inoltre il modulo poiché nell’intervallo [0, π/4] i valori sono tutti certamente positivi
Procediamo quindi con il calcolo della lunghezza della curva 𝛾applicando la formula generale (spostiamo fuori la costante)
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds=\int_0^\frac{\pi}{4}|r'(t)|dt=\int_0^\frac{\pi}{4}\sec t\ dt$$
Per integrare la secante usiamo una procedura atipica.
Vi lascio questo link per capire meglio come giungere al risultato finale.
$$\left[\log(\tan t+\sec t)\right]_0^\frac{\pi}{4}$$
Calcoliamo dunque l’integrale definito
$$\begin{aligned}&\log\left(\tan\frac{\pi}{4}+\sec\frac{\pi}{4}\right)-\log(\tan0+\sec0)=\\&\log(1+\sqrt{2})-\log(0+1=)=\log(1+\sqrt{2})\\&\end{aligned}$$
Ecco trovata la lunghezza della nostra curva
ESEMPIO 6 –
Passiamo ad un esempio con un vettore di tre componenti
Calcoliamo la lunghezza della curva 𝛾 descritta dal vettore di R3 r(t)
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix} t\\\sqrt{2}\log t\\\frac{1}{t}\end{pmatrix}\qquad t\in[1,2]$$
Calcoliamo per prima cosa il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix} 1\\\frac{\sqrt{2}}{t}\\-\frac{1}{t^2}\end{pmatrix}$$
In secondo luogo occupiamoci del modulo di r'(t)
$$|r'(t)|=\sqrt{1+\frac{2}{t^2}+\frac{1}{t^4}}$$
Facciamo il denominatore comune
$$|r'(t)|=\sqrt{\frac{t^4+2t^2+1}{t^4}}$$
Al numeratore riconosciamo un quadrato di binomio
$$|r'(t)|=\sqrt{\frac{(t^2+1)^2}{t^4}}=\frac{t^2+1}{t^2}$$
Naturalmente omettiamo il modulo poiché nell’intervallo considerato il modulo del vettore derivato risulta certamente positivo
Procediamo quindi con il calcolo della lunghezza della curva 𝛾applicando la formula generale (spostiamo fuori la costante)
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds=\int_1^2|r'(t)|\ dt=\int_1^2\left(\frac{t^2+1}{t^2}\right)dt
Spezziamo la frazione e integriamo
$$\int_1^2\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt=\left[t-\frac{1}{t}\right]_1^2=\left(2-1\frac{1}{2}\right)-(1-1)=\frac{3}{2}$$
ESEMPIO 7 – LUNGHEZZA DI UNA CURVA
Calcoliamo la lunghezza della curva 𝛾 descritta dal vettore di R3 r(t)
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix}2e^\frac{t}{2}\\\sin t\\\cos t \end{pmatrix}\qquad t\in[\log3,3\log2]$$
Calcoliamo per prima cosa il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix} e^\frac{t}{2}\\\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}$$
In secondo luogo occupiamoci del modulo di r'(t)
$$|r'(t)|=\sqrt{e^t+\cos^2t+\sin^2t}=\sqrt{e^t+1}$$
Procediamo quindi con il calcolo della lunghezza della curva 𝛾applicando la formula generale (spostiamo fuori la costante)
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds=\int_{\log3}^{3\log2}|r'(t)|\ dt=\int_{\log3}^{3\log2}\sqrt{e^t+1}dt
Procediamo per sostituzione chiamando u tutto l’argomento dell’integrale
$$u=\sqrt{e^t+1}$$
Prima di dimenticarcene trasformiamo gli estremi dell’integrale
$$\begin{array}{l}t_1=\log3&\to&u_1=\sqrt{e^{\log3}+1}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\t_2=3\log2=\log8&\to&u_1=\sqrt{e^{\log8}+1}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3\end{array}$$
Ripartendo dalla sostituzione eleviamo ambo i membri al quadrato
$$u^2=e^t+1$$
Isoliamo l’esponenziale e ricaviamo la t in funzione della u
$$e^t=u^2-1\quad\to\quad t=\log(u^2-1)$$
Ragioniamo ora sui differenziali
$$dy=\frac{2u}{u^2-1}du$$
Ora andiamo a riscrivere tutto l’integrale in termini della variabile u
$$\int_{\log3}^{3\log2}\sqrt{e^t+1}dt=\int_2^3u\frac{2u}{u^2-1}du=2\int_2^3\frac{u^2}{u^2-1}du$$
Per spaccare la frazione usiamo il trucchetto della somma e della sottrazione della costante
$$2\int_2^3\frac{u^2\color{blue}{+1-1}}{u^2-1}=2\int_2^3\left(\frac{u^2-1}{u^2-1}+\frac{1}{u^2-1}\right)du=2\int_2^3\left(1+\frac{1}{u^2-1}\right)du$$
In alternativa potevamo fare questa operazione con la classica divisione polinomiale ricordando che nell’integrazione di funzioni fratte vale la regola
$$\int\frac{n(x)}{d(x)}\ dx=\int q(x)\ dx+\int\frac{r(x)}{d(x)}\ dx\\ \ \\\text{$q(x),r(x)$ sono il quoziente e il resto della divisione}$$
A questo punto non ci resta che fare l’integrale della fratta (omettiamo momentaneamente gli estremi)
$$\int\frac{1}{u^2-1}\ dx$$
Siccome il denominatore di secondo grado è scomponibile (delta positivo) applichiamo la regola di A e B che ci porterà ai logaritmi.
Concentriamo la nostra attenzione sulla frazione interna
$$\frac{ou+1}{(u+1)(u-1)}=\frac{A}{u+1}+\frac{B}{u-1}$$
Moltiplichiamo tutto per il denominatore comune
$$0u+1=A(u-1)+B(u+1)$$
Riscriviamo entrami i membri come polinomi in u di primo grado
$$0u+1=(A+B)u+(-A+B)$$
Impostiamo un sistema lineare per eguagliare i coefficienti
$$\begin{cases}A+B=0\\-A+B=1 \end{cases}$$
Dalla prima equazione ricaviamo la A in funzione di B
$$A=-B$$
Sostituiamo nella seconda equazione per ricavare il valore della B
$$B+B=1\to 2B=1\to B=\frac{1}{2}$$
A questo punto ritorniamo nella prima equazione per trovare la A
$$A=-\frac{1}{2}$$
In definitiva abbiamo trovato
$$\begin{cases}A=-\frac{1}{2}\\B=\frac{1}{2} \end{cases}$$
Adesso che abbiamo trovato A e B possiamo riscrivere l’integrale
$$\int\frac{1}{u^2-1}\ dx=\int\left(\frac{-\frac{1}{2}}{u+1}+\frac{\frac{1}{2}}{u-1}\right)du$$
Inseriamo questo risultato indefinito nell’integrale definito principale
$$2\int_2^3\left(1+\frac{1}{u^2-1}\right)=2\int_2^3\left(1+\frac{-\frac{1}{2}}{u+1}+\frac{\frac{1}{2}}{u-1}\right)du$$
Integriamo quindi in maniera elementare e calcoliamo il valore finale
$$2\left[u-\frac{1}{2}\log(u+1)+\frac{1}{2}\log(u-1)\right]_2^2$$
(da notare l’assenza del modulo in quanto nell’intervallo (2,3) tutti i valori sono positivi)
$$\begin{aligned}&[2u-\log(u+1)+\log(u-1)]_2^3=\\&(6-\log4+\log2)-(4-\log3+\log1)=\\&(6-2\log2+\log2)-(4-\log3+\log1)=\end{aligned}$$
In definitiva la lunghezza della curva cercata è
$$L_\gamma=2-\log2+\log3\approx2,4055$$
ESEMPIO 8 –
Calcoliamo la lunghezza della curva 𝛾 descritta dal vettore di R3 r(t)
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix}3t\cos t\\3\sin t\\4t \end{pmatrix}\qquad t\in[0,5]$$
Calcoliamo per prima cosa il vettore derivato r'(t) : attenzione alle derivate dei prodotti!
$$r'(t)=\begin{pmatrix}3\cos t-3t\sin t\\3\sin t+3t\cos t\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3(\cos t-t\sin t)\\3(\sin t+3t\cos t)\\4\end{pmatrix}$$
In secondo luogo occupiamoci del modulo di r'(t)
$$|r'(t)|=\sqrt{9(\cos t-t\sin t)^2+9(\sin t+3t\cos t)^2+16}$$
Svolgiamo i calcoli interni al radicale
$$9(\cos^2t-t^2\sin^t-2t\sin t\cos t)+9(\sin^2+t^2\cos^2t+2t\sin t\cos t)+16$$
Raccogliamo il 9, semplifichiamo i doppi prodotti, raccogliamo internamente
$$9\left((\cos^2t+\sin^2t)+t^2(\sin^2t+\cos^2t)\right)+16$$
Per la relazione fondamentale della goniometria otteniamo
$$9(1+t^2)+16=25+9t^2$$
Dunque infine il modulo del vettore derivato vale
$$|r'(t)|=\sqrt{25+9t^2}$$
Passiamo quindi alla lunghezza della curva 𝛾 applicando la formula generale
$$L_\gamma=\int_\gamma\ ds=\int_0^5|r'(t)|\ dt=\int_0^5\sqrt{25+9t^2}\ dt$$
Adesso comincia la parte difficile per risolvere questo integrale ed in particolare useremo il metodo delle funzioni iperboliche
Raccogliamo per prima cosa a fattor comune il 25 e spostiamo fuori dall’integrale
$$\int_0^5\sqrt{25\left(1+\frac{9}{25}t^2\right)}dt=5\int_0^5\sqrt{1+\left(\frac{3}{5}\right)^2}dt$$
Operiamo ora la seguente sostituzione
$$\frac{3}{5}t=\sinh(u)\to t=\frac{5}{3}\sinh(u)$$
Ricordiamo che la funzione seno e coseno iperbolico sono rispettivamente
$$\sinh(u)=\frac{e^u-e^{-u}}{2}\quad \cosh(u)=\frac{e^u+e^{-u}}{2}$$
Ragioniamo ora sui differenziali
$$dt=\frac{5}{3}\cosh(u)\ du$$
Per cambiare gli estremi di integrazione ricaviamo il valore di u in funzione della t
$$\sinh(u)=\frac{3}{5}t\to u=\sinh^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$$
Dunque tali estremi risultano
$$\begin{array}{l}t_1=0&\to&u_1=\sinh^{-1}(0)=0\\t_2=5&\to&\sinh^{-1}(3)=1,818446…\end{array}$$
Scriviamo ora il nostro integrale con tutte le sostituzioni in u
$$5\int_0^{\sinh^{-1}(3)}\sqrt{1+\sinh^2(u)}\frac{5}{3}\cosh(u)\ du$$
Per la relazione fondamentale delle funzioni iperboloidi abbiamo che
$$1+\sinh^2(u)*\cosh^2(u)$$
Dunque riscriviamo meglio spostando anche fuori le costanti
$$\frac{25}{3}\int_0^{\sinh^{-1}(3)}\sqrt{\cosh^2(u)}\cosh(u)\ du=$$
Semplifichiamo il radicale
$$\begin{aligned}&\frac{25}{3}\int_0^{\sinh^{-1}(3)}\cosh(u)\cosh(u)\ du=\\&\frac{25}{3}\int_0^{\sinh^{-1}(3)}\cosh^2(u)\ du\end{aligned}$$
Per la formula di bisezione del coseno iperbolico si verifica che
$$\cosh(u)=\frac{\cosh(2u)+1}{2}$$
Dunque sostituendo
$$\begin{aligned}&\frac{25}{3}\int_0^{\sinh^{-1}(3)}\frac{\cosh(2u)+1}{2}\ du=\\&\frac{25}{6}\int_0^{\sinh^{-1}(3)}\left(\cosh(2u)+1\right) du\end{aligned}$$
Integriamo ambo i membri della somma
$$\frac{25}{6}\left[\frac{1}{2}\sinh(2u)+u\right]_0^{\sinh^{-1}(3)}$$
Ricordiamo anche che per la formula di duplicazione del seno iperbolico abbiamo che
$$\sinh(u)=2\sinh(u)\cosh(u)$$
Quindi possiamo riscrivere il nostro integrale come segue:
$$\frac{25}{6}[\sinh(u)\cosh(u)+u]_0^{\sinh^{-1}(3)}$$
Al momento della sostituzione risulta doveroso dire che per le scelte iniziali di sostituzione
$$\sinh(u)=t\to\sinh(\sinh^{-1}(3))=3$$
Per la relazione fondamentale sappiamo inoltre che
$$\cosh(u)=\sqrt{1+\sinh^2(u)}=\sqrt{1+t^2}\to\sinh(\cosh^{-1}(3))=\sqrt{1+3^2}=\sqrt{10}$$
Quindi calcoliamo l’integrale definito
$$\frac{25}{6}\left[\left((3\sqrt{10}+\sinh^{-1}(3)\right)-\left(\sinh(0)\cosh(0)+0\right)\right]$$
In definitiva la lunghezza della nostra curva
che è la lunghezza della curva 𝛾 risulta:
$$L_\gamma=\frac{25}{6}\left(3\sqrt{10}+\sinh^{-1}(3)\right)$$
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