In questo articolo parliamo delle equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee con seno e coseno a coefficienti costanti.
INDICE
PREMESSA SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE
Le equazioni del secondo a coefficienti costanti non omogenee si presentano nel seguente modo
$$ay”+by’+cy=q(x)$$
Dove q(x) è una certa funzione che può assumere diverse forme tra cui:
- Polinomio
- Esponenziale
- Trigonometrica in seno e coseno
- Esponenziale per trigonometrica in seno e coseno
- Esponenziale per polinomio
La soluzione generale di questo tipo di equazione differenziale prende la seguente forma
$$y=y_O+y_P\\ \ \\\begin{aligned}&\text{$y_O$ è la soluzione dell’equazione omogenea}\\&\text{$y_P$ è la soluzione particolare}\end{aligned}$$
Tale soluzione particolare è collegata al tipo di funzione assunta da q(x)
Il procedimento che useremo per trovarla si chiama metodo di somiglianza
In questa sezione consideriamo il caso in cui q(x) è una funzione in seno e coseno con lo stesso argomento.
EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE IN SENO E COSENO
Consideriamo ora il caso dell’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti in cui la funzione q(x) è una funzione goniometrica in seno e coseno in cui l’argomento è identico
La forma che analizziamo dunque è la seguente
$$ay”+by’+cy=a\sin(wx)+b\cos(wx)\\ \ \\\text{$a\sin(wx)+b\cos(wx)$ è una funzione goniometrica in seno e coseno}$$
STEP 1 – RISOLVERE L’EQUAZIONE OMOGENEA
In primo luogo dobbiamo risolvere l’equazione differenziale omogenea yO
$$ay”+by’+cy=0$$
Per risolvere questo tipo di equazioni le trasformiamo momentaneamente in una equazione di secondo grado scritta in questa forma
$$a\lambda^2+b\lambda+c=0$$
Quando il delta è positivo e le soluzioni sono 𝜆1 e 𝜆2 la soluzione generale dell’equazione differenziale è
$$y_O=c_1\ e^{\lambda_1 x}+c_2\ e^{\lambda_2 x}$$
Se il delta è nullo e la soluzione dell’equazione è 𝜆0 allora la soluzione generale dell’equazione differenziale è
$$y_O=e^{\lambda_0 x}(c_1+c_2x)$$
Mentre quando il delta dell’equazione di secondo grado è negativo e le soluzioni sono
$$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$$
Allora la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea diventa
$$y_O=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\cos\beta x)$$
STEP 2 – TROVARE LA SOLUZIONE PARTICOLARE
Quando abbiamo a che fare con un’equazione differenziale non omogenea con seno e coseno dobbiamo ricercare una soluzione particolare.
Il metodo che adottiamo per trovarla si chiama somiglianza.
Come dice il nome stesso la soluzione particolare assomigli alla funzione che l’equazione eguaglia, in questo caso la funzione goniometrica in seno e coseno.
Partendo dall’equazione differenzia del secondo ordine completa:
$$ay”+by’+cy=a\sin(wx)+b\cos(wx)\\ \ \\\text{$a\sin(wx)+b\cos(wx)$ è una funzione goniometrica in seno e coseno}$$
Da notare che tale funzione potrebbe presentare i coefficienti a e b che potrebbero essere anche nulli.
Pertanto potremmo cadere benissimo in uno di questi due casi
$$ay”+by’+cy=a\sin(wx)\\ \ \\ ay”+by’+cy=a\sin(wx)$$
In generale la soluzione particolare yP che stiamo ricercando assume la forma
$$y_P=A\sin(wx)+B\cos(wx)$$
C’è solamente un caso molto particolare a questa regola che si verifica quando il termine b dell’equazione di secondo grado vale 0 e il parametro 𝛽 della parte complessa della soluzione coincide con w
$$a\lambda^2+c=0\quad\to\quad \lambda=\pm i\beta\quad\text{con $\beta=w$}$$
In tal caso nella soluzione particolare dobbiamo moltiplicare per x
$$y_P=x\left(a\sin(wx)+B\cos(wx)\right)$$
Una volta trovata la soluzione particolare yP possiamo dunque scrivere lasoluzione generale di y come la somma tra la soluzione dell’omogenea yO e di quella particolare yP
$$y=y_O+y_P$$
ESEMPI DI EQUAZIONI DFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE COMPLETE A COEFFICIENTI COSTANTI CON SENO E COSENO
Svolgiamo dunque qualche esempio di equazioni differenziali del secondo ordine con funzioni goniometriche in seno e coseno.
Distinguiamo il caso generale dal caso specifico
Per quanto riguarda il primo caso facciamo anche una ripartizione (comunque non necessaria in questo contesto) a seconda del segno discriminante.
Negli esempi facciamo funzioni co solo il seno, solo il coseno ed entrambi.
Lasciamo alla fantasia del lettore l’invenzione di altri casi
ESEMPIO 1.1 – CON ∆>0
Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine
$$y”-3y’+2y=2\sin(3x)$$
Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado
$$\lambda^2-3\lambda+2=0$$
Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado in 𝜆 e annulliamo i fattori
$$(\lambda-2)(\lambda-1)=0 \\ \ \\\begin{aligned}&\lambda-2=0\quad\to\quad\lambda=2\\&\lambda-1=0\quad\to\quad\lambda=1\\&\end{aligned}$$
Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale è
$$y_O=c_1e^{2x}+c_2e^{x}$$
Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.
$$y_P=A\sin(3x)+B\cos(3x)$$
Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica
$$\begin{aligned}&y’_P=3A\cos(3x)-3B\sin(3x)\\&y”=-9A\sin(3x)+9B\cos(3x)\end{aligned}$$
Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale
$$y”\color{blue}{-3}y’\color{blue}{+2}y=2\sin(3x)$$
sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi
$$\left(-9A\sin(3x)+9B\cos(3x)\right)\color{blue}{-3}\left(3A\cos(3x)-3B\sin(3x)\right)\color{blue}{+2}\left(A\sin(3x)+B\cos(3x)\right)=2\sin(3x)$$
Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione, mentre a destra possiamo aggiungere 0cos3x
$$(-7A+9B)\sin(3x)+(-9A+11B)\cos(3x)=\sin(3x)+0\cos(3x)$$
A questo punto impostiamo un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti di seno e coseno
$$\begin{cases}-7A+9B=2\\-9A+11B=0 \end{cases}$$
Possiamo tra i vari metodi risolutivi applicare il metodo dei determinanti
$$\begin{aligned}&A=\frac{\left| \begin{array}{c} 2&9\\0&11\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} -7&9\\-9&11\end{array} \right|} =\frac{22-0}{-77+81}=\frac{22}{13}=\frac{11}{2}\\ \ \\&B=\frac{\left| \begin{array}{c} -7&2\\-9&0\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} -7&9\\-9&11\end{array} \right|} =\frac{0+18}{-77+81}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2} \end{aligned}$$
Dunque la soluzione particolare che stiamo cercando è
$$y_P=\frac{11}{2}\sin(3x)+\frac{9}{2}\cos(3x)$$
A questo punto non ci resta che ricavare la soluzione generale sommando alla soluzione dell’equazione omogenea l’equazione particolare:
$$y=y_O+y_P\quad\to \quad y=c_1e^{2x}+c_2e^x+\frac{11}{2}\sin(3x)+\frac{9}{2}\cos(3x)$$
RISCOPRI LA MATEMATICA
Prepara al meglio il tuo esame, ricostruisci le parti mancanti della matematica.
Comincia un viaggio indimenticabile ed unico che affronta tutte le tappe principali in un percorso che cambierà per sempre il tuo modo di pensare alla matematica.
ESEMPIO 1.2 – CON ∆=0
Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine
$$y”-4y’+4y=\cos x$$
Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado
$$\lambda^2-4\lambda+4=0$$
Scomponiamo il lato di sinistra come un quadrato di binomio (∆=0)
$$(\lambda-2)^2=0\to\lambda-2=0\to\lambda=2$$
Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale è
$$y_O=e^{2x}(c_1+c_2x)$$
Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.
$$y_P=A\sin x+B\cos x$$
Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica
$$\begin{aligned}&y’_P=A\cos x-B\sin x\\&y”=-A\sin x+B\cos x\end{aligned}$$
Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale
$$y”\color{blue}{-4}y’\color{blue}{+4}y=3\cos x$$
sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi
$$\left(-A\sin x+B\cos x\right)\color{blue}{-4}\left(A\cos x-B\sin x\right)\color{blue}{+4}\left(A\sin x+B\cos x\right)=3\cos x$$
Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione, mentre a destra possiamo aggiungere 0sinx
$$(3A+4B)\sin x+(-4A+5B)\cos x=0\sin x+3\cos x$$
A questo punto impostiamo un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti di seno e coseno
$$\begin{cases} 3A+4B=0\\ -4A+5B=3\end{cases}$$
Possiamo tra i vari metodi risolutivi applicare il metodo dei determinanti
$$\begin{aligned}&A=\frac{\left| \begin{array}{c} 0&4\\3&5\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} 3&4\\-4&5\end{array} \right|} =\frac{0-12}{15+16}=-\frac{12}{31}\\ \ \\&B=\frac{\left| \begin{array}{c} 3&0\\-4&3\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} 3&4\\-4&3\end{array} \right|} =\frac{9-0}{15+16}=\frac{9}{31} \end{aligned}$$
Dunque la soluzione particolare che stiamo cercando è
$$y_P=-\frac{12}{31}\sin x+\frac{9}{31}\cos x$$
Otteniamo quindi la nostra soluzione generale sommando alla soluzione omogenea quella particolare:
$$y=y_O+y_P:\quad\to\\ \ \\ y=e^{2x}(c_1+c_2x)$$
ESEMPIO 1.3 -CON ∆<0
Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine in seno e coseno a coefficienti costanti
$$y”-2y’+10y=\sin(2x)-3\cos(2x)$$
Per comodità ho tenuto identica la funzione esponenziale a destra.
Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado
$$\lambda^2-2\lambda+10=0$$
Il delta quarti dell’equazione di secondo grado risulta negativo, infatti
$$\frac{\Delta}{4}=1-10=-9$$
Dunque le soluzioni immaginarie sono
$$\lambda_{1,2}1\pm\sqrt{-9}=1\pm3i$$
La parte reale 𝛼 e quella immaginaria 𝛽 sono rispettivamente:
$$\alpha=1\qquad\beta=3$$
Quindi la soluzione dell’equazione differenziale omogenea è
$$e^x\left(c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)\right)$$
Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.
$$y_P=A\sin(2x)+B\cos(2x)$$
Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica
$$\begin{aligned}&y’_P=2A\cos(2x)-2B\sin(2x)\\&y”_P=-4A\sin(2x)+4B\cos(2x)\end{aligned}$$
Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale
$$y”\color{blue}{-2}y’\color{blue}{+10}y=\sin(2x)-3\cos(2x)$$
sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi
$$\left(-4A\sin(2x)+4B\cos(2x)\right)\color{blue}{-2}\left(2A\cos(2x)-2B\sin(2x)\right)\color{blue}{+10}\left(A\sin(2x)+B\cos(2x)\right)=\sin(2x)-3\cos(2x)$$
Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione
$$(6A+4B)\sin(2x)+(-4A+16B)\cos(2x)=\sin(2x)-3\cos(2x)$$$$
A questo punto impostiamo un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti di seno e coseno
$$\begin{cases}6A+4B=1\\-4A+16B=3 \end{cases}$$
Possiamo tra i vari metodi risolutivi applicare il metodo dei determinanti
$$\begin{aligned}&A=\frac{\left| \begin{array}{c} 1&4\\3&6\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} 6&4\\-4&16\end{array} \right|} =\frac{16-12}{96+16}=-\frac{4}{112}=-\frac{1}{28}\\ \ \\&B=\frac{\left| \begin{array}{c} 6&1\\-4&3\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{c} 6&4\\-4&16\end{array} \right|} =\frac{18+4}{96+16}=\frac{22}{112}=\frac{11}{56} \end{aligned}$$
Dunque la soluzione particolare che stiamo cercando è
$$y_P=-\frac{1}{28}\sin(2x)+\frac{11}{56}\cos(2x)$$
Possiamo quindi scrivere la soluzione generale come la somma della soluzione omogenea e quella particolare:
$$y=y_O+y_P:\quad\to\\ \ \\ y=e^x\left(c_1\cos(3x)+c_2)\sin(3x)\right)-\frac{1}{28}\sin(2x)+\frac{11}{56}\cos(2x)$$
ESEMPIO 2 – CASO PARTICOLARE B=0 𝛽=w
Vediamo ora un esempio con il baso particolare in cui b=0 e il valore della parte immaginaria 𝛽 della soluzione coincide con l’argomento w del seno e del coseno
$$y”+4y=2\sin(2x)+3\cos(2x)$$
Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado
$$\lambda^2+4=0$$
Le soluzioni dell’equazione sono certamente numeri immaginari puri
$$\lambda^2=-4\quad\to\quad\lambda=\pm2i=0\pm2i$$
Dunque la soluzione dell’equazione omogenea è:
$$y_O=e^{0x}\left(c_1\sin(2x)+c_2\cos(2x)\right)$$
Che possiamo riscrivere più semplicemente
$$y_O=c_1\sin(2x)+c_2\cos(2x)$$
Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.
Questa soluzione particolare non può essere certamente la seguente
$$y_P=A\sin(2x)+B\cos(2x)\quad\text{sarebbe uguale all’omogenea!!!}$$
In quanto è già compresa nella soluzione generale
Dunque dobbiamo moltiplicarla per x
$$y_P=x\left(A\sin(2x)+B\cos(2x)\right)$$
Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica
La derivata prima risulta:
$$\begin{aligned}&y’_P=A\sin(2x)+B\cos(2x)+x\left(2A\cos(2x)-2B\sin(2x)\right)\\&y’_P=(A-2Bx)\sin(2x)+(B+2Ax)\cos(2x)\end{aligned}$$
Mentre la derivata seconda è:
$$\begin{aligned}&y”_P=-2B\sin(2x)+2(A-2Bx)\cos(2x)+2A\cos(2x)-2(B+2Ax)\sin(2x)\\&y”_P=(-4Ax-4B)\sin(2x)+(4A-4Bx)\cos(2x)\end{aligned}$$
Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale
$$y”\color{blue}{+4}y=2\sin(2x)+3\cos(3x)$$
sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi
$$\left((-4Ax-4B)\sin(2x)+(4A-4Bx)\cos(2x)\right)\color{blue}{+4}x\left(A\sin(2x)+B\cos(2x)\right)=2\sin(2x)+3\cos(3x)$$
Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione
$$-4B\sin(2x)+4A\cos(2x)=\sin(2x)-3\cos(2x)$$
A questo punto impostiamo un sistema lineare dove eguagliamo i coefficienti di seno e coseno
$$\begin{cases}-4B=1\\4A=-3 \end{cases}$$
Da cui ricaviamo immediatamente i valori di A e B
$$A=-\frac{3}{4}\quad B=-\frac{1}{4}$$
Dunque la soluzione particolare che stiamo cercando è
$$y_P=-\frac{3}{4}\sin(2x)-\frac{1}{4}\cos(2x)$$
Otteniamo quindi la soluzione generale tramite la somma della soluzione omogenea con quella particolare:
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