IL SENO IPERBOLICO

Il seno iperbolico è definito come la semidifferenza tra la funzione esponenziale e^x e la funzione esponenziale e^-x.

$$\sinh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Viene definito iperbolico per via della relazione iperbolica che esiste tra il seno e il coseno iperbolico.

$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$

 che ricorda molto l’equazione dell’iperbole equilatera.

$$X^2-Y^2=1$$

GRAFICO E PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE SENO IPERBOLICO

Mostriamo sotto il grafico della funzione seno iperbolico ed elenchiamo sotto le principali proprietà

ESPLICITIAMO ALCUNE CARATTERISTICHE DEL SENO IPERBOLICO

Andiamo ora ad esplicitare alcune caratteristiche che abbiamo elencato della funzione seno iperbolico.

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

Se vogliamo studiare l’intersezione con l’asse delle y mettiamo a sistema la funzione seno iperbolico con la retta x=0

$$\begin{cases}f(x)=\sinh(x)\\x=0 \end{cases}$$

Dobbiamo dunque calcolare il valore della funzione se x=0

Ci rifacciamo perciò alla definizione stessa di seno iperbolico

$$f(x)=\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

Dunque abbiamo che:

$$f(0)=\sinh(0)=\frac{e^0-e^{-0}}{2}=\frac{1-1}{2}=0$$

Dunque la funzione passa per l’origine (0,0)

Determiniamo ora l’intersezione con l’asse delle x col seguente sistema

$$\begin{cases}f(x)=\sinh(x)\\f(x)=0 \end{cases}$$

Risolviamo perciò l’equazione

$$\sinh(x)=0$$

Ancora una volta rifacciamoci alla definizione

$$\frac{e^x-e^{-x}}{2}=0\ \to\ e^x-e^{-x}=0$$

Ribaltiamo la potenza con esponente negativo

$$e^x-\frac{1}{e^x}=0$$

Facciamo una sostituzione momentanea per ricavare un’equazione fratta di secondo grado.

$$t-\frac{1}{t}=0\ \to\ \frac{t^2-1}{t}=0$$

Il denominatore è certamente positivo in quanto esponenziale dunque risolviamo il numeratore uguale a zero

$$t^2-1=0\ \to\ (t+1)(t-1)=0$$

Da cui otteniamo le due soluzioni

$$t=\pm1$$

Accettiamo solamente la soluzione positiva in quanto t è un valore esponenziale.

$$e^x=1\ \to\ x=\log1\ \to\ x=0$$

Abbiamo trovato che l’unica intersezione con l’asse delle x è ancora l’origine. (0,0)nica intersezione con l’asse delle x è ancora l’origine. (0,0) 

SEGNO DELLA FUNZIONE

Per studiare il segno della funzione seno iperbolico impostiamo la seguente disequazione

$$\sinh(x)>0$$

Espandiamo la funzione

$$\frac{e^x-e^{-x}}{2}>0\ \to\ e^x-e^{-x}>0$$

Ribaltiamo la potenza con esponente negativo

$$e^x-\frac{1}{e^x}>0$$

Facciamo una sostituzione momentanea per ricavare una disequazione fratta di secondo grado.

$$t-\frac{1}{t}>0\ \to\ \frac{t^2-1}{t}>0$$

Il denominatore è certamente positivo in quanto esponenziale dunque lo eliminiamo

$$t^-1>0\ \to\ t<-1\ \lor\ t>1$$

La prima parte del risultato non da soluzioni poiché non è possibile che la t (esponenziale) sia minore di –1 , risolviamo dunque la seconda parte

$$e^x>1\ \to\ x>\log1\ \to\ x>0$$

Ecco che la funzione risulta positiva nell’intervallo (0, +∞)

Dunque risulta negativa nella residua zona (–∞, 0)., 0).

DOMINIO, LIMITI E CODOMINIO DELLA FUNZIONE

Dall’equazione espansa della funzione seno iperbolico

$$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

Ricaviamo immediatamente che il dominio è tutto R.

Questo dal momento che il suo dominio è quello della funzione esponenziale.

Dunque possiamo anche capire che è continua in tutto il dominio da –∞ a più ∞.

Passiamo ai limiti agli estremi del dominio

$$\begin{aligned}&\lim_{x\to-\infty}\sinh(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{-\infty}-e^{+\infty}}{2}=\frac{0-\infty}{2}=-\infty\\&\\&\lim_{x\to+\infty}\sinh(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{+\infty}-e^{-\infty}}{2}=\frac{+\infty-0}{2}=+\infty\end{aligned}$$

Da questi limiti capiamo immediatamente che anche il codominio C della funzione è R

$$C=(-\infty,+\infty)$$

DERIVATA DELLA FUNZIONE SENO IPERBOLICO

Calcoliamo la derivata del seno iperbolico

$$(\sinh(x))’=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)’=\frac{(e^x-e^{-x})’}{2}=\frac{e^x-(-e^{-x})}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Questa ultima coincide proprio con la funzione coseno iperbolico.

$$(\sinh(x)’=\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

INTEGRALE DELLA FUNZIONE SENO IPERBOLICO

La cosa veramente interessante è che la derivata del coseno iperbolico coincide con il seno iperbolico, infatti

$$\begin{aligned}&(\cosh(x))’=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)’=\frac{(e^x+e^{-x})’}{2}=\frac{e^x+(-e^{-x})}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\&\\&(\cosh(x))’=\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\end{aligned}$$

Ne deduciamo immediatamente che l’integrale del seno iperbolico deve essere per forza ancora il coseno iperbolico (ovviamente con la costante c) 

$$\int\sinh(x)\ dx=\cosh(x)+c$$

LIMITI NOTEVOLI

Con la funzione seno iperbolico possiamo tranquillamente dimostrare il limite notevole per cui 

$$\lim_{x\to0}\frac{\sinh(x)}{x}=1$$

Espandiamo come al solito la funzione

$$\lim_{x\to0}\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{2x}=$$

Aggiungiamo e sottraiamo 1 al numeratore

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}+1-1}{2x}=$$

Spacchiamo dunque in due limiti diversi

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}-\lim_{x\to0}\frac{e^{-x}-1}{2x}=$$

Dai limiti notevoli tradizionali il primo vale +1/2 mentre il secondo –1/2 dunque

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}-\lim_{x\to0}\frac{e^{-x}-1}{2x}=\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=1$$

Risulta dunque dimostrato il limite notevole del seno iperbolico:

$$\lim_{x\to0}\frac{\sinh(x)}{x}=1$$

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FUNZIONE ARCOSENO IPERBOLICO

La funzione inversa del seno iperbolico è la funzione arcoseno (o settore–seno) iperbolico determinata con le scritture

$$y=\sinh^{-1}(x)\quad\text{o}\quad y=\text{arcsinh}(x)\quad\text{o}\quad y=\text{settsinh}(x)$$

Per calcolarne il valore dobbiamo risolvere un’equazione di secondo grado

Partiamo dall’equazione

$$\sinh y=x$$

Espandiamo secondo la definizione

$$\frac{e^y-e^{-y}}{2}=x$$

Raddoppiamo e scriviamo il reciproco della funzione esponenziale

$$e^y-\frac{1}{e^y}-2x=0$$

Moltiplichiamo per e^y

$$e^{2y}-2xe^y-1=0$$

Con una sostituzione in t trasformiamo in un’equazione di secondo grado

$$t^2-2xt-1=0$$

Applichiamo la formula risolutiva ridotta

$$t=x\pm\sqrt{x^2+1}$$

Il discriminante è sempre positivo dunque la soluzione è ammessa per ogni x reale.

Per la definizione di esponenziale accettiamo solamente la soluzione positiva

$$e^y=x+\sqrt{x^2+1}$$

Eliminiamo l’esponenziale con il logaritmo naturale

$$y=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$

Tale è il valore della funzione arcoseno iperbolico di x

$$y=\sinh(x)=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$

RELAZIONE FONDAMENTALE E IPERBOLE EQUILATERA

La relazione fondamentale iperbolica ci dice che la differenza tra il quadrato del coseno iperbolico e del seno iperbolico vale 1

$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$

Il modo certamente più intuitivo di rappresentare questa relazione è tramite il classicoteorema di Pitagora dove abbiamo un triangolo rettangolo con cateti sinh(x) e 1 ed ipotenusa pari a cosh(x) 

In questo caso meglio riscriverla così

$$\sinh^2(x)+1=\cosh^2(x)$$

Per dimostrare questa relazione:

$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$

è semplice e basta espandere le funzioni

$$\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2=$$

Sviluppiamo i quadrati di binomio ed espandiamo

$$\begin{aligned}&\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\\&\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}=\frac{4}{4}=1\end{aligned}$$

Se ripartiamo dalla relazione fondamentale

$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$

 ed operiamo una semplice sostituzione (cambio di variabili) 

$$X=\cosh(x)\quad Y=\sinh(x)$$

Otteniamo esattamente l’equazione dell’iperbole equilatera.

$$X^2-Y^2=1$$

Non possiamo non notare la somiglianza alla relazione fondamentale della goniometria dove

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$

 che diventa con le stesse sostituzioni l’equazione della circonferenza goniometrica.

$$X^2+Y^2=1$$

Nel grafico possiamo apprezzare maggiormente il contrasto tra queste relazioni a confronto

FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, BISEZIONE E PARAMETRICHE 

Possiamo considerare la “goniometria iperbolica” come un’espansione della goniometria tradizione.

Dunque non mancano all’interno delle funzione iperboliche le formule di :

• Addizione e sottrazione
• Duplicazione e bisezione 
• Parametriche 

Andiamo ad elencarle sotto 

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

$$\begin{aligned}&\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\\&\\&\sinh(x-y)=\sinh(x)\cosh(y)-\cosh(x)\sinh(y)\end{aligned}$$

FORMULE DI DUPLICAZIONE E BISEZIONE

$$\begin{aligned}&\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)\\&\\&\sinh\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{\cosh(x)-1}{2}}\end{aligned}$$

FORMULE PARAMETRICHE

$$\sinh(x)=\frac{2\tanh\left(\frac{x}{2}\right)}{1-\tanh^2\left(\frac{x}{2}\right)}$$

Sicuramente state pensando all’estrema somiglianza che esiste tra le formule suddette e le tradizionali formule della goniometria.

Per esaltarne ancora di più questo aspetto riportiamole a confronto nella tabella sottostante

FORMULE DI PROSTAFERESI E WERNER

Già che ci siamo spendiamo ancora un po’ di tempo per fare un confronto tra goniometria classica e “goniometria iperbolica” circa le temutissime e odiatissime formule di Prostaferesi e di Werner

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SVILUPPO DI TAYLOR  DEL SENO IPERBOLICO

Lo sviluppo di Taylor – Maclaurin del seno iperbolico ricorda ancora una volta quello del seno tradizionale che ricordiamo essere:

$$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

Passare allo sviluppo di Taylor del seno iperbolico il passo è veramente molto breve.

Ci basta infatti mettere tutti i segni positivi!

$$\sinh(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

UTILITÀ DEL SENO IPERBOLICO CON GLI INTEGRALI

Grazie al concetto di seno iperbolico (e funzioni iperboliche in generale) è possibile risolvere alcuni tipi di integrali molto specifici del tipo:

$$\int\sqrt{x^2+k^2}dx\quad\int\frac{1}{\sqrt{x^2+k^2}}dx$$

Proviamo ad esempio a risolvere il seguente integrale

$$\int\sqrt{x^2+4}dx$$

Raccogliamo 4 all’interno del radicale e portiamo lo fuori

$$\int\sqrt{4\left(\frac{x^2}{4}+1\right)}dx=2\int\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}dx$$

Poniamo ora la seguente sostituzione e lavoriamo sui differenziali

$$\frac{x}{2}=\sinh(t)\ \to\ 2\sinh(t)\ \to\ dx=2\cosh(t)\ dt$$

D’altro canto possiamo anche ricavare il valore di t in funzione della x

$$\sinh(t)=\frac{x}{2}\ \to\ t=\sinh^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$$

Ora passiamo alla vera e propria sostituzione

$$\begin{aligned}&2\int\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}dx=\\&\\&2\int\sqrt{\sinh^2(t)+1}\ 2\cosh(t)dt\end{aligned}$$

Per la relazione fondamentale della “goniometria iperbolica” sappiamo che

$$\sinh^2(t)+1=\cosh^2(t)$$

Dunque riprendiamo l’integrale e spostiamo fuori le costanti

$$\begin{aligned}&4\int\sqrt{\cosh^2(t)}\ \cosh(t)dt=\\&4\int\cosh(t)\ \cosh(t)dt=\\&4\int\cosh^2(t)dt=\end{aligned}$$

Arrivati a questo punto ci viene in soccorso la formula di bisezione del coseno iperbolico che ci dice che

$$\cosh^2(t)dt=\frac{\cosh(2t)+1}{2}$$

Dunque sostituendo 

$$4\int\frac{\cosh(2t)+1}{2}dt=2\int\left(\cosh(2t)+1\right)dt=$$

A questo punto possiamo integrare

$$2\left(\frac{1}{2}\sinh(2t)+t\right)+c$$

Usiamo la formula di duplicazione del seno iperbolico

$$\begin{aligned}&2\left(\frac{1}{2}\left(2\sinh(t)\cosh(t)\right)+t\right)+c=\\&\\&2\left(\sinh(t)\cosh(t)+t\right)\end{aligned}$$

Ora rimettiamo tutto con la lettera x e il giuoco è fatto 

$$2\left(\frac{x}{2}\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}+\sinh^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)+c=$$

Possiamo ancora rendere la soluzione un po’ più bella esteticamente

$$\frac{x}{2}\sqrt{x^2+4}+2\sinh^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+c=$$

Volendo potremmo anche esplicitare la funzione inversa

$$\frac{x}{2}\sqrt{x^2+4}+2\log\left(\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{4}+1}\right)+c=$$

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