GLI INTEGRALI DOPPI

Gli integrali doppi esprimono il valore di un volume che è compreso tra una certa superficie e una certa funzione in due variabili.

Vengono generalmente indicati con la seguente scrittura

$$\int_S f\ dxdy$$

Dove S indica la superficie di riferimento solitamente identificata da un’espressione matematica.

Mentre dxdy indica un rettangolino infinitesimo di lati dx e dy

Tale scrittura si legge: integrale doppio sulla funzione f in dx e dy

Nel mondo accademico sono anche frequenti le seguenti due scritture

$$\int\int_S\ f\ dxdy\qquad \int_Sf(x,y)dxdy$$

VISUALIZZARE GLI INTEGRALI DOPPI  

Per visualizzare graficamente gli integrali doppi facciamo questo semplici quattro passaggi

1. Identificare una superficie di riferimento
2. Rappresentare una funzione di riferimento
3. Proiettare la superficie sulla funzione
4. Suddividere in tanti pezzetti la superficie e costruire parallelepipedi con altezza ala funzione

1 – IDENTIFICARE UNA SUPERFICIE

Il primo passo da compiere per comprendere graficamente gli integrali doppi è identificarenello spazio tridimensionale una certa superficie sul piano di riferimento XOY.

Questa superficie è il dominio di rifermento per il calcolo dell’integrale doppio.

2 – RAPPRESENTARE UNA FUNZIONE DI RIFERIMENTO

In secondo luogo rappresentiamo la funzione rispetto alla quale vogliamo calcolare il nostro integrale.

3 – PROIETTARE LA SUPERFICIE SULLA FUNZIONE

Ora dobbiamo proiettare tale superficie sulla funzione in maniera verticale, ovvero parallela all’asse delle Z.

In questo modo si identifica il volume dell’oggetto compreso tra la superficie di base e la funzione.

Tale volume corrisponde proprio al valore dell’integrale doppio

4 – SUDDIVIDERE LA SUPERFICIE IN RETTAGOLI E PROIETTARE PARALLELEPIPEDI

Passiamo al quarto step per avere una intuizione migliore del ruolo dell’integrale , che significa sommatoria infinita.

Suddividiamo la superficie di riferimento in tanti piccoli rettangolini che hanno comelati dx e dy.

Dove dx e dy rappresentano piccoli segmentini presi rispetto all’asse x e rispetto all’asse y.

Da ognuno di questi rettangoli proiettiamo un parallelepipedo fino a toccare la funzione di riferimento.

La sommatoria di tutti questi parallelepipedi “alti e stretti” ci darà il volume totaledell’oggetto.

Tale volume è il valore dell’integrale.

CALCOLO DI INTEGRALI DOPPI – ESEMPI

Una volata che abbiamo concettualizzato il concetto di integrale doppio siamo pronti a svolgere una serie di interessanti esercizi.

ESERCIZIO 1 – INTEGRALI DOPPI

Calcola il seguente integrale doppio nella regione E

$$\begin{aligned}&\int_E(x+y)dx\ dy\\&E=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|x\ge 0\land x\le y\le\sqrt{x}\}\end{aligned}$$

Per prima cosa andiamo a rappresentare la regione di piano E con le caratteristiche indicate.

In primo luogo ci viene detto che la x>=0 il che significa che ci troviamo nel semipiano destro rispetto all’asse y.

Successivamente focalizziamo l’attenzione sulla zona compresa tra la bisettrice del primo e del terzo quadrante e la funzione radice quadrata

$$y=x\qquad y=\sqrt{x}$$

Queste due funzioni si intersecano nei punti (0,0) e (1,1) 

Per cui la regione E indicata è:

In particolare possiamo delimitare i valori della x tra 0 e 1.

Mentre quelli della y risultano compresi tra x e radice di x

$$E=\{(x,y)|0\le x\le1, x\le y\le\sqrt{x}\}$$

Perciò possiamo scrivere l’integrale in maniera estesa

$$\int_0^1\int_x^\sqrt{x}(x+y)dx\ dy$$

 che si legge : integrale con la x che va da 0 a 1 e con la y che va da x a radice di x in dx e dy

Attenzione al fatto che non possiamo separare in integrali distinti la x e la y poiché vi è una somma e non un prodotto.

La seconda cosa a cui dobbiamo stare attenti è che il primo integraleviene calcolato rispetto alla y.

Questo poiché l’integrale della x contiene estremi determinati.

Dunque per accentuare questo ordine di integrazione possiamo anche usare la scrittura

$$\int_0^1dx\int_x^\sqrt{x}(x+y)dy$$

Alcuni testi usano anche questa scrittura

$$\in_0^1\left(\int_x^\sqrt{x}(x+y)dy\right)dx$$

Noi preferiamo riferirci sempre alla prima e ricordiamo che si tratta di una formalità.

Integriamo dunque in y la funzione

$$\int_0^1\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_x^\sqrt{x}$$

Ora che andiamo a svolgere l’integrale definito spostiamo anche a destra il dx (formalismo) 

$$\int_0^1\left[\left(x\sqrt{x}+\frac{(\sqrt{x})^2}{2}\right)-\left(x^2+\frac{x}{2}\right)\right]dx$$

Riscriviamo meglio il tutto inserendo al posto dei radicali le potenze

$$\int_0^1\left(x^\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}x^2\right)dx$$

Integriamo la somma delle potenze in x

$$\left[\frac{x^\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}+\frac{1}{2}\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\left[\frac{2}{5}x\frac{5}{2}+\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x^3\right]_0^1$$

Calcoliamo infine l’integrale definito

$$\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)-(0)=\frac{3}{20}$$

Ecco il valore del nostro volume tra la regione E e la funzione

ESERCIZIO 2 – INTEGRALI DOPPI

Calcola il seguente integrale doppio nella regione E

$$\begin{aligned}&\int_E\frac{x}{y}dx\ dy\\&E=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|y^2\le 2x\le 4y\}\end{aligned}$$

Rappresentiamo la regione di piano E con le caratteristiche indicate.

Si tratta della zona compresa tra due curve: una parabola e una retta

La parabola di equazione

$$2x=y^2\quad\to\quad x=\frac{1}{2}y^2$$

 e la retta di equazione

2x=4y\quad\to\quad x=2y$$

Per vedere quali sono i punti di intersezione basta che eguagliamo i valori delle x ricavando l’equazione di secondo grado

$$\frac{1}{2}y^2=2y\quad\to\quad y^2-4y=0\quad\to\quad y(y-4)=0$$

Da cui i valori delle y risultano

$$y=0\lor y=4$$

Sostituendo le x ricaviamo che queste due funzioni si intersecano nei punti (0,0) e (8,4) 

Rappresentiamo la regione E

Inquadriamo ora l’integrale rispetto alla y che si trova tra 0 e 4.

Mentre la x si trova tra 1/2 y² e 2y

Dunque la regione E può essere riscritta così

$$E=\left\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|0\le y\le 4\land \frac{1}{2}y^2\le x\le2y\right\}$$

Sulla base di questa analisi riscriviamo dunque l’integrale come segue

$$\int_0^4\int_{\frac{1}{2}y^2}^{2y}\frac{x}{y}dy\ dx$$

Siccome tra le variabili c’ una divisione (moltiplicazione) separiamo le variabili nei due integrali, integrando per prima la x

$$\int_0^4\frac{1}{y}dy\int_{\frac{1}{2}y^2}^{2y}x\ dx=\int_0^4\frac{1}{y}dy\left[\frac{x^2}{2}\right]_{\frac{1}{2}y^2}^{2y}=$$

Spostiamo fuori la costante e integriamo in maniera definita

$$\frac{1}{2}\int_0^4\frac{1}{y}\ dy\ \left[(2y)^2-\left(\frac{1}{2}y^2\right)\right]=\frac{1}{2}\int_0^4\frac{1}{y}\ dy\ \left[4y^2-\frac{1}{4}y^4\right]$$

Mettiamo questo risultato dentro all’integrale in dy

$$\frac{1}{2}\int_0^4\frac{4y^2-\frac{1}{4}y^4}{y}\ dy=\frac{1}{2}\int_0^4\left(4y-\frac{1}{4}y^3\right)\ dy=$$

Integriamo ora rispetto alla variabile y la somma di monomi (polinomio) 

$$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\left[4\frac{y^2}{2}-\frac{1}{4}\frac{y^4}{4}\right]_0^4=\frac{1}{2}\left[2y^2-\frac{1}{16}y^4\right]_0^4=\\&\frac{1}{2}[(32-16)-0]=8\end{aligned}$$

RISCOPRI LA MATEMATICA

Prepara al meglio il tuo esame, ricostruisci le parti mancanti della matematica.

Comincia un viaggio indimenticabile ed unico che affronta tutte le tappe principali in un percorso che cambierà per sempre il tuo modo di pensare alla matematica.

ESERCIZIO 3 – INTEGRALI DOPPI

Calcola il seguente integrale doppio nella regione D

$$\begin{aligned}&\int_D(x^3+y)dx\ dy\\&D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|1\le x^2+y^2\le\sqrt{2}\land0\le y\le\frac{x}{\sqrt{3}}\right\}\end{aligned}$$

La regione di piano D è l’intersezione tra la corona circolare compresa tra le due circonferenze

$$\gamma_1:\ x^2+y^2=1\qquad\gamma_2:\ x^2+y^2=\sqrt{2}$$

 e la zona compresa tra le rette 

$$r_1:\ y=0\qquad r_2:\ y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$$

In questo caso ci conviene trasformare le coordinate in polari con i parametri 𝜌 e 𝜃

Riscriviamo dunque la regione D nel seguente modo

$$D=\left\{(\rho,\theta)\in\mathbb{R^2}|1\le\rho\le\sqrt{2}\land0\le\theta\le\frac{\pi}{6}\right\}$$

Rappresentiamo la regione D

Ricordiamo che quando trasformiamo il prodotto dei differenziali dx dy in termini dei differenziali d𝜌d𝜃 dobbiamo tenere conto della seguente trasformazione

$$dx\ dy=\rho\ d\rho\ d\theta$$

Dove 𝜌 rappresenta lo Jacobiano della trasformazione.

Ricordiamo infatti che l’equazione in forma polare della circonferenza con centro nell’origine (chiamiamola 𝛾) è la seguente

$$\gamma:\quad r(\rho,\theta)=\begin{pmatrix}\rho\ \cos\theta\\ \rho\ \sin\theta \end{pmatrix}$$

La matrice Jacobiana risulta

$$M_J=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial\rho}&\frac{\partial x}{\partial\theta}\\\frac{\partial y}{\partial\rho}&\frac{\partial y}{\partial\theta} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta& -\rho\sin\theta\\ \rho\cos\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$

Lo Jacobiano è il determinante della matrice Jacobiana

$$J=\det M_J=\rho\cos^2\theta+\rho\sin^2\theta=\rho(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\rho$$

Nella trasformazione dell’integrale dal cartesiano al polare vale dunque la relazione

$$\int_D f(x,y)dx\ dy=\int_D f(\rho,\theta)J\ d\rho\ d\theta=\int_D f(\rho,\theta)\rho\ d\rho\ d\theta$$

Riscriviamo dunque l’integrale di partenza

$$\int_D(x^3+y)dx\ dy$$

In coordinate polari

$$\int_1^\sqrt{2}\int_0^\frac{\pi}{6}\left((\rho\cos\theta)^3+\rho\sin\theta\right)\rho d\rho\ d\theta=$$

Per una questione di praticità di calcolo spezziamo l’integrale in due parti

$$\int_1^\sqrt{2}\int_0^\frac{\pi}{6}\rho^4\cos^3\theta d\rho\ d\theta+\int_1^\sqrt{2}\int_0^\frac{\pi}{6}\rho^2d\rho\ d\theta=$$

I entrambi gli integrali possiamo separare le variabili 𝜌 e 𝜃 nei rispettivi integrali.

Questo può avvenire perché c’è di mezzo un prodotto

$$\int_1^\sqrt{2}\rho^4d\rho\int_0^\frac{\pi}{6}\cos^3\theta d\theta+\int_1^\sqrt{2}\rho^2\int_0^\frac{\pi}{6}\sin\theta d\theta=$$

Si tratta dunque di calcolare quattro integrali definiti tre dei quali sono molto semplici dunque li risolviamo subito

$$\begin{aligned}&\int_1^\sqrt{2}\rho^4d\rho=\left[\frac{\rho^5}{5}\right]_1^\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}-1}{5}\\&\int_1^\sqrt{2}\rho^2d\rho=\left[\frac{\rho^3}{3}\right]_1^\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}\\&\int_0^\frac{\pi}{6}\sin\theta d\theta=\left[-\cos\theta\right]_0^\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-(-1)=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$$

L’integrale certamente più spinoso è:

$$\int_0^\frac{\pi}{6}\cos^3\theta d\theta$$

Per risolverlo usiamo questo stratagemma (ragioniamo sull’indefinito).

Scriviamo il cubo del coseno come il prodotto tra il quadrato del coseno e il coseno

$$\int\cos^3\theta d\theta=\int\cos^2\theta\cos\theta d\theta$$

Applichiamo la relazione fondamentale della goniometria e spezziamo l’integrale in due parti

$$\int(1-\sin^2\theta)\cos\theta d\theta=\int\cos\theta d\theta-\int\sin^2\theta\cos\theta d\theta=$$

Il primo integrale è immediato mentre il secondo è l’integrale di una potenza per la derivata.

Dunque in definitiva

$$\int\cos^3\theta d\theta=\sin\theta-\frac{1}{3}\sin^3\theta+c$$

Inseriamo questo integrale nel calcolo definito

$$\int_0^\frac{\pi}{6}\cos^3\theta d\theta=\left[\sin\theta-\frac{1}{3}\sin^3\theta\right]_0^\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{11}{24}$$

Mettiamo ora insieme tutti e quattro i pezzettini

$$\int_D(x^3+y)dx\ dy=\frac{4\sqrt{2}-1}{5}\cdot\frac{11}{24}+\frac{2\sqrt{2}-1}{3}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2}$$

Facendo i calcoli otteniamo il seguente risultato

$$\frac{-40\sqrt{6}+20\sqrt{3}+44\sqrt{2}-51}{120}$$

ESERCIZIO 4 – INTEGRALI DOPPI

Calcola il seguente integrale doppio nella regione D

$$\begin{aligned}&\int_E\sqrt{x^2+y^2}dx\ dy\\&E=\left\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|x^2+y^2\le x\right\}\end{aligned}$$

La regione di piano E è la parte interna alla circonferenza

$$\gamma:\ x^2+y^2-x=0$$

Tale circonferenza ha come centro e raggio rispettivamente

$$C\left(\frac{1}{2},0\right)\qquad R=\frac{1}{2}$$

Mentre la funzione in due variabili

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$

 è un cono.

Possiamo apprezzarlo meglio dalla figura

Trattandosi di una circonferenza possiamo riscrivere meglio l’integrale con le coordinate polari.

Prima di procedere notiamo una cosa.

Siccome il cono risulta simmetrico rispetto all’asse y possiamo scrivere il volume del solido come il doppio del volume che si trova sulla semicirconferenza alta.

PROCEDURA SCONSIGLIATA

Quando procediamo verso il cambiamento in coordinate polari vi sconsiglio di usare la classica trasformazione della circonferenza in coordinate polari, ovvero

$$\gamma:\ \begin{pmatrix}\frac{1}{2}+\rho\cos\theta\\ \rho\sin\theta \end{pmatrix}\quad\text{con }\ 0\le\rho\le\frac{1}{2}, -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}$$

In questo caso l’integrale diventerebbe

$$\in_0^\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\rho\cos\theta\right)^2+(\rho\sin\theta)^2}\rho\ d\rho\ d\theta$$

(ricordate lo Jacobiano) 

In questo caso potreste arrivare ad un vicolo cieco.

PROCEDURA CONSIGLIATA

Meglio procedere invece in questa direzione cercando di rileggere le coordinate cartesiane nel classico modo polare

$$\gamma:\quad\begin{pmatrix}\rho\cos\theta\\ \rho\sin\theta \end{pmatrix}$$

Dalle equazione della circonferenza cerchiamo di trarre le limitazioni del raggio 𝜌 in funzione dell’angolo 𝜃.

La disequazione che descrive la regione E in (x,y) è 

$$x^2+y^2\le x$$

Sostituendo le classiche coordinate polari otteniamo la seguente disequazione in 𝜌 e 𝜃

$$\rho^2\le\rho\cos\theta$$

Spostiamo tutto  a sinistra

$$\rho^2-\rho\cos\theta\le0$$

Fattorizziamo ovvero raccogliamo 𝜌 a fattor comune

$$\rho(\rho-\cos\theta)\le0$$

La disequazione è soddisfatta per i seguenti valori di 𝜌

$$0\le\rho\le\cos\theta$$

Quanto all’angolo 𝜃 imponiamo che sia compreso tra 0 e π/2 

$$0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$$

Mostriamolo meglio in figura

Ricordiamo che nell’integrale dobbiamo poi fare il doppio di questo risultato poiché dobbiamo prendere anche il volume nella parte bassa sopra la circonferenza

Dunque ritorniamo all’integrale di partenza

$$\int_E\sqrt{x^2+y^2}dx\ dy$$

Riscriviamolo con le coordinate polari

$$2\int_0^\frac{\pi}{2}\int_0^{\cos\theta}\sqrt{\rho^2}\rho\ d\rho\ d\theta$$

Isoliamo le due variabili nei due rispettivi integrali (nel prodotto) 

$$2\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta\ \int_0^{\cos\theta}\rho^2d\rho$$

Integriamo ora in d𝜌

$$2\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta\left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^{\cos\theta}=$$

Spostiamo davanti la costante e calcoliamo l’integrale definito su 𝜌

$$\frac{2}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta\left[\cos\theta\right]=$$

Mettiamo ora questo risultato dentro l’integrale in funzione di 𝜃

$$\frac{2}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3\theta\ d\theta$$

Abbiamo già visto come svolgere questo integrale nell’ultima parte dell’esercizio 3

$$\begin{aligned}&\frac{2}{3}\left[\sin\theta-\frac{1}{3}\sin^3\theta\right]_0^\frac{\pi}{2}=\\&\frac{2}{3}\left[\left(\sin\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}\sin^3\frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin0-\frac{1}{3}\sin^30\right)\right]=\\&\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{9}\end{aligned}$$

ESERCIZIO 5 – INTEGRALI DOPPI

Calcola il seguente integrale doppio nella regione D

$$\int_T\frac{y}{1+x}dx\ dy$$

Dove T è il triangolo di vertici (–1, 0) , (2,0) , (0,2) 

Per fare una descrizione matematica della zona T ci conviene subito darne una rappresentazione grafica

Possiamo notare come tutti i valori del triangolo siano compresi tra le ascisse –1 e 2.

Ricaviamo ora le equazioni delle due rette oblique AB e BC sfruttando i vari metodo per determinare rette passanti per due punti.

$$r_{AB}:\ y=2x+2\quad r_{BC}:\ y=2-x$$

Adesso spezziamo il triangolo in due parti che sono triangoli rettangoli che chiamiamo T1 e T2

La parte T1 si trova a sinistra dell’asse y che è descritta dalla seguente scrittura cartesiana

$$T_1=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}|\ -1\le x\le0\land0\le y\le2x+2\right\}$$

Detto a parole sono tutti i punti del piano cartesiano con ascissa compresa tra –1 e 0, e con ordinate comprese tra la retta y=0 (asse delle x) e la retta y=2x+2

Poi abbiamo il triangolo rettangolo T2 descritto dalla seguente relazione cartesiana

$$T_2=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}|\ 0\le x\le2\land0\le y\le-x+2\right\}$$

Dunque possiamo spezzare l’integrale in due parti

$$\int_T\frac{y}{1+x}dx\ dy=\int_{-1}^0\int_0^{2x+2}\frac{y}{1+x}dx\ dy+\int_{0}^2\int_0^{-x+2}\frac{y}{1+x}dx\ dy$$

Partiamo dal primo integrale:

$$\int_{-1}^0\int_0^{2x+2}\frac{y}{1+x}dx\ dy$$

Separiamo le variabili nella moltiplicazione nei due rispettivi integrali

$$\int_{-1}^0\frac{1}{1+x}dx\ \int_0^{2x+2}y\ dy$$

Integriamo rispetto alla y dove abbiamo un integrale elementare

$$\int_{-1}^0\frac{1}{1+x}dx\ \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{2x+2}=\int_{-1}^0\frac{1}{1+x}dx\ \left[\frac{(2x+2)^2}{2}\right]$$

Notiamo subito che il numeratore della seconda frazione è un multiplo del numeratore della prima dunque si può semplificare.

$$\int_{-1}^0\frac{1}{1+x}dx\ \left[2(1+x)^2\right]=2\int_{-1}^0\frac{(1+x)^2}{1+x}dx=2\int_{-1}^0(1+x)\ dx$$

Calcoliamo ora il valore definito del primo integrale

$$2\left[x+\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0=2\left[(0)-\left(-1-\frac{1}{2}\right)\right]=1$$

Passiamo ora al secondo integrale

$$\int_{0}^2\int_0^{-x+2}\frac{y}{1+x}dx\ dy$$

Separiamo le variabili nella moltiplicazione nei due rispettivi integrali

$$\int_{0}^2\frac{1}{1+x}dx\ \int_0^{-x+2}ydy$$

Integriamo rispetto alla y dove abbiamo un integrale elementare

$$\int_{0}^2\frac{1}{1+x}dx\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{-x+2}=\int_{0}^2\frac{1}{1+x}dx\left[\frac{(-x+2)^2}{2}\right]=$$

Qui dobbiamo per forza svolgere i calcoli.

Uniamo dunque le due frazioni (nella moltiplicazioni e spostiamo fuori la costante integrativa

$$\frac{1}{2}\int_0^2\frac{x^2-4x+4}{x+1}dx$$

A questo punto dobbiamo integrare una funzione fratta con il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore.

Per tale motivo facciamo la divisione polinomiale con Ruffini

$$(x^2-4x+4)\div(x+1)=$$

Applicando la regola otteniamo 

$$\frac{1}{2}\int_0^2\left(x-5+\frac{9}{x+1}\right)dx$$

Dunque integrando abbiamo 

$$\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}-5x+9\log|x+1|\right]_0^2=$$

Applichiamo l’integrale definito

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{2}-5\cdot2+9\log3\right)=-4+\frac{9}{2}\log3$$

A questo punto per calcolare il valore finale sommiamo i due integrali

$$\int_T\frac{y}{1+x}dx\ dy=1+\left(-4+\frac{9}{2}\log3\right)=-3+\frac{9}{2}\log3$$

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