Gli integrali di linea o di prima specie identificano un’area algebrica che è compresa tra una curva 𝛾 e una certa funzione con un dominio che può anche essere in n variabili.
La simbologia sintetica di questo operatore è
$$\int_\gamma\ f\ ds$$
che si legge: “integrale lungo la curva 𝛾 della funzione f in ds”
dove 𝛾 è una curva che può essere definita da un vettore in due, tre o n variabili che dipende da un certo parametro t
$$\gamma:\qquad r(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\quad r(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}\quad r(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)\\x_2(t)\\ \cdots\\ x_n(t)\end{pmatrix}$$
f è una funzione definite rispettivamente in un dominio con due, tre oppure n variabili:
$$f:\ \mathbb{R^2}\to\mathbb{R}\qquad f:\ \mathbb{R^3}\to\mathbb{R}\qquad f:\ \mathbb{R^n}\to\mathbb{R}$$
Mentre ds è un pezzettino infinitesimo di curva.
La simbologia più “pesante” dell’integrale di linea o di prima specie è:
$$\int_\gamma f\left(r(t)\right)\ |r'(t)|\ dt$$
dove f(r(t)) è il valore della funzione f calcolata nel vettore r(t) e a seconda che sia in due, tre o n variabili può essere scritta
$$f\left(x(t),y(t)\right)\quad f\left(x(t),y(t),z(t)\right)\quad f\left(x_1(t),x_2(t),\dots, x_n(t)\right)$$
r'(t) è il vettore derivato di r(t) in cui le componenti del vettore sono derivate rispetto alla variabile t
$$\gamma:\qquad r'(t)=\begin{pmatrix} x'(t)\\y'(t)\end{pmatrix}\quad r'(t)=\begin{pmatrix} x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix}\quad r'(t)=\begin{pmatrix} x’_1(t)\\x’_2(t)\\ \cdots\\ x’_n(t)\end{pmatrix}$$
|r'(t)| è il modulo del vettore derivato e a seconda del numero di variabili si calcola come segue
$$\begin{aligned}&|r'(t)|=\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}\\&|r'(t)|=\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}\\&\end{aligned}$$
dt rappresenta l’incremento infinitesimo della t
INDICE
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELL’INTEGRALE DI LINEA
Dal punto di vista geometrico l’integrale di linea identifica l’area sottesa tra la curva 𝛾 e la sua proiezione sulla funzioe f
ESEMPI DI CALCOLO DELL’INTEGRALE DI LINEA
Vediamo ora degli esempi pratici in cui andiamo a calcolare gli integrali di linea o di prima specie
ESEMPIO 1 – INTEGRALI DI LINEA O PRIMA SPECIE
Calcola il seguente integrale di linea della funzione f sul supporto 𝛾
$$\begin{aligned}&\int_\gamma\ y\sin x\ ds\\&\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix} t\\ -\cos t\end{pmatrix}\qquad t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\end{aligned}$$
Per prima cosa calcoliamo il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix}1\\\sin t \end{pmatrix}$$
Passiamo ora a calcolare il modulo del vettore derivato
$$|r'(t)|=\sqrt{1+sin^2t}$$
Il differenziale ds dell’integrale diventa perciò
$$ds=|r'(t)|dt=\sqrt{1+\sin^2t}dt$$
Scriviamo ora l’integrale sostituendo al posto delle variabili le componenti del vettore
$$\int_0^\frac{\pi}{2}-\cos t\sin t\sqrt{1+\sin^2t}dt$$
Possiamo portare fuori il meno (–) e riscrivere il radicale come una potenza
$$-\int_0^\frac{\pi}{2}(1+\sin^2t)^\frac{1}{2}\cos t\sin t\sqrt{1+\sin^2t}dt$$
Ricordiamo a questo punto che la derivata della base della potenza è
$$(1+sin^2t)’=2\sin t\cos t$$
Perciò moltiplichiamo per 2 internamente all’integrale e dividiamo per 2 all’esterno
$$-\color{blue}{\frac{1}{2}}\int_0^\frac{\pi}{2}(1+\sin^2t)^\frac{1}{2}\cdot\color{blue}{2}\cos t\sin t\sqrt{1+\sin^2t}dt$$
Possiamo dunque applicare la regola di integrazione della potenza
$$-\frac{1}{2}\left[\frac{(1+\sin^2t)^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{3}\left[(1+\sin^2t)^\frac{3}{2}\right]_0^\frac{\pi}{2}$$
Non ci resta che calcolare il valore definito
$$\begin{aligned}&-\frac{1}{3}\left[(1+sin^2t)^\frac{3}{2}-(1+\sin^20)\frac{3}{2}\right]=\\&-\frac{1}{3}\left[(1+1)^\frac{3}{2}-(1+0)^\frac{3}{2}\right]=\\&-\frac{1}{3}\left[2^\frac{3}{2}-1^\frac{3}{2}\right]=\frac{1}{3}\left(1-2\sqrt{2}\right)\end{aligned}$$
ESEMPIO 2 –
Calcola il seguente integrale di linea della funzione f sul supporto 𝛾
$$\int_\gamma\sqrt{1+x^2+3y}ds
Sull’arco di parabola 𝛾
$$\gamma:\ y=x^2\quad 0\le x\le1$$
Per prima cosa scriviamo l’arco di parabola in maniera vettoriale con un vettore di due componenti in t definendo gli estremi
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix} t\\t^2\end{pmatrix}\qquad t\in[0,1]$$
Calcoliamo quindi il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix} 1\\2t\end{pmatrix}$$
Passiamo ora a calcolare il modulo del vettore derivato
$$|r'(t)|=\sqrt{1+4t^2}$$
Il differenziale ds dell’integrale diventa perciò
$$ds=|r'(t)|dt=\sqrt{1+4t^2}dt$$
Scriviamo ora l’integrale sostituendo al posto delle variabili le componenti del vettore
$$\begin{aligned}&\int_0^2\sqrt{1+t^2+3t^2}\sqrt{1+4t^2}dt=\\&\int_0^1\sqrt{1+4t^2}\sqrt{1+4t^2}dt\end{aligned}$$
Il prodotto dei due radicali elimina la radice
$$\int_0^1(1+4t^2)dt=$$
Integriamo facilmente il polinomio
$$\left[t+\frac{4}{3}t^3\right]_0^1$$
Calcoliamo per ultimo il valore dell’integrale definito
$$\left[\left(1+\frac{4}{3}\right)-(0)\right]=\frac{4}{3}$$
ESEMPIO 3 – INTEGRALI DI LINEA O PRIMA SPECIE
Calcola il seguente integrale di linea della funzione f sul supporto 𝛾
$$\int_\gamma(z^2-y\cos x)ds$$
Sulla curva 𝛾 parametrizzata dal seguente vettore
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix} t\\\sin t\\e^t\end{pmatrix}\qquad t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$
Calcoliamo il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix} 1\\\cos t\\e^t\end{pmatrix}
Passiamo ora a calcolare il modulo del vettore derivato
$$|r'(t)|=\sqrt{1+\cos^2t+e^{2t}}$$
Il differenziale ds dell’integrale diventa perciò
$$ds=|r'(t)|dt=\sqrt{1+\cos^2t+e^{2t}}\ dt$$
Scriviamo ora l’integrale sostituendo al posto delle variabili le componenti del vettore
$$\int_0^\frac{\pi}{2}(e^2t-\sin t\cos t)\sqrt{1+\cos^2t+e^{2t}}\ dt$$
Riscriviamo il radicale come una potenza
$$\int_0^\frac{\pi}{2}(1+\cos^2t+e^{2t})^\frac{1}{2}(e^{2t}-\sin t\cos t)dt$$
Ci accorgiamo in maniera felina che la derivata della base della potenza è esattamente il doppio della seconda funzione tra parentesi infatti
$$(1+\cos^2t+e^{2t})’=2\cos t(-\sin t)+2e^{2t}=2(e^{2t}-\sin t\cos t)$$
Moltiplichiamo dunque per 2 all’interno dell’integrale e dividiamo per 2 all’esterno
$$\color{blue}{\frac{1}{2}}\int_0^\frac{\pi}{2}(1+\cos^2t+e^{2t})^\frac{1}{2}\cdot\color{blue}{2}(e^{2t}-\sin t\cos t)dt$$
Facciamo l’integrale della potenza
$$\frac{1}{2}\left[\frac{(1+\cos^2t+e^{2t})\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{3}\left[(1+\cos^2t+e^{2t})^\frac{3}{2}\right]_0^\frac{\pi}{2}$$
Calcoliamo per ultimo il valore dell’integrale definito
$$\begin{aligned}&\frac{1}{3}\left[\left(1+\cos\frac{\pi}{2}+e^\pi\right)^\frac{3}{2}\right]=\\&\frac{1+e^\pi}{3}-\sqrt{3}\end{aligned}$$
ESEMPIO 4 – INTEGRALI DI LINEA
Calcola il seguente integrale di linea della funzione f sul supporto 𝛾
$$\int_\gamma\sqrt{1-y^2}ds$$
Sulla curva 𝛾 parametrizzata dal seguente vettore
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix}t+\cos t\\\sin t \end{pmatrix}\qquad t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$
Calcoliamo il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix}1-\sin t\\\cos t \end{pmatrix}$$
Passiamo ora a calcolare il modulo del vettore derivato
$$\begin{aligned}&|r'(t)|=\sqrt{(1-\sin t)^2+\cos^2t}\\&|r'(t)|=\sqrt{1+\sin^2t-2\sin t+\cos^2t}\\&|r'(t)|=\sqrt{2-2\sin t}\\&|r'(t)|=\sqrt{2}\sqrt{1-\sin t}\end{aligned}$$
Il differenziale ds dell’integrale diventa perciò
$$ds=|r'(t)|dt=\sqrt{2}\sqrt{1-\sin t}dt=$$
Scriviamo ora l’integrale sostituendo al posto delle variabili le componenti del vettore
$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{1-\sin^2t}\sqrt{2}\sqrt{1-\sin t}dt=$$
Spostiamo fuori la costante e riscriviamo il secondo radicale come una potenza
$$\sqrt{2}\int_0^\frac{\pi}{2}(1-\sin^2t)^\frac{1}{2}\sqrt{1-\sin^2t}dt=$$
Per la relazione fondamentale della goniometria scriviamo la seconda funzione come il coseno di t
$$\sqrt{1-\sin^2t}=\sqrt{\cos^2t}=\cos t$$
Da notare l’assenza del modulo in quanto nell’intervallo [0,π/2] il valore è comunque positivo
L’integrale dunque è
$$\sqrt{2}\int_0^\frac{\pi}{2}(1-\sin^2t)^\frac{1}{2}\cos t\ dt$$
Il coseno di t è l’opposto della derivata della base della potenza, dunque moltiplichiamo per – all’interno e dividiamo per – all’esterno dell’integrale
$$\color{blue}{-}\sqrt{2}\int_0^\frac{\pi}{2}(1-\sin^2t)^\frac{1}{2}(\color{blue}{-})\cos t\ dt=$$
Possiamo ra tranquillamente integrare la potenza
$$-\sqrt{2}\left[\frac{(1-\sin t)^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]=-\frac{2}{3}\sqrt{2}\left[(1-\sin t)^\frac{3}{2}\right]_0^\frac{\pi}{2}$$
Calcoliamo per ultimo il valore dell’integrale definito
$$\begin{aligned}&-\frac{3}{2}\sqrt{2}\left[\left(1-\sin\frac{\pi}{2}\right)^\frac{3}{2}-(1-\sin0)^\frac{3}{2}\right]=\\&-\frac{3}{2}\sqrt{2}\left[(1-1)^\frac{3}{2}-(1-0)^\frac{3}{2}\right]=\frac{2}{3}\sqrt{2}\end{aligned}$$
RISCOPRI LA MATEMATICA
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ESEMPIO 5 – INTEGRALI DI LINEA O PRIMA SPECIE
Calcola il seguente integrale di linea della funzione f sul supporto 𝛾
$$\int_\gamma e^{4x}ds$$
Sulla curva 𝛾 parametrizzata dal seguente vettore
$$\gamma:\quad r(t)=\begin{pmatrix}\log t\\t^2 \end{pmatrix}\qquad t\in[1,2]$$
Calcoliamo il vettore derivato r'(t)
$$r'(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{t}\\2t \end{pmatrix}$$
Passiamo ora a calcolare il modulo del vettore derivato
$$|r'(t)|=\sqrt{\frac{1}{t^2}+4t^2}=\sqrt{\frac{1+4t^4}{t^2}}=\frac{1}{t}\sqrt{1+4t^4}$$
Scriviamo ora l’integrale sostituendo al posto delle variabili le componenti del vettore
$$\int_1^2\ e^{4\log t}\frac{1}{t}\sqrt{1+4t^4}dt$$
Lavoriamo adesso sul termine esponenziale che possiamo riscrivere in questo modo
$$e^{4\log t}=e^{\log t^4}=t^4$$
Dunque risostituendo abbiamo
$$\int_1^2 t^4\frac{1}{t}\sqrt{1+4t^4}dt=\int_1^2t^3\sqrt{1+4t^4}dt
Inoltre possiamo riscrivere il radicale come una potenza
$$\int_1^2(1+4t^4)^\frac{1}{2}\ t^3\ dt$$
La derivata della base della potenza risulta
$$(1+4t^4)’=16t^3$$
Dunque moltiplichiamo dentro e dividiamo fuori dall’integrale per 16
$$\color{blue}{\frac{1}{16}}\int_1^2(1+4t^4)^\frac{1}{2}\cdot\color{blue}{16}\ t^3\ dt$$
A questo punto possiamo risolvere l’integrale indefinito della potenza
$$\frac{1}{16}\left[\frac{(1+4t^4)^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]_1^2=$$
Inseriamo i numeri per determinare il valore dell’integrale
$$\frac{1}{24}\left[(1+4\cdot2^4)^\frac{3}{2}-(1+4\cdot1^4)^\frac{3}{2}\right]=\frac{65^\frac{3}{2}-5^\frac{3}{2}}{24}$$
ESEMPIO 6 – INTEGRALE DI LINEA
Calcola il seguente integrale di linea della funzione f sul supporto 𝛾
$$\int_\gamma\frac{|x|}{2+y}ds$$
Sulla curva 𝛾 rappresentata dalla circonferenza con centro nell’origine e raggio pari a 1
L’equazione della circonferenza nella forma cartesiana è
$$\gamma:\quad x^2+y^2=1$$
Mentre la sua forma scritta in termini di vettore parametrizzato è
$$\gamma:\quad r(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta \end{pmatrix}\qquad t\in[0,2\pi]$$
Calcoliamo il vettore derivato r'(t)
$$\gamma:\quad r(\theta)=\begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta \end{pmatrix}$$
Passiamo ora a calcolare il modulo del vettore derivato
$$|r'(\theta)|=\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=1$$
Scriviamo ora l’integrale sostituendo al posto delle variabili le componenti del vettore
$$\int_0^{2\pi}\frac{|\cos\theta|}{2+\sin\theta}d\theta=$$
Cerchiamo di togliere ora lo scomodo valore assoluto.
Siccome il modulo è applicato alla x significa che stiamo lavorando solo sulla parte destra della circonferenza dunque nell’intervallo di 𝜃 [–π/2 , π/2]
Teniamo presente che dobbiamo raddoppiare tale valore perché la parte sinistra della circonferenza viene sostituita dalla parte destra
Ricorda cosa significa l’applicazione del valore assoluto solo su una variabile.
Dunque riscriviamo l’integrale in questo modo
$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\theta}{2+\sin\theta}d\theta$$
Notiamo che il numeratore della frazione è la derivata del denominatore
Integrando quindi la frazione otteniamo un logaritmo
$$2[\log|2+\sin\theta|]_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}$$
Risolviamo l’integrale definito
$$\begin{aligned}&2\left[\log\left|2+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right|-\log\left|2+\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right|\right]=\\&2[\log|2+1|-\log|2-1|]=2\log3\end{aligned}$$
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