LA FUNZIONE SENO

La funzione seno detta anche sinx  o senx  è una funzione trascendente di natura goniometrica che associa ad ogni angolo il valore del suo seno.

CARATTERISTICHE DELLA FUNZIONE SENO

Questa funzione è:

• Periodica
• Limitata
• Dispari 

Viene indicata con la scrittura

$$ \large y=\sin x$$

Il suo grafico è il seguente

Sotto riportiamo le principali caratteristiche di questa funzione:

IL CONCETTO DI SENO NEL TRIANGOLO RETTANGOLO

Il concetto di seno nasce dallo studio del triangolo rettangolo.

Si definisce seno il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa

Nel triangolo rettangolo goniometrico ovvero quello con ipotenusa pari ad 1 il seno di un angolo coincide con il cateto stesso opposto all’angolo.

Dunque nella circonferenza goniometrica con centro nell’origine (0,0) e raggio uguale a 1 i seno dell’angolo è pari all’ordinata del punto sulla circonferenza

TABELLA DEI SENI DI ANGOLI NOTI 

Sotto mostriamo la tabella del seno dei principali angoli noti da 0 gradi a 180 gradi

TRIANGOLI RETTANGOLI SPECIALI

All’interno di tutti i triangoli rettangoli ve ne sono due molto particolari che ricoprono un ruolo veramente importante nella storia dell’uomo:

• Triangolo rettangolo isoscele (la metà di un quadrato) 
• Triangolo rettangolo 30-60-90 (metà di un triangolo equilatero) 

Da questi due triangoli possiamo calcolare il seno degli angoli 30, 45 e 60 gradi.

TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE

Il primo è il triangolo rettangolo isoscele che è la metà di una quadrato.

Se definiamo l il lato del quadrato possiamo calcolare la diagonale d con la formula di Pitagora

$$d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=\sqrt{2}l$$

Da che possiamo calcolare il valore del lato in funzione della diagonale

$$ d=\sqrt{2}l \to l=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}d$$

Si da il caso che la diagonale risulta l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele.

I suoi angoli non retti misurano entrambi 45^o.

Dunque il coseno di 45^o vale rad2/2

$$ \sin45^o=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}i}{i}= \frac{\sqrt{2}}{2}$$

TRIANGOLO RETTANGOLO EMIEQUILATERO

Il triangolo rettangolo emi-equilatero è la metà di un triangolo equilatero ed i suoi angoli misurano 30-60-90 gradi.

Detto l il lato del triangolo equilatero se tracciamo una altezza questa risulta sia bisettrice che mediana.

Dunque la base che stiamo considerando viene divisa in due parti congruenti di valore l/2.

A questo punto possiamo calcolare il valore dell’altezza h usando il teorema di Pitagora

$$h=\sqrt{l^2-\left(\frac{1}{2}l\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}l^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}l$$

Ora se consideriamo il triangolo rettangolo emi-equilatero con angoli 30-60-90 possiamo definire i l’ipotenusa e c1 e c2 i due cateti

L’ipotenusa i sarebbe il lato l del triangolo equilatero, mentre i due cateti misurano:

$$c_1=\frac{1}{2}i\ \text{adiacente a $60^o$}\quad c_2=\frac{\sqrt{3}}{2}i\ \text{adiacente a $30^o$}$$

Dunque per la definizione di coseno di una angolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa, dunque

$$ \sin30^o=\frac{c_1}{i}=\frac{\frac{1}{2}i}{i}=\frac{1}{2} \quad \sin60^o=\frac{c_2}{i}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}i}{i}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ricapitolando possiamo costruire i due triangoli rettangoli goniometrici associati con ipotenusa pari a 1.

I cateti opposti agli angoli risultano pari al valore del seno degli angoli

Questo due soli triangoli permettono di costruire molti altri triangoli sulla circonferenza goniometrica.

RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA

Il concetto di seno fa parte della relazione fondamentale della trigonometria.

Questa relazione afferma che per ogni angolo la somma del quadrato del seno e del quadrato del coseno è sempre pari a 1.

$$ \cos^2x+\sin^2x=1$$

Da questa relazione possiamo calcolare il valore del seno in funzione del coseno oppure viceversa:

$$ \sin x= \sqrt{1-\cos^x}\quad \cos x= \sqrt{1-\sin^x}$$

ANGOLI SULLA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Sulla base dei triangoli particolari che abbiamo appena costruito e dai quali abbiamo costruito le informazioni possiamo collocare gli angolisulla circonferenza goniometrica.

L’equazione della circonferenza goniometrica è:

$$ X^2+Y^2=1$$

Che richiama esattamente la relazione fondamentale della goniometria o trigonometria

$$ \cos^2x+\sin^2x=1$$

In questo caso optiamo per la sostituzione

$$ X=\cos x \quad Y=\sin x $$

Il suo centro C è l’origine del sistema cartesiano, mentre il suo raggio R vale 1

$$ C(0,0) \quad R=1$$

ANGOLI PARTICOLARI NELLA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Sulla circonferenza goniometrica possiamo collocare gli angoli noti più importanti.

In ogni punto della circonferenza goniometrica relativamente ad un angolo x troviamo come coordinate rispettivamente il coseno e il senodell’angolo x

$$P(\cos x ,\sin x)$$

In questo articolo in particolare ci interessa il valore del coseno

Sotto riportiamo la circonferenza con gli angoli più utilizzati

COSTRUZIONE DELLA FUNZIONE SENO

Sulla base dei valori dei seni in corrispondenza di ogni angolo che abbiamo rappresentato sulla circonferenza goniometrica possiamo rappresentare la funzione y=sinx

Rappresentiamo sull’asse della x il valore degli angoli mentre sull’asse delle y i valori dei seni.

Cominciamo a rappresentarli nell’intervallo (0, 2π).

PERIODO DELLA FUNZIONE SENO DI X

La funzione seno di x è una funzione periodica, ovvero che si ripete identica in ogni suo periodo.

Il periodo della funzione seno è 2π.

IL SENO NELLA STORIA DELL’UOMO

Il concetto di seno ha accompagnato la storia dell’uomo sin dalle origine della civiltà.

I primi reperti che possediamo sono delle tavole babilonesi che riportano i seni di angoli particolari.

La tavola riportata sotto dimostra che il modo babilonese di pensare alla matematica si basava sul sistema sessagesimale che permetteva ai geometri di misurare gli angoli e il tempo

I primi utilizzi della trigonometria si riferiscono dunque a costruzione di monumenti e allo studio degli astri.

Il viaggio temporale della trigonometria continua in Asia, specialmente in India dove si trovano prove che tra l’VIII e il IV secolo a.C. i matematici stavano affrontando il problema della quadratura del cerchio.

Con i Greci e gli egiziani la matematica goniometrica diventa più precisa.

Matematici del Calibro di Ipparco di Nicea (180-125 a.C.) e Claudio Tolomeo (150 d.C.) studiano la trigonometria con la circonferenza.

Tramite rigorosi teoremi si giunge a dimostrazioni importanti tra i quali troviamo:

• Seno di angoli e lati di poligoni regolari
• Formule di addizioni e sottrazione

Successivamente ancora in India il matematico Aryabhata (476-550)  giunge a conclusioni importanti come:

• Relazione fondamentale della goniometria
• Formula di angoli associati 

Vedi qui per approfondire …

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UTILITÀ DEL SENO NELLA GEOMETRIA

Nella storia della geometria il concetto di seno ha ricoperto e ricopre ancora oggi un ruolo veramente molto importante.

Per citare alcuni semplici esempi citiamo:

• Teorema dei seni nei triangoli
• Calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi
• Lati nei poligoni regolari

TEOREMA DEI SENI NEI TRIANGOLI

Consideriamo  un triangolo generico di lati a,b,c  

Definiamo gli angoli del triangolo 𝛼, 𝛽, 𝛾 opposti rispettivamente ad  a,b,c

Il teorema dei seni afferma che in questo triangolo è sempre costante il rapporto tra ogni lato ed il seno dell’angolo opposto

$$ \frac{a}{\sin\alpha }=\frac{b}{\sin\beta }=\frac{c}{\sin\gamma }$$

CALCOLO DELL’AREA DI UN TRIANGOLO QUALSIASI

Il concetto di seno di un angolo è molto utile per calcolare l’area di un triangolo quando si conoscono due lati ed il valore dell’angolo compreso.

Consideriamo un generico triangolo di lati a,b,c e di angoli opposti 𝛼, 𝛽, 𝛾

Supponiamo inoltre di conoscere due lati ad esempio i lati a,b e il valore dell’angolo 𝛾 compreso tra essi.

L’area del triangolo è pari alla metà del prodotto dei due lati moltiplicata per il seno dell’angolo compreso 

$$ A = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$$

LATI DI UN POLIGONO REGOLARE

Ipotizziamo di avere un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza.

Il seno della metà dell’angolo al centro è dato dal rapporto tra la metà del lato del poligono e il raggio della circonferenza

SENO DI ANGOLI ASSOCIATI 

Un capitolo molto interessante della goniometria riguarda le formule degli angoli associati.

Tali formule permettono di esprimere il coseno di alcuni angoli in funzione del seno o del coseno di altri angoli .

Fissato un generico angolo 𝛼 i suo principali angoli associati sono:

$$ -\alpha \quad \pi \pm \alpha \quad \frac{\pi}{2}\pm\alpha \quad \frac{3}{2}\pi\pm\alpha $$

In particolare abbiamo che:

$$ \begin{array}{l} \sin(-\alpha)=-\sin\alpha & \sin(\pi\pm\alpha)=\mp\cos\alpha \\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)=\text{cos}\alpha & \sin\left(\frac{3}{2}\pi\pm\alpha\right)=-\text{cos}\alpha \end{array} $$

FORMULE GONIOMETRICHE CON IL SENO

La teoria della goniometria che riguarda il seno è veramente molto vasta e tante sono le formule che lo riguardano.

A tal proposito ricordiamo le formule di:

• Addizione e sottrazione
• Duplicazione  e bisezione
• Parametriche
• Prostaferesi

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Le formule di addizione e sottrazione per il seno sono:

$$ \begin{array}{l} \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos \beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos \beta-\cos\alpha\sin\beta \end{array}$$

FORMULE DI DUPLICAZIONE E BISEZIONE

Le formule di duplicazione e di bisezione per la funzione seno sono:

$$ \begin{array}{l} \sin2\alpha= 2\sin\alpha\cos\beta \\ \sin\frac{\alpha}{2}= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \end{array}$$

FORMULE PARAMETRICHE

Nella formula parametrica il seno di un certo angolo viene riscritto in funzione della tangente della metà dell’angolo:

$$ \sin\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$

FORMULE DI PROSTAFERESI 

Con le formule di Prostaferesi possiamo riscrivere la somma o la differenza tra il coseno di due angoli in funzione del seno e del coseno della semi-somma o la semi-differenza degli angoli

$$ \begin{array}{l} \sin p + \sin q = 2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) \\ \cos p – \cos q = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right) \end{array}$$

EQUAZIONI ELEMENTARI CON IL SENO

Grazie al concetto di seno di un angolo possiamo creare delle equazioni che hanno proprio come incognita questo oggetto goniometrico.

Le equazioni elementari in seno si presentano nella forma:

$$ \sin x= k$$

Dal punto di vista grafico mettiamo a sistema la circonferenza goniometrica con la retta orizzontale y = k

Le soluzioni di questa equazione sono due quando i valori della costante sono compresi tra –1 e 1 (modulo di k minore di 1) e sono tutti gli angoli del tipo:

$$ |k|<1 \to -1<k<1 \to \\ \ \\ x=\sin^{-1}k +2n\pi \lor x=\pi-\sin^{-1}k +2n\pi \quad \text{con $n\in\mathbb{Z}$}$$

Abbiamo invece una sola funzione quando il valore di k vale +1 oppure –1 (modulo di k uguale a 1) , in particolare

$$ \begin{array}{l} k=1 &\to& x=\frac{\pi}{2}+2n\pi \\ \ \\ k=-1 &\to& x= -\frac{\pi}{2}+2n\pi \end{array}$$

Quando invece la costante k risulta maggiore di +1 oppure minore di –1 (modulo di k maggiore di 1) allora non vi sono soluzioni reali

$$ |k|>1 \to k<-1 \lor k>1 \to \not \exists x \in \mathbb{R}$$

Un’altra forma elementare in cui possono manifestarsi le equazioni che hanno come oggetto il seno di un angolo sono del tipo:

$$ \cos\left(f(x)\right) = \cos\left(g(x)\right) $$

La soluzione generale di questo tipo di equazioni è del tipo:

$$ f(x) = g(x) +2k\pi \lor f(x)=\pi-g(x)+2k\pi\quad \text{con $k\in\mathbb{Z}$}$$

LIMITI NOTEVOLI CON IL SENO

Il ruolo del seno ricopre un ruolo centrale all’interno della teoria dei limiti ed in particolare nei limiti notevoli che riguardano la forma indeterminata zero su zero

La forma principale dei limiti notevoli che da orgine a tutte le formulazioni goniometriche è:

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 $$

Nella teoria degli asintotici la possiamo scrivere anche in questo modo:

$$ x\to0:\ \sin x\sim x$$

Quando la x tende a zero la funzione seno di x diventa asintotica alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

DERIVATA PRIMA DELLA FUNZIONE SENO DI X

La derivata prima del seno di x è il coseno di x.

$$ y=\sin x \to y’=\cos x $$

La dimostrazione di questa formulazione è da ricercarsi proprio nei limiti notevoli.

Consideriamo la funzione goniometrica sinx :

$$ f(x) = \sin x$$

Applichiamo per il calcolo il limite del rapporto incrementale

$$ \begin{array}{h} f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\frac{0}{0} \end{array}$$

Applichiamo le proprietà della somma di angoli

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin x \cos h +\cos x \sin h-\sin x}{h}\right)=$$

Notiamo che quando la h tende a zero il cosh tende a  1

$$ h\to0:\ \cos h\sim 1 $$

Dunque riscriviamo il nostro limite come

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin x -\cos x \sin h-\sin x}{h}\right)=\lim_{h\to0}\left(\frac{ \cos x \sin h}{h}\right)$$

Per le proprietà dei limiti notevoli la funzione sinh tende ad h quando h tende a zero

$$ h\to0:\ \sin h\sim h $$

Dunque il nostro limite è in maniera asintotica risulta

$$ f'(x)= \lim_{h\to0}\left(\frac{ \cos x \sin h}{h}\right) \sim \lim_{h\to0}\left( \frac{h\cos x }{h}\right)= \cos x $$

SVILUPPO DI TAYLOR DELLA FUNZIONE SENO

Quando le cose diventano più specifiche i limiti notevoli non riescono ad offrire un grado di precisione sufficiente per calcolare alcune forme indeterminate zero su zero.

Per questo esistono le formule relative al polinomio di Taylor – Mac Laurin

In particolare è possibile approssimare la funzione seno di x in un intorno molto piccolo di x=0  attraverso un polinomio di grado n di questo tipo:

$$ \sin x = 1-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots +\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$

Queste nozioni si apprendono principalmente nei corsi universitari di ingegneria, fisica, chimica e matematica.

INTEGRALE DELLA FUNZIONE SENO

L’integrale è un operatore matematico detto anche anti-derivata.

Nel caso particolare del seno abbiamo che il suo integrale è la funzione –coseno di x

$$ \int\sin x = -\cos x +c$$

LA FUNZIONE INVERSA DEL SENO DI X

La funzione inversa del seno di x è arcoseno di x detta anche sin^-1x.

$$ f(x)= \sin x \to f^{-1}(x)= \sin^{-1}x =\arcsin x$$

Questa funzione calcola il valore dell’angolo in corrispondenza di ogni valore del seno.

Il suo dominio va da –1 a +1

Mentre il suo codominio va da –π/2 a +π/2.

IL SENO NEI NUMERI COMPLESSI

Verso il 1600 nasce in Europa una nuova affascinante materia, quella dei numeri complessi.

Questa teoria si basa sull’unità immaginaria i il cui quadrato è il numero negativo –1.

Una rivoluzione matematica!

Questa rivoluzione porta alla creazione di numeri complessi z dotati di una parte reale a che viene sommata ad una parte immaginaria ib.

$$ z= a+ib$$

I matematici del tempo connettono la teoria dei numeri complessi con la già affermata teoria della goniometria.

Il coseno e il seno sono utilizzati per rappresentare rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dei numeri.

$$ z= a+ib= \rho\cos\theta+i\rho\sin\theta$$

I numeri immaginari vengono rappresentati come vettori nel piano di Gauss, matematico tedesco vissuto tra il 1777 e il 1855.

$$ z=a+ib=\rho\cos\theta+i\rho\sin\theta\\ \ \\ \begin{array}{l} a=\rho\cos\theta\ \text{ è la parte reale di z} \\ b=\rho\sin\theta\ \text{ è la parte immaginaria di z}\\ \rho=\sqrt{a^2+b^2}\ \text{ è il modulo di z} \\ \theta\ \text{è l’angolo formato dal numero complesso con l’asse dei reali} \end{array} $$

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