EQUAZIONI DIFFERENZIALI OMOGENEE DEL SECONDO ORDINE

Le equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costantisono equazioni differenziali del tipo 

$$ay”+by’+cy=0$$

Per risolvere questo tipo di equazioni le trasformiamo momentaneamente in una equazione di secondo grado scritta in questa forma

$$a\lambda^2+b\lambda+c=0$$

Quando il delta è positivo e le soluzioni sono 𝜆₁ e 𝜆₂ la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=c_1\ e^{\lambda_1 x}+c_2\ e^{\lambda_2 x}$$

Se il delta è nullo e la soluzione dell’equazione è 𝜆₀ allora la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y_O=e^{\lambda_0 x}(c_1+c_2x)$$

Mentre quando il delta dell’equazione di secondo grado è negativo e le soluzioni sono 

$$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$$

Allora la soluzione generale dell’equazione differenziale omogenea diventa

$$y_O=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\cos\beta x)$$

ESEMPI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI OMOGENEE DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI

Vediamo un esempio per tipologia con delta rispettivamente positivo, negativo e nullo

ESEMPIO CON DELTA POSITIVO

Troviamo le soluzioni della seguente equazione differenziale

$$y”+3y’+2y=0$$

Elaboriamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2+3\lambda+2=0$$

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado in 𝜆 e annulliamo i fattori

$$(\lambda+2)(\lambda+1)=0\\ \ \\ \begin{aligned}&\lambda+2=0\quad\to\quad \lambda=-2\\&\lambda+1=0\quad\to\quad \lambda=-1\end{aligned}$$

Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y=c_1\ e^{-2x}+c_2\ e^{-x}$$

ESEMPIO CON DELTA NULLO

Troviamo le soluzioni della seguente equazione differenziale

$$y”-2y’+y=0$$

Elaboriamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2-2\lambda+2=0$$

Scomponiamo il quadrato di binomio in 𝜆 e annulliamo il fattore

$$(\lambda-1)^2=0\to\lambda-1=0\to\lambda=1$$

Dunque la soluzione generale dell’equazione differenziale è

$$y=e^{-x}(c_1+c_2x)$$

ESEMPIO CON DELTA NEGATIVO

Troviamo le soluzioni della seguente equazione differenziale

$$y”+2y’+5y=0$$

Elaboriamo l’equazione associata di secondo grado

$$\lambda^2+2\lambda+5=0$$

Calcolando il delta quarti troviamo che è negativo

$$\frac{\Delta}{4}=1-5=-4$$

Dunque le soluzioni sono 

$$\lambda_{1,2}=-1\pm2i$$

La parte reale 𝛼 e quella immaginaria 𝛽 sono rispettivamente

$$\alpha=-1\qquad\beta=2$$

Quindi la soluzione generale all’equazione risulta

$$y=e^{-x}\left(c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)\right)$$

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