EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE CON ESPONENZIALI

In questo articolo parliamo delle equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee con seno e coseno a coefficienti costanti.

PREMESSA SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

Le equazioni del secondo a coefficienti costanti non omogenee si presentano nel seguente modo 

$$ay”+by’+cy=q(x)$$

Dove q(x) è una certa funzione che può assumere diverse forme tra cui:

• Polinomio 
• Esponenziale 
• Trigonometrica in seno e coseno
• Esponenziale per trigonometrica in seno e coseno
• Esponenziale per polinomio 

La soluzione generale di questo tipo di equazione differenziale prende la seguente forma

$$y=y_O+y_P\\ \ \\\begin{aligned}&\text{$y_O$ è la soluzione dell’equazione omogenea}\\&\text{$y_P$ è la soluzione particolare}\end{aligned}$$

Tale soluzione particolare è collegata al tipo di funzione assunta da q(x) 

Il procedimento che useremo per trovarla si chiama metodo di somiglianza

In questa sezione consideriamo il caso in cui q(x) è una funzione esponenziale.

EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE CON ESPONENZIALI

Consideriamo ora il caso dell’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti in cui la funzione Ae^𝜆x è una funzione esponenziale

La forma che analizziamo dunque è la seguente

$$ay”+by’+cy=a\ e^{\lambda x}\\ \ \\\text{$a\ e^{\lambda x}$ è una funzione esponenziale}$$

STEP 1 – RISOLVERE L’EQUAZIONE OMOGENEA

In primo luogo dobbiamo risolvere l’equazione differenziale omogenea y_O

$$ay”+by’+cy=0$$

Per risolvere questo tipo di equazioni le trasformiamo momentaneamente in una equazione di secondo grado scritta in questa forma

$$a\lambda^2+b\lambda+c=0$$

Quando il delta è positivo e le soluzioni sono 𝜆₁ e 𝜆₂ la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=c_1\ e^{\lambda_1 x}+c_2\ e^{\lambda_2 x}$$

Se il delta è nullo e la soluzione dell’equazione è 𝜆₀ allora la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=e^{\lambda_0 x}(c_1+c_2x)$$

Mentre quando il delta dell’equazione di secondo grado è negativo e le soluzioni sono 

$$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$$

Allora la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea diventa

$$y_O=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\cos\beta x)$$

STEP 2 – TROVARE LA SOLUZIONE PARTICOLARE

Il vero punto di novità quando abbiamo a che fare con una equazione differenziale non omogenea è la ricerca della soluzione particolare.

Il metodo che adottiamo per trovarla si chiama somiglianza.

Proprio come dice il nome stesso la soluzione particolare assomigli alla funzione che l’equazione eguaglia, in questo caso la funzione esponenziale.

Partendo dall’equazione differenzia del secondo ordine completa

$$ay”+by’+cy=a\ e^{\lambda x}\\ \ \\\text{$a\ e^{\lambda x}$ è una funzione esponenziale}$$

La forma assunta dalla soluzione particolare dipende dalle soluzioni 𝜆1 e 𝜆2 dell’equazione di secondo grado

Quando entrambe queste soluzioni sono diverse dal 𝜆 che si trova all’esponente della funzione esponenziale ae^𝜆x la soluzione generale è del tipo Ae^𝜆x ovvero assume la medesima forma della funzione

$$\lambda_1\ne\lambda, \lambda_2\ne\lambda\quad\to\quad y_P=A\ e^{\lambda x}$$

Quando una delle soluzioni assume il valore di 𝜆 allora la forma della soluzione particolare è del tipo Axe^𝜆x ovvero moltiplichiamo per x la forma esponenziale

$$\lambda_1=\lambda, \lambda_2\ne\lambda\quad\to\quad y_P=Ax\ e^{\lambda x}$$

Quando entrambe le soluzioni assumono valore di 𝜆  allora cerchiamo una soluzione particolare del tipo Ax²e^𝜆x  dunque moltiplichiamo per x²

$$\lambda_1=\lambda_2= \lambda\quad\to\quad y_P=Ax^2\ e^{\lambda x}$$

Una volta trovata la soluzione particolare y_P possiamo dunque scrivere lasoluzione generale di y come la somma tra la soluzione dell’omogenea y_O e di quella particolare y_P

$$y=y_O+y_P$$

ESEMPI DI EQUAZIONI DFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE COMPLETE A COEFFICIENTI COSTANTI CON ESPONENZIALI

Svolgiamo dunque qualche esempio di equazioni differenziali del secondo ordine con funzioni esponenziali.

Distinguiamo i tre casi.

Per quanto riguarda il primo caso facciamo anche una ripartizione (non necessaria in questo contesto)  a seconda del segno discriminante.

ESEMPIO 1.1 – 𝜆1≠𝜆 , 𝜆2≠𝜆  CON ∆>0

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine

$$y”-3y’+2y=4e^{3x}$$

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-3\lambda+2=0$$

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado in 𝜆 e annulliamo i fattori

$$(\lambda-2)(\lambda-1)=0\\ \ \\\begin{aligned}&\lambda-2=0\quad\to\quad\lambda=2\\&\lambda-1=0\quad\to\quad\lambda=1\end{aligned}$$

Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=c_1\ e^{2x}+c_2\ e^x$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

Siccome le soluzioni dell’equazione di secondo grado 𝜆₁ e 𝜆₂ sono diverse da 3 la soluzione particolare assume la seguente forma

$$y_P=A\ e^{3x}$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$\begin{aligned}&y’_P=3Ae^{3x}\\&y”=9Ae^{3x}\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”-3y’+2y=4\ e^{3x}$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$9A\ e^{3x}-3\cdot3A\ e^{3x}+2A\ e^{3x}4\ e^{3x}$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione

$$2A\ e^{3x}=4\ e^{3x}$$

Da cui ricaviamo immediatamente il valore di A

$$2A=4\quad\to\quad A=2$$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=2\ e^{3x}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y=y_O+y_P:\quad y=c_1e^{2x}+c_2e^x+2e^{3x}$$

ESEMPIO 1.2 – 𝜆1≠𝜆 , 𝜆2≠𝜆  CON ∆=0

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine

$$y”-4y’+4y=4e^{3x}$$

Per comodità ho tenuto identica la funzione esponenziale di destra

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lamba^2-4\lamba+4=0$$

Scomponiamo il lato di sinistra come un quadrato di binomio (∆=0) 

$$(\lamba-2)^2=0\to\lambda-2=0\to\lambda=2$$

Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea è

$$y_O=e^{2x}(c_1+c_2x)$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

Siccome le soluzioni dell’equazione di secondo grado 𝜆₁ e 𝜆₂ sono diverse da 3 la soluzione particolare assume la seguente forma

$$y_P=A\ e^{3x}$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$\begin{aligned}&y’_P=3Ae^{3x}\\&y”=9Ae^{3x}\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”-4y’+4y=4e^{3x}$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$9A\ e^{3x}-4\cdot3A\ e^{3x}+4A\ e^{3x}=4\ e^{3x}$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione 

$$A\ e^{3x}=4e^{3x}$$

Da cui ricaviamo immediatamente il valore di A

$$A=4$$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=4e^{3x}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y=y_O+y_P:\quad y=e^{2x}(c_1+c_2x)+4e^{3x}$$

ESEMPIO 1.3 – 𝜆1≠𝜆 , 𝜆2≠𝜆  CON ∆<0

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine

$$y”-2y’+10y=4e^{3x}$$

Per comodità ho tenuto identica la funzione esponenziale a destra.

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-2\lambda+10=0$$

Il delta quarti dell’equazione di secondo grado risulta negativo, infatti

$$\frac{\Delta}{4}=1-10=-9$$

Dunque le soluzioni immaginarie sono 

$$\lambda_{1,2}=1\pm\sqrt{-9}=1\pm3i$$

La parte reale 𝛼 e quella immaginaria 𝛽 sono rispettivamente:

$$\alpha=1\qquad\beta=3$$

Quindi la soluzione dell’equazione differenziale omogenea è

$$y_O=e^x\left(c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)\right)$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

Siccome le soluzioni dell’equazione di secondo grado 𝜆₁ e 𝜆₂ sono diverse da 3 la soluzione particolare assume la seguente forma

$$y_P=A\ e^{3x}$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$\begin{aligned}&y’_P=3Ae^{3x}\\&y”=9Ae^{3x}\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”-2y’+10y=4e^{3x}$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali polinomi

$$9A\ e^{3x}-2\cdot3A\ e^{3x}+10A\ e^{3x}=4e^{3x}$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione 

$$13A\ e^{3x}=4e^{3x}$$

Da cui ricaviamo immediatamente il valore di A

$$13A=4\quad\to\quad A=\frac{4}{13}$$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=\frac{4}{13}e^{3x}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y=y_O+y_P:\quad y=e^x\left(c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)\right)+\frac{4}{13}e^{3x}$$

ESEMPIO 2 – CASO PARTICOLARE 𝜆1=𝜆 , 𝜆2≠𝜆

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine in cui una delle soluzioni sia uguale al coefficiente 𝜆 presente come esponente nella funzione esponenziale

$$y”-4y’+3y=4e^{3x}$$

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-4\lambda+3=0$$

Raccogliamo a fattor comune il termine di sinistra e applichiamo la legge di annullamento del prodotto per trovare le soluzioni della spuria

$$(\lambda-3)(\lambda-1)=0\to \lambda=3\lor\lambda=1$$

Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=c_1e^{3x}+c_2e^x$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

Siccome una delle soluzioni dell’equazione di secondo grado è uguale a 3 la soluzione particolare assume la seguente forma

$$y_P=Axe^{3x}$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$\begin{aligned}&y’_P=A(e^{3x}+3xe^{3x})=A\ e^{3x}(1+3x)\\&y”_P=A\left(3e^{3x}(1+3x)+3e^{3x}\right)=3A\ e^{3x}(2+3x)\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”-4y’+3y=4e^{3x}$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali espressioni

$$3A\ e^{3x}(2+3x)-4\cdot A\ e^{3x}(1+3x)+3xe^{3x}=4e^{3x}$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione 

$$\begin{aligned}&A\ e^{3x}(6+9x-4-12x+3x)=4e^{3x}\\&2A\ e^{3x}=4e^{3x}\end{aligned}$$

Da cui ricaviamo immediatamente il valore di A

$$2A=4\quad\to\quad A=2$$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=2xe^{3x}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y_O+y_P:\quad y=c_1e^{3x}+c_2e^x+2xe^{3x}$$

Possiamo rielaborare la soluzione anche nel seguente modo:

$$y=(c_1+2x)e^{3x}+c_2\ e^x$$

ESEMPIO 3 -CASO PARTICOLARE- 𝜆1=𝜆2=𝜆

Troviamo la soluzione generale all’equazione differenziale del secondo ordine in cui entrambe le soluzioni sono uguale al coefficiente 𝜆 presente come esponente nella funzione esponenziale

$$y”-6y’+9y=4e^{3x}$$

Partiamo con la soluzione dell’equazione omogenea ed impostiamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-6\lambda+9=0$$

Scomponiamo il quadrato di binomio e applichiamo la legge di annullamento per trovare le soluzioni

$$(\lambda-3)^2=0\to\lambda-3=0\to\lambda=3$$

Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=e^{3x}(c_1+c_2x)$$

Passiamo dunque alla ricerca della soluzione particolare.

Siccome entrambe le soluzioni dell’equazione di secondo grado  valgono 3 la soluzione particolare assume la seguente forma

$$y_P=A\ x^2\ e^{3x}$$

Calcoliamo a questo punto la derivata prima e la derivata seconda di questa soluzione particolare generica

$$\begin{aligned}&y’_P=(2xe^{3x}+3x^2\ e^{3x}=A\ e^{3x}(2x+3x^2)\\&y”_P=A\left(e^{3x}(2x+3x^2)+e^{3x}(2+6x)\right)=Ae^{3x}(2+12x+9x^2)\end{aligned}$$

Riscriviamo ora l’equazione differenziale iniziale

$$y”-6y’+9y=4e^{3x}$$

 sostituendo al posto di y, y’ e y” tali espressioni

$$Ae^{3x}(2+12x+9x^2)-6Ae^{3x}(2x+3x^2)+9Ax^2e^{3x}=4e^{3x}$$

Elaboriamo il lato sinistro dell’equazione 

$$Ae^{3x}(2+12x+9x^2-12x-18x^2+9x^2)=4e^{3x}$$

Quindi l’equazione si riduce in modo drastico:

$$2A\ e^{3x}=4\ e^{3x}$$

Da cui ricaviamo immediatamente il valore di A

$$2A=4\quad\to\quad A=2$$

Quindi la soluzione particolare che stiamo cercando è 

$$y_P=2x^2\ e^{3x}$$

Dunque la soluzione complessiva dell’equazione differenziale è:

$$y=y_O+y_P:\quad y=e^{3x}(c_1+c_2x)+2x^2e^{3x}$$

Possiamo scrivere questa soluzione come il prodotto tra l’esponenziale ed un polinomio di secondo grado:

$$y=e^{3x}(c_1+c_2x+2x^2)$$

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