LIMITI DI FUNZIONI IN DUE VARIABILI

In questo articolo cerchiamo di capire come funzionano i limiti di funzioni a due variabili.

Cominciamo con il premettere che questi limiti sono delle “bestie immonde” e molte volte non è facile per uno studente capire in quale direzione procedere per svolgere i calcoli.

(questo vale anche per me) 

Cerchiamo quindi di dare una linea di azione il più possibile chiara per affrontare questa spinosa questione.

La raccomandazione che vi faccio è: se siete al mattino bevete un bel caffè o the energizzante.

Mentre vi consiglio una bella camomilla calmante quando cominciate a sentire i primi sintomi di “sclero”.

Per chi è alle prime armi consiglio anche prima di abbandonare tutto di provare a rileggere e riscrivere sul un foglio gli esercizi di questo articolo.

I limiti che svolgeremo sono i classici esempi di forme indeterminate del tipo zero su zero

CALCOLARE UN LIMITE DI FUNZIONI A DUE VARIABILI

Calcolare il valore di un limite di funzioni a due variabili è un concetto di base molto semplice.

Esattamente come nei limite di funzioni ad una variabile reale significa andare a sostituireall’interno della nostra funzione in valori della x e della y cui la funzione tende.

Consideriamo dunque una funzione a due variabili con dominio in R² e codominio in R

$$f:\ \mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2}$$

Ad esempio la funzione:

$$f(x,y)=3x^2-y^2$$

Calcoliamo il limite dove il valore della x tende ad 1 mentre il valore della y tende a 2, allora scriviamo 

$$\lim_{(x,y)\to(1,2)}(3x^2-y^2)=$$

Per calcolare il limite sostituiamo al posto della x 1 e al posto della y 2, dunque:

$$\lim_{(x,y)\to(1,2)}(3x^2-y^2)=3\cdot1^2-2^2=-1$$

Vediamo anche questi semplici esempi:

$$\begin{aligned}&\lim_{(x,y)\to(-2,1)}\frac{x^2y\log(x+y+3)}{x+y}=\frac{(-2)^2\cdot1\log(-2+1+3)}{-2+1}=-4\log2\\&\lim_{(x,y)\to(2,3)}\sqrt{xy+3}=\sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt{9}=3\end{aligned}$$

TECNICHE RISOLUTIVE DEI LIMITI DI FUNZIONI A DUE VARIABILI

Le tecniche che maggiormente vengono usate per affrontare le questioni riguardanti limiti notevoli con funzioni a due variabili sono tre:

• Maggiorazione
• Restrizione 
• Trigonometria

TECNICA DELLA MAGGIORAZIONE – ESISTENZA DEL LIMITE

La tecnica della maggiorazione permette di capire se il limite di una funzione esiste.

Detto in parole molto semplici utilizziamo tale tecnica per identificare un maggiorante della funzione che abbia come limite zero.

Se tale maggiorante esiste anche il limite che stiamo cercando vale zero.

La tecnica della maggiorazione si basa su un assunto fondamentale che riguarda le somme e i valori assoluti.

Cominciamo con il considerare una somma di elementi a e b

$$a+b$$

È molto facile dimostrare che tale somma è certamente inferiore o uguale al valore assoluto della somma degli elementi

$$a+b\le |a+b|$$

Tale somma di valori assoluti è a sua volta inferiore o uguale alla somma dei valori assoluti degli elementi 

$$a+b\le|a+b|\le|a|+|b|$$

Questa parte di ragionamento è utile per spezzare la frazione che rappresenta la funzione.

Ad esempio possiamo scrivere che

$$\frac{x^2y+2x^3-3y^4}{x^2+y^2}\le\left|\frac{x^2y+2x^3-3y^4}{x^2+y^2}\right|\le\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|+\left|\frac{2x^3}{x^2+y^2}\right|+\left|\frac{3y^4}{x^2+y^2}\right|$$

(da notare che non è stato un errore l’ultimo +) 

L’altra parte del ragionamento si basa sul fatto che se consideriamo la frazione

$$\frac{a}{b+c}\quad a,b,c>0$$

Possiamo affermare che se togliamo uno dei termini del denominatore (entrambi positivi) allora il valore della frazione aumenta, dunque 

$$\frac{a}{b+c}\le\frac{a}{b}\quad\text{oppure}\quad\frac{a}{b+c}\le\frac{a}{c}$$

(attenzione che al denominatore dobbiamo avere una somma di positivi) 

Proviamo ad applicare questo concetto ai tre addendi in cui abbiamo spaccato la frazione nella disuguaglianza

$$\begin{aligned}&\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le\left|\frac{x^2y}{x^2}\right|=|y|\\&\left|\frac{2x^3}{x^2+y^2}\right|\le\left|\frac{2x^3}{x^2}\right|=2|x|\\&\left|\frac{3y^4}{x^2+y^2}\right|\le\left|\frac{3y^4}{y^2}\right|=3|y^2|=3y^2\end{aligned}$$

Dunque in definitiva possiamo affermare anche che

$$\frac{x^2y+2x^3-3y^4}{x^2+y^2}\le|y|+2|x|+3y^2$$

Pensate a cosa succederebbe se la x e la y tendessero contemporaneamente a zero.

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y+2x^3-3y^4}{x^2+y^2}\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(|y|+2|x|+3y^2\right)=0$$

Dunque il limite esiste e vale zero.

Vi consiglio prima di vedere le altre tecniche di svolgere gli esercizi sotto per il calcolo dei limiti di funzioni a due variabili dove trovate MAGGIORAZIONE.

In particolare leggeteli solamente guardando la tecnica appunto della maggiorazione senza andare oltre.

Fatto questo ritornate a questo punto dell’articolo e riprendete l’argomento dalla tecnica delle restrizioni.

TECNICA DELLA RESTRIZIONE – NON ESISTENZA DEL LIMITE

La seconda tecnica che presentiamo è la tecnica della restrizione.

Utilizziamo questa tecnica per dimostrare la non esistenza del limite.

Ovviamente la tecnica della restrizione serve per risolvere le forme indeterminate e specialmente la applicheremo per la forma zero su zero.

Dobbiamo sapere che quando un limite esiste il suo valore è sempre quello per tutte le direzioni.

Quando usiamo il termine direzione intendiamo tutti i possibili percorsi che ci portano a quel punto della funzione dove si crea la forma indeterminata.

Ad esempio quando seguiamo il percorso lungo l’asse delle x lo indichiamo con lacoppia (x,y) che tende a (t,0) che tende a (0,0)  e dunque possiamo scrivere.

Questo significa che quando poi ricalcoliamo il limite sostituiamo la posto della x la variabile t e al posto della y lo zero.

$$\lim_{t\to0}\ f(0,t)=\cdots$$

Da notare che in questo modo riconduciamo questo limite ad un limie ad una sola variabile reale t

Oppure quando ci spostiamo lungo l’asse delle y diciamo che la coppia (x,y) tende a (t,0) 

$$\lim_{t\to0}\ f(t,0)=\cdots$$

Se preferiamo muoverci lungo la bisettrice del primo e del terzo quadrante ovvero lungo la retta di equazione y=x allora possiamo scrivere che la coppia (x,y) tende a (t,t) che tende a (0,0) 

$$\lim_{t\to0}\ f(t,t)=\cdots$$

Resta bene inteso che potremmo muoverci lungo una qualsiasi retta (che contiene il punto) in direzione del nostro punto del tipo y=mx+q ed in questo caso possiamo usare la scrittura

$$\lim_{t\to0}\ f(t,mt+q)=\cdots$$

In questo caso oltre alla variabile t compaiono anche i parametri m e q

In modo analogo possiamo scegliere il percorso lungo una parabola e dunque una funzione di secondo grado y=ax2+bx+c

$$\lim_{t\to0}\ f(t,at^2+bt+c)=\cdots$$

Qui oltre alla variabile t compaiono anche i parametri a,b e c.

Se optiamo per un movimento lungo una funzione irrazionale ad esempio la radice quadrata di x abbiamo la scelta tra queste due opzioni

$$\lim_{t\to0}\ f(t,\sqrt{t})=\cdots\qquad \lim_{t\to0}\ f(t^2,t)=\cdots$$

(in questo caso ci stiamo muovendo verso l’origine (0,0)) 

In generale possiamo muoverci verso lungo una qualsiasi curva espressa in modo parametrico, volendo anche lungo questa

$$\lim_{t\to0}\ f(t^2+2t-5,e^t+\log(2-t))=\cdots$$

L’importante è che sia un percorso che abbia senso alla luce della funzione studiata e che lungo la sua traiettoria si incontri il punto incriminato.

Nella figura sotto mostriamo alcune direzioni possibili quando il punto cui il limite tende è l’origine (0,0) 

Lo scopo finale della procedura chiaramente non può essere quello di dimostrare che il limite ha lo stesso valore lungo tutte le direzioni.

Questo proprio per il fatto che le direzioni che possiamo seguire sono infinite.

Dunque quello che dobbiamo cercare è una contraddizione dovuta a valori diversi del limite lungo due direzioni distinte.

Quando tale contraddizione si verifica riusciamo ad affermare che il limite non esiste.

Consideriamo ad esempio il seguente limite 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2+5y^4}=\frac{0}{0}$$

Dal momento che abbiamo ottenuto una forma indeterminata proviamo a vedere se riusciamo seguendo direzioni diverse verso l’origine a trovare una contraddizione nel valore del limite

Cominciamo con il seguire il percorso lungo l’asse delle x: (t,0) 

$$\lim_{t\to0}\ f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t^2\cdot0}{t^4+0^2+5\cdot0^4}=\frac{0}{t^4}=0$$

Abbiamo ottenuto come valore zero.

Questo risultato potrebbe essere confermato oppure confutato seguendo un’altra direzione.

Proviamo ad esempio a seguire il percorso lungo l’asse delle y: (0,t) 

$$\lim_{t\to0}\ f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0^2\cdot t}{0^4+t^2+5 t^4}=\frac{0}{t^2+5t^4}=0$$

Anche lungo l’altro asse il risultato è pari a zero.

Proviamo dunque a muoverci lungo ad esempio la bisettrice del primo e terzo quadrante: (t,t) 

$$\lim_{t\to0}\ f(t,t)=\lim_{t\to0}\frac{t^3}{t^4+t^2+5t^4}=\lim_{t\to0}\frac{t^3}{t^2(6t^2+1)}=\lim_{t\to0}\frac{t}{6t^2+1}=0$$

Se vogliamo verificare che questo risultato è valido per tutte le rette passanti per l’origined obbiamo muoverci lungo la direzione (t,mt) possiamo calcolare il seguente limite

$$\begin{aligned}&\lim_{t\to0}\ f(t,mt)=\lim_{t\to0}\frac{m^2t^3}{m^4t^4+t^2+5t^4}\\&\lim_{t\to0}\frac{m^2t}{m^4t^2+1+5t^2}=0\end{aligned}$$

Dunque sembra dimostrato che lungo tutte le rette passanti per l’origine il limite in questione vale zero.

Ma questo non basta certamente per affermare che il valore del limite in oggetto sia zero.

Proviamo infatti a muoverci lungo la parabola y=x² : (t,t²) 

$$\lim_{t\to0}\ f(t,t^2)=\lim_{t\to0}\frac{t^4}{t^4+t^4+5t^4}=\lim_{t\to0}\frac{t^4}{6t^4}=\frac{1}{6}$$

Ecco che abbiamo trovato il nostro “ago nel pagliaio“.

Questo risultato che risulta in contraddizione con i risultati precedenti basta e avanza per affermare che il limite in oggetto non esiste!

Da questi esempi si può capire come la procedura per restrizione potrebbe essere anche lunga e fastidiosa.

Solamente con un bel po’ di pratica si riescono comunque a risolvere gli esercizi tipici all’interno dei temi di analisi matematica 2.

TECNICA DELLA  TRIGONOMETRICA (COORDINATE POLARI)

Ora passiamo alla famigerata tecnica trigonometrica.

Questa tecnica molto potente si basa sul processo di sostituzione.

In particolare quando stiamo calcolando il limite per (x,y) tendente all’origine

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$$

 ed otteniamo una forma indeterminata del tipo zero su zero

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\frac{0}{0}$$

Possiamo optare per un cambio di variabili di stampo goniometrico ovvero 

$$\begin{cases} x=\rho\cos\theta\\y=\rho\sin\theta\end{cases}$$

Tale tipo di sostituzione si indica anche come “passaggio alle coordinate polari”.

In tal modo andiamo a calcolare il seguente limite ad una variabile reale 𝜌 ed un parametro 𝜃

$$\lim_{\rho\to0}\ f\left(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta\right)=\cdots$$

In generale se stiamo tendendo ad un punto qualsiasi (x0,y0) 

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\ f(x,y)=\frac{0}{0}$$

possiamo usare la sostituzione più generale

$$\begin{cases} x=x_0+\rho\cos\theta\\y=y_0+\rho\sin\theta\end{cases}$$

Dunque il nuovo limite che andremo a calcolare è:

$$\lim_{\rho\to0}\ f\left(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta\right)=\cdots$$

Lo scopo di questa tecnica è quello di confermare (o smentire) i risultati ottenuti con il metodo di maggiorazione oppure di restrizione.

Se consideriamo ad esempio il limite:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=\frac{0}{0}$$

Usando la tecnica della maggiorazione scopriamo che il limite esiste e vale zero, infatti 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^2y}{x^2}\right|=\lim_{(x,y)\to(0,0)}|y|=0$$

Se volessimo una verifica in termini di coordinate polari possiamo riscrivere il limite come

$$\lim_{\rho\to0}\frac{(\rho\cos\theta)^2(\rho\sin\theta)}{(\rho\cos\theta)^2+(\rho\sin\theta)^2}=$$

Il denominatore tende al quadrato di 𝜌 per la relazione fondamentale della goniometria

$$(\rho\cos\theta)^2+(\rho\sin\theta)^2=\rho^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\rho^2$$

Dunque il limite diventa

$$\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^3\sin\theta\cos^2\theta}{\rho^2}=\lim_{\rho\to0}\rho\sin\theta\cos^2\theta=0$$

Da notare che il limite vale certamente zero qualsiasi sia il valore dell’angolo 𝜃.

Consideriamo un secondo esempio che abbiamo risolto sopra con il metodo delle restrizioni

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2+5y^4}=\frac{0}{0}$$

Grazie a tale tecnica siamo riusciti a scoprire che lungo la parabola passante per l’origine il limite ha un valore diverso rispetto a quello calcolato lungo le rette.

In tal modo abbiamo concluso che il limite certamente non esiste.

Possiamo in qualche modo arrivare ad un risultato analogo seguendo la logica della sostituzione in coordinate polari.

Riscriviamo infatti il limite come segue

$$\begin{aligned}&\lim_{\rho\to0}\frac{(\rho\cos\theta)^2(\rho\sin\theta)}{(\rho\cos\theta)^4+(\rho\sin\theta)^2+5(\rho\sin\theta)^4}\\&\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^3\sin\theta\cos^2\theta}{\rho^4\cos^4\theta+\rho^2\sin^2\theta+5\rho^4\sin^4\theta}\\&\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^3\sin\theta\cos^2\theta}{\rho^2(\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta+5\rho^2\sin^4\theta)}\\&\lim_{\rho\to0}\frac{\rho\sin\theta\cos^2\theta}{\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta+5\rho^2\sin^4\theta} \end{aligned}$$

Se facciamo tendere il 𝜌 a zero il valore del limite diventa il prodotto tra zero ed una funzione di 𝜃 :

$$0\cdot \frac{\sin\theta\cos^2\theta}{0^2\cos^4\theta+\sin^2\theta+5\cdot0^2\sin^4\theta}=0\cdot\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=0\cdot\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$$

Ci rendiamo cono che il risultato non può essere 0, poiché la frazione goniometrica annulla il suo denominatore quando l’angolo 𝜃 vale π/2.

Dunque in questa situazione potremmo trovare un contrasto con il valore del limite lungo tutte le altre infinite direzioni.

Quindi concludiamo anche con questo metodo che il limite in oggetto non esiste.

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ORDINE DELLE TECNICHE DA APPLICARE PER LIMITI DI FUNZIONI A DUE VARIABILI

Una delle domande che certamente ci sono passate per la testa quando affrontiamo l’argomento dei limiti dei funzioni a due variabili è certamente: in quale ordine dobbiamo usare queste tecniche?

La risposta è che non esiste una vera risposta.

APPROCCIO MIO PERSONALE

Vi posso dire l’approccio che io personalmente seguo.

In primo luogo applico immediatamente il metodo della maggiorazione di modo da vedere se esiste un maggiorante che abbia un valore del limite nullo.

O per lo meno la sua componente variabile sia nulla.

In tal caso di esito positivo abbiamo dimostrato che il limite esiste e vale zero (oppure la sua componente fissa) 

In caso di esito positivo possiamo usare il metodo goniometrico per confermare questo risultato.

Se il metodo di maggiorazione da un esisto negativo, ovvero non si dimostra la presenza di maggioranti con limite nullo, allora si può proseguire con il metodo delle restrizioni.

Ovvero ricerchiamo una contraddizione di limiti seguendo direzioni diverse.

Se troviamo questa contraddizione concludiamo che il limite non esiste.

Se con i vari tentativi non si perviene a questa contraddizione possiamo ricercare la risposta nel metodo goniometrico, ovvero tramite la trasformazione in coordinate polari.

Questo metodo ricordiamolo è molto potente in quanto alla variazione dell’angolo 𝜃 andiamo ad indagare tutte le possibili direzioni.

Bisogna sempre prestare molta attenzione però alla funzione che dipende dal parametro 𝜃 e molto spesso non è sempre così intuitivo lo studio.

Potremmo infatti trovaci di fronte ad un complesso studio di funzione goniometrica.

ALTRI APPROCCI

Nella mia visione di molti testi, libri e articoli sull’argomento mi sono spesso imbattuto verso altri modi di agire.

Ovvero per studiare limiti di funzioni in due variabili molti soggetti adottano per primo il metodo delle restrizioni.

Se si è abbastanza fortunati (o pratici del mestiere) si trova subito la contraddizione e dunque si conclude che il limite in oggetto non esiste.

Oppure si può ragionare da subito sul primo o i primi valori del limite nel caso siano uguali.

Se il primo valore (o i primi valori) ottenuti sono pari a zero questo significa che tale risultato è un “buon candidato” per essere considerato il vero limite della funzione.

In tal caso si testa subito la presenza di un maggiorante con il metodo di maggiorazione.

Se questo da esito positivi allora si può fare l’affermazione sull’esistenza del limite.

Se invece l’esito è negativo si può continuare con le restrizioni.

Quando la ricerca si fa lunga e complessa si può andare a parare nel metodo goniometrico-

Tali schemi sono un’ideazione sulla base della mia esperienza personale.

Come tutti gli schemi potrebbero essere sempre migliorabili.

Considerateli dunque come una guida poi magari grazie alla vostra esperienza sul campo potreste sempre trovare delle strategie migliori.

Un famoso allenatore di calcio disse una volta: “squadra che vince non si cambia“.

ESEMPI DI CALCOLO DI LIMITI PER FUNZIONI A DUE VARIABILI

Vediamo dunque sul campo come poter calcolare i limiti per funzioni a due variabili attraverso degli esempi pratici

I limiti su cui ci concentriamo riguardano prettamente le forme indeterminate zero su zero.

Tali limiti sono di solito trattati nei corsi di analisi matematica 2 di ingegneria.

ESEMPIO 1 – MAGGIORAZIONE – LIMITI IN DUE VARIABILI

Calcoliamo il seguente limite di funzioni a due variabili

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4}{x^2+y^2}=\frac{0}{0}$$

Cominciamo con il metodo della maggiorazione, ovvero cerchiamo un maggiorante con limite nullo.

I due possibili candidati a maggiorante in maniera immediata sono:

$$\frac{x^4}{x^2}=x^2\qquad\frac{x^4}{y^2}$$

Senza tanti complimenti optiamo per il primo dei due che ci darà un risultato immediato

Poniamo dunque in valore assoluto e scriviamo

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^4}{x^2+y^2}\right|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^4}{x^2}\right|=\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^2=0$$

Concludiamo dicendo che il limite cercato vale zero.

(da notare che in questo caso la presenza del valore assoluto era opzionale in quanto vi erano solamente somme di quadrati) 

PERCHÈ ABBIAMO ESCLUSO IL SECONDO MAGGIORANTE?

Scommetto che vi state chiedendo perché non abbiamo considerato la seconda alternativa di maggiorante.

Se non è così passate oltre ma se è così vediamolo insieme 

Se consideriamo il limite applicato al secondo maggiorante ovvero

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^4}{x^2+y^2}\right|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^4}{y^2}\right|$$

Questo limite presenta risultati diversi a seconda della restrizione sulla quale ci troviamo 

Calcoliamo ad esempio lungo l’asse delle x: (t,0) 

$$\lim_{t\to0}\ f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t^4}{0^2}=\infty$$

Ma se calcoliamo tale limite lungo l’asse delle y: (0,t) 

$$\lim_{t\to0}\ f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0^4}{t^2}=0$$

La presenza di due limiti diversi conferma l’inesiste di un maggiorante con limite nullo

Avremmo potuto anche considerare la restrizione lungo la parabola passante per il centro e concavità verso l’alto: (t, t²)  

$$\lim_{t\to0}\ f(t,t^2)=\lim_{t\to0}\frac{t^4}{t^4}=1$$

METODO GONIOMETRICO (CONFERMA DEL RISULTATO) 

Come ulteriore conferma del risultato trovato con il metodo della maggiorazione potremmo procedere con il metodo goniometrico e dunque il passaggio alle coordinate polari.

Ricordiamo il limite di partenza 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4}{x^2+y^2}=\frac{0}{0}$$

Procedendo con le coordinate polari

$$\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\\rho\sin\theta \end{cases}$$

Possiamo riscrivere il limite nel seguente modo

$$\lim_{\rho\to0}\frac{(\rho\cos\theta)^4}{(\rho\cos\theta)^2+(\rho\sin\theta)^2}$$

Il denominatore tende al quadrato di 𝜌 per la relazione fondamentale della goniometria

$$(\rho\cos\theta)^2+(\rho\sin\theta)^2=\rho^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\rho^2$$

Dunque proseguiamo 

$$\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^4\cos^2\theta}{\rho^2}=\lim_{\rho\to0}\rho^2\cos^4\theta=0\cos^4\theta=0$$

Abbiamo quindi la conferma della correttezza del risultato.

ESEMPIO 2 – MAGGIORAZIONE – LIMITI IN DUE VARIABILI

Calcoliamo il seguente limite di funzioni a due variabili

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy(2y^3+x^3)}{x^4+y^2}=\frac{0}{0}$$

Cominciamo con il metodo della maggiorazione, ovvero cerchiamo un maggiorante con limite nullo.

Prima di farlo ci conviene risolvere i calcoli al numeratore e spaccare la frazione in due parti 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2xy^4+x^4y}{x^4+y^2}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\frac{2xy^4}{x^4+y^2}+\frac{x^4y}{x^4+y^2}\right)$$

Impostiamo ora la disuguaglianza con il valore assoluto 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{2xy^4}{x^4+y^2}+\frac{x^4y}{x^4+y^2}\right|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\left|\frac{2xy^4}{x^4+y^2}\right|+\left|\frac{x^4y}{x^4+y^2}\right|\right)$$

I due possibili candidati a maggiorante sono per la prima frazione (consideriamo solo i valori interni al modulo per comodità) 

$$\frac{2xy^4}{x^4}=\frac{2y^3}{x^3}\qquad\frac{2xy^4}{y^2}=2xy^2$$

(ovviamente scegliamo il secondo) 

Mentre per la seconda frazione abbiamo 

$$\frac{x^4y}{x^4}=y\qquad\frac{x^4y}{y^2}=\frac{x^4}{y}$$

(qui scegliamo il primo) 

Dunque riprendiamo con il limite

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\left|\frac{2xy^4}{x^4+y^2}\right|+\left|\frac{x^4y}{x^4+y^2}\right|\right)\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(|2xy^2|+|y|\right)=0$$

Concludiamo dicendo che il limite cercato vale zero.

(da notare che in questo caso la presenza del valore assoluto era opzionale in quanto vi erano solamente somme di quadrati) 

METODO GONIOMETRICO (CONFERMA DEL RISULTATO) 

Come ulteriore conferma del risultato trovato con il metodo della maggiorazione potremmo procedere con il metodo goniometrico e dunque il passaggio alle coordinate polari.

Ricordiamo il limite di partenza 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy(2y^3+x^3)}{x^4+y^2}=\frac{0}{0}$$

Procedendo con le coordinate polari

$$\begin{cases} x=\rho\cos\theta\\y=\rho\sin\theta\end{cases}$$

Possiamo riscrivere il limite nel seguente modo

$$\lim_{\rho\to0}\frac{(\rho\cos\theta)(\rho\sin\theta)(2\rho^3\sin^3\theta+\rho^3\cos^3\theta)}{\rho^4\cos^4\theta+\rho^2\sin^2\theta}$$

Raccogliamo i vari 𝜌 al numeratore e al denominatore

$$\begin{aligned}&\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^5(\sin\theta\cos\theta)(2\sin^3\theta+\cos^3\theta)}{\rho^2(\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta)}\\&\lim_{\rho\to0}\rho^3\frac{(\sin\theta\cos\theta)(2\sin^3\theta+\cos^3\theta)}{\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta}\end{aligned}$$

Da notare che la frazione che moltiplica la potenza di 𝜌 al tendere di 𝜌 a zero diventa 

$$f(\theta)=\frac{\cos\theta(2\sin^3\theta+\cos^3\theta)}{\sin^2\theta}$$

Tale funzione annulla il suo denominatore in corrispondenza dell’angolo 0π

Se calcoliamo dunque il limite della funzione in 𝜃 quando 𝜃 tende a zero troviamo un numero fratto zero

$$\lim_{\theta\to0}\frac{\cos\theta(2\sin^3\theta+\cos^3\theta)}{\sin^2\theta}=\frac{\cos0(2\sin^20+\cos^30)}{\sin0}=\frac{1}{0}$$

Tale risultato rende dunque impossibile confermare il risultato trovato con il metodo di maggiorazione.

Accettiamo comunque senza ombra di dubbio il risultato che abbiamo trovato.

Si potrebbe anche applicare lo stesso identico metodo di maggiorazione sulla funzione con le coordinate polari e giungere al medesimo risultato.

ESEMPIO 3 – MAGGIORAZIONE – LIMITI IN DUE VARIABILI

Calcoliamo il seguente limite di funzioni a due variabili

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^5}{x^2+y^4}=\frac{0}{0}$$

Cominciamo con il metodo della maggiorazione, ovvero cerchiamo un maggiorante con limite nullo.

Prima di farlo ci conviene risolvere i calcoli al numeratore e spaccare la frazione in due parti 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^5}{x^2+y^4}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\frac{x^3}{x^2+y^4}+\frac{y^5}{x^2+y^4}\right)$$

Impostiamo ora la disuguaglianza con il valore assoluto 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^3}{x^2+y^4}+\frac{y^5}{x^2+y^4}\right|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\left|\frac{x^3}{x^2+y^4}\right|+\left|\frac{y^5}{x^2+y^4}\right|\right)$$

Scegliamo due opportuni maggioranti

$$\begin{aligned}&\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\left|\frac{x^3}{x^2+y^4}\right|+\left|\frac{y^5}{x^2+y^4}\right|\right)\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\left|\frac{x^3}{x^2}\right|+\left|\frac{y^5}{y^4}\right|\right)=\\&\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}(|x|+|y|)=0\end{aligned}$$

ESEMPIO 4 – MAGGIORAZIONE – LIMITI IN DUE VARIABILI

Calcoliamo il seguente limite di funzioni a due variabili

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sin(xy)\left(\frac{x^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}\right)=\frac{0}{0}$$

Cominciamo con il metodo della maggiorazione, ovvero cerchiamo un maggiorante con limite nullo.

Per prima cosa possiamo approssimare la funzione del seno al suo argomento dal momento che questo tende a zero

$$(x,y)\to(0,0):\quad\sin(xy)\sim xy$$

In secondo luogo possiamo svolgere il quadrato di binomio al denominatore

$$(x^2+y^2)^2=x^4+2x^2y^2+y^4$$

Dunque riscriviamo il limite come segue

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy\left(\frac{x^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}\right)=$$

Svolgiamo i calcoli al numeratore e spezziamo la frazione

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\frac{x^4y}{x^4+2x^2y^2+y^4}-\frac{xy^6}{x^4+2x^2y^2+y^4}\right)$$

Impostiamo ora la disuguaglianza con il valore assoluto 

$$\le \left|\frac{x^4y}{x^4+2x^2y^2+y^4}-\frac{xy^6}{x^4+2x^2y^2+y^4}\right|\le$$

Scegliamo due opportuni maggioranti

$$\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(\left|\frac{x^4y}{x^4}\right|+\left|\frac{xy^6}{y^4}\right|\right)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\ (|y|+|xy^2|)=0$$

Dunque il limite cercato esiste e vale zero

METODO GONIOMETRICO 

Per risolvere il limite in oggetto

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sin(xy)\left(\frac{x^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}\right)=\frac{0}{0}$$

Possiamo anche utilizzare il metodo goniometrico con le coordinate polari

In particolare dopo aver effettuato l’approssimazione del seno come prima

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy\left(\frac{x^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}\right)=$$

 introduciamo le coordinate polari in funzione di 𝜌 e di 𝜃

$$\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\\rho\sin\theta \end{cases}$$

Dunque possiamo scrivere

$$\lim_{\rho\to0}\rho^2\cos\theta\sin\theta\frac{\rho^3\cos^3\theta-\rho^5\sin^5\theta}{(\rho^2)^4}=$$

Raccogliamo a fattor comune i 𝜌 al numeratore spostando davanti

$$\begin{aligned}&\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^5}{\rho^4}\cos\theta\sin\theta(\cos^3\theta-\sin^5\theta)=\\&\lim_{\rho\to0}\rho\cos\theta\sin\theta(\cos^3\theta-\sin^5\theta)=0\end{aligned}$$

Il limite cercato vale zero.

Da notare che la funzione in 𝜃 presenta un dominio in R.

RISCOPRI LA MATEMATICA

Prepara al meglio il tuo esame, ricostruisci le parti mancanti della matematica.

Comincia un viaggio indimenticabile ed unico che affronta tutte le tappe principali in un percorso che cambierà per sempre il tuo modo di pensare alla matematica.

ESEMPIO 5 – LIMITI NOTEVOLI

Calcoliamo il seguente limite di funzioni a due variabili

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y\log(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\frac{0}{0}$$

Per prima cosa possiamo approssimare la funzione del logaritmo  in base alla teoria dei limiti notevoli

$$(x,y)\to(0,0):\quad\log(1+x^2+y^2)\sim x^2+y^2$$

Dunque riscriviamo il limite come segue

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}y=0$$

In questo caso è bastata una banale semplificazione per risolvere il nostro limite.

METODO GONIOMETRICO 

È facile immaginare che otteniamo lo stesso risultato con la trasformazione in coordinate polari.

Partendo la limite in oggetto 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y\log(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\frac{0}{0}$$

Introduciamo le coordinate polari 

$$\lim_{\rho\to0}\frac{\rho\sin\theta\log(1+\rho^2)}{\rho^2}$$

Dal momento che 𝜌 tende a zero approssimiamo con i limiti notevoli la funzione logaritmica

$$\rho\to0:\quad\log(1+\rho^2)\sim\rho^2$$

Dunque il nostro limite diventa

$$\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^3\sin\theta}{\rho^2}=\lim_{\rho\to0}\rho\sin\theta=0$$

Ecco fatto 

ESEMPIO 6 – LIMITI NOTEVOLI, RESTRIZIONE

Questo esercizio è quasi un fratello gemello del precedente e la sua risoluzione si basa sul mero utilizzo dei limiti notevoli

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\ e^\sqrt{x^2+y^2}-x}{x^2+y^2}=\frac{0}{0}$$

Raccogliamo la x a fattor comune al numeratore

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\left( e^\sqrt{x^2+y^2}-1\right)}{x^2+y^2}=$$

possiamo approssimare la funzione esponenziale al numeratore con i limiti notevoli

$$(x,y)\to(0,0):\quad e^\sqrt{x^2+y^2}-1\sim\sqrt{x^2+y^2}$$

Dunque riscriviamo il limite come segue

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Possiamo a questo punto cercare un maggiorante di questa funzione, dunque poniamo in valore assoluto 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x}{\sqrt{x^2}}\right|=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x}{|x|}\right|=1$$

Siccome il maggiorante trovato vale 1 significa che il limite cercato è compreso tra –1 e +1.

METODO DI RESTRIZIONE 

Vediamo ora di confutare la presenza del limite usando il metodo delle restrizioni

Muoviamoci in primo luogo lungo l’asse delle x e dunque lungo la restrizione (t,0) 

$$\lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t}{\sqrt{t^2+0^2}}=\lim_{t\to0}\frac{t}{|t|}=\begin{cases}1&\text{se}&t>0\\ -1&\text{se}&t<0\end{cases}$$

Da questo risultato possiamo già capire l’inesistenza del limiti.

Per essere ancora più sicuri possiamo muoverci anche sull’asse delle y, lungo la restrizione (0,t) 

$$\lim_{t\to0}f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0}{\sqrt{0^2+t^2}}=0$$

Adesso abbiamo la certezza dell’inesistenza del limite

METODO GONIOMETRICO 

Se avessimo agito con il metodo goniometrico ?

Ripartiamo dal limite in oggetto già approssimato con i limiti notevoli

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\left( e^\sqrt{x^2+y^2}-1\right)}{x^2+y^2}\sim\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Scriviamolo ora in coordinate polari 

$$\lim_{\rho\to0}\frac{\rho\cos\theta}{\rho}=\cos\theta$$

Come possiamo notare il limite oscilla tra –1 e +1 che sono i valori assunti dal coseno di 𝜃, dunque non esiste.

ESEMPIO 7 – RESTRIZIONE – LIMITI IN DUE VARIABILI

Questo esercizio è quasi un fratello gemello del precedente e la sua risoluzione si basa sul mero utilizzo dei limiti notevoli

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^4}=\frac{0}{0}$$

Per prima cosa notiamo che i maggioranti della funzione non esistono di valore certo infatti i due candidati principali sono

$$\left|\frac{x^2y}{x^4}\right|=\frac{|y|}{x^2}\qquad\left|\frac{x^2y}{y^4}\right|=\frac{x^2}{|y^3|}$$

Dunque proseguiamo con il metodo delle restrizioni.

Vediamo ora di confutare la presenza del limite usando il metodo delle restrizioni

Muoviamoci in primo luogo lungo l’asse delle x e dunque lungo la restrizione (t,0) 

$$\lim_{t\to0}\ f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t^2\cdot0}{t^4+0^4}=0$$

Proseguiamo con la restrizione  lungo l’asse delle y, lungo la restrizione (0,t) 

$$\lim_{t\to0}\ f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0^2\cdot t}{0^4+t^4}=0$$

Vediamo come è la situazione lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante (t,t) 

$$\lim_{t\to0}\ f(t,t)=\lim_{t\to0}\frac{t^3}{2t^4}=\lim_{t\to0}\frac{1}{2t}=\infty$$

Dal momento che abbiamo limiti diversi affermiamo che il limite non esiste!

METODO GONIOMETRICO 

Vediamo se potevamo giungere allo stesso risultato sfruttando il metodo goniometrico 

Riprendiamo il limite 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^4}=\frac{0}{0}$$

 e scriviamolo  in coordinate polari 

$$\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^3\sin^2\theta\cos\theta}{\rho^4(\sin^4\theta+\cos^4\theta)}\lim_{\rho\to0}\frac{1}{\rho}\frac{\sin^2\theta\cos\theta}{\sin^4\theta+\cos^4\theta}=\pm\infty$$

Spieghiamo lo un po’ meglio.

La prima certezza che abbiamo è che la quantità 1/𝜌 tende certamente ad infinito al tendere di 𝜌 a zero.

Il secondo punto certo è che il denominatore non si annulla mai.

Riguardo al quadrato del seno il suo segno è sempre non negativo.

Dunque il segno del limite diventa in quasi tutti i casi determinato dal coseno di 𝜃 e questo varia a seconda dell’angolo 𝜃.

Quindi i potenziali valori del limite sono infiniti.

Ad esempio se 𝜃 vale π/4 avremo 

$$\lim_{\rho\to0}\frac{1}{\rho}\frac{\sin^2\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}}{\sin^4\frac{\pi}{4}+\cos^4\frac{\pi}{4}}=\infty\cdot\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=+\infty$$

Ma se il valore di 𝜃 è –π/4 otteniamo 

$$\lim_{\rho\to0}\frac{1}{\rho}\frac{\sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin^4\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\cos^4\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\infty\cdot\frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=-\infty$$

Addirittura quando 𝜃 vale π/2 ci troviamo di fronte ad una situazione indeterminata

$$\lim_{\rho\to0}\frac{1}{\rho}\frac{\sin^2\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}}{\sin^4\frac{\pi}{2}+\cos^4\frac{\pi}{2}}=\infty\cdot\frac{1\cdot0}{1+0}=\infty\cdot0=???$$

In definitiva anche con il metodo goniometrico giungiamo alla stessa conclusione

ESEMPIO 8 – RESTRIZIONE 

Questo esercizio è quasi un fratello gemello del precedente e la sua risoluzione si basa sul mero utilizzo dei limiti notevoli

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-2xy+y^2}{x^2+y^2}=\frac{0}{0}$$

Cominciamo ricercando un maggiorante credibile della funzione e spezziamo dunque la frazione

$$\left|\frac{x^3-2xy+y^2}{x^2+y^2}\right|\le\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right|+\left|\frac{2xy}{x^2+y^2}\right|+\left|\frac{y^2}{x^2+y^2}\right|=|x|+2\left|\frac{y}{x}\right|+1$$

Vi è un evidente problema nel secondo termine, dunque  vediamo se riusciamo a confutare il limite con il metodo delle restrizioni. 

Vediamo ora di confutare la presenza del limite usando il metodo delle restrizioni

Muoviamoci in primo luogo lungo l’asse delle x e dunque lungo la restrizione (t,0) 

$$\lim_{t\to0}\ f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t^3-2t\cdot0+0^2}{t^2+0^2}=\lim_{t\to0}\frac{t^3}{t^2}=\lim_{t\to0}t=0$$

Proseguiamo con la restrizione  lungo l’asse delle y, lungo la restrizione (0,t) 

$$\lim_{t\to0}\ f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0^3-2\cdot0+t^2}{0^2+t^2}=\frac{t^2}{t^2}=1$$

Dal momento che abbiamo limiti diversi affermiamo che il limite non esiste!

METODO GONIOMETRICO 

Vediamo cosa succede usando il metodo goniometrico 

Riprendiamo il limite 

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-2xy+y^2}{x^2+y^2}=\frac{0}{0}$$

 e scriviamolo  in coordinate polari 

$$\begin{aligned}&\lim_{\rho\to0}\frac{\rho^2(\rho\cos^3\theta-2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta}{\rho^2}\\&\lim_{\rho\to0}(\rho\cos^3\theta-2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta)=-2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta\end{aligned}$$

Il limite dipende palesemente dalla funzione in 𝜃 dunque non esiste!

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