Le divisioni con Ruffini sono particolari divisioni polinomiali:
dove il divisore G(x) si presenta nella forma:
dunque un polinomio di primo grado con il coefficiente associato alla x che vale 1.
IL MATEMATICO PAOLO RUFFINI
Per vostra informazione personale sappiate il signor Paolo Ruffini (1765-1822) non era un mangia bambini.
Era un medico e matematico, e operava a Modena.
Si era rifiutato di giurare fedeltà all’impero di Napoleone, e rifiutò addirittura una cattedra di matematica a Padova, per amore dei suoi pazienti e della sua famiglia che era malata.
Nel 1818 contrasse il tifoide, ma non per questo smesse di curare i suoi pazienti.
Fu famoso per aver scritto la Teoria generale delle equazioni, un trattato di 516 pagine in cui sostiene di aver dimostrato uno dei dilemmi millenari che la matematica abbia mai avuto.
Purtroppo per lui nessuno seppe capire quello che lui aveva scritto.
ESEMPIO
Consideriamo ad esempio la seguente divisione polinomiale:
RISOLUZIONE CON IL METODO CLASSICO
Essendo una divisione polinomiale, può essere risolta utilizzando il metodo classico.
Senza spiegare la procedura, che potete trovare nel blog sulle divisioni polinomiali, andiamo a riportare la tabella che mostra i vari passaggi.
Per verificare la correttezza di questo risultato ricordiamo che se:
Allora deve valere che:
Nel nostro caso la divisione:
Abbiamo trovato che da come quoziente e resto:
Perciò se i risultati sono corretti:
Deve essere uguale al polinomio di partenza, dividendo della divisione:
Provate a verificarlo.
LA REGOLA DI RUFFINI
Nella divisione polinomiale che abbiamo preso in esame:
Il divisore:
Si presenta nella forma:
Ovvero ha un grado pari a 1 e il coefficiente della x vale 1.
Pertanto è applicabile la regola di Ruffini.
Andiamo a vedere quali sono le tappe per risolvere la divisione con il metodo di Ruffini.
1 – POLINOMIO ORDINATO E COMPLETO
Consideriamo la divisione:
Per prima cosa dobbiamo ordinare il polinomio P(x) in modo decrescente e completarloladdove manchino degli esponenti.
Il polinomio P(x):
È certamente ordinato dall’esponente maggiore a quello minore ma non è completo in quanto manca il grado 3, pertanto per completarlo lo scriviamo in questo modo:
2 – TABELLA DEI COEFFCIENTI
A questo punto la divisione polinomiale può essere scritta nel seguente modo:
Dobbiamo sapere che la divisione con Ruffini si basa sui coefficienti.
Poniamo quindi massima attenzione a questi:
Perché andremo ad inserirli nella tabella qui sotto:
Come potete notare ci sono due barre verticali e una orizzontale.
In alto troviamo i coefficienti del polinomio P(x).
Mentre quelli delle x con grado almeno pari a uno sono compresi tra le due barre verticali il termine noto si trova all’esterno.
A sinistra della barra verticale sopra la barra orizzontale troviamo l’opposto del termine noto presente nel divisore (x–2).
Chiamiamo quest’ultimo fattore noto, dal momento che con questo numero effettueremo delle moltiplicazioni.
Nel nostro caso il fattore noto vale +2.
3 – ABBASSIAMO IL PRIMO COEFFICIENTE
Una volta impostata la tabella, il primo passo consiste nel portare sotto la linea orizzontale il primo coefficiente che leggiamo in lato.
Nel nostro caso è il 2:
4 – MOLTIPLICHIAMO IL COEFFICIENTE PER IL FATTORE NOTO
Ora andiamo a moltiplicare il coefficiente appena abbassato per il fattore noto:
e riportiamo questo risultato appena sopra la linea orizzontale in corrispondenza del secondo coefficiente 0.
5 – SOMMA TRA IL RISULTATO E IL COEFFICIENTE SUCCESSIVO
Arrivati a questo punto sommiamo questo risultato con il secondo coefficiente del polinomio:
riportando il risultato sotto la barra orizzontale.
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RIPETIAMO I PUNTI 4 E 5
Ora dobbiamo ripetere i punti 4 e 5 della procedura.
Moltiplichiamo l’ultimo risultato per il fattore noto:
riportando questo valore sopra la barra verticale in corrispondenza del terzo coefficiente di P(x)
Sommiamo poi questo ultimo numero trovato al terzo coefficiente -1:
Riportando questo risultato sotto la barra orizzontale
RIPETIAMO I PUNTI 4 E 5
Moltiplichiamo l’ultimo risultato per il fattore noto:
riportando questo valore sopra la barra verticale in corrispondenza del terzo coefficiente di P(x)
Sommiamo poi questo ultimo numero trovato al terzo coefficiente -1:
Riportando questo risultato sotto la barra orizzontale
RIPETIAMO I PUNTI 4 E 5
Moltiplichiamo l’ultimo risultato per il fattore noto:
riportando questo valore sopra la barra verticale in corrispondenza del terzo coefficiente di P(x)
Sommiamo poi questo ultimo numero trovato al terzo coefficiente -1:
Riportando questo risultato sotto la barra orizzontale
RIPETIAMO I PUNTI 4 E 5
Moltiplichiamo l’ultimo risultato per il fattore noto:
riportando questo valore sopra la barra verticale in corrispondenza del terzo coefficiente di P(x)
Sommiamo poi questo ultimo numero trovato al terzo coefficiente -1:
Riportando questo risultato sotto la barra orizzontale
6 – DETERMINAZIONE DEL QUOZIENTE E DEL RESTO
Dalla tabella che abbiamo ottenuto siamo ora in grado di determinare il quoziente e il restodella divisione polinomiale.
Per determinare il quoziente andiamo a considerare i coefficienti dell’ultima riga della tabella compresi tra le due barre verticali.
Questi sono:
In particolare questi sono i coefficienti di un polinomio ordinato di terzo grado.
Infatti eravamo partiti da un polinomio P(x) di grado 4:
Che abbiamo diviso per un polinomio G(x) (binomio) di grado 1.
Per questo deve vale che il quoziente Q(x) deve avere grado 3.
In particolare questo quoziente vale:
Quanto al resto della divisione questo è l’ultimo numero dell’ultima riga, a destra della barra verticale.
REGOLA DEL RESTO DI RIFFINI
Ora mettiamo in luce un aspetto importante della visione di Ruffini che riguarda il resto della divisione polinomiale.
Per determinare il resto di una divisione polinomiale dove è possibile applicare la procedura di Ruffini basta inserire il fattore noto all’interno del polinomio dividendo P(x)
ESEMPIO
Riprendiamo la divisione che abbiamo analizzato nell’articolo:
Abbiamo trovato che il resto è pari 21.
Per verificare che questo sia corretto, e che quindi tutta la procedura corretta sia corretta con una buona probabilità inseriamo il fattore annullante nel dividendo.
Se il dividendo P(x) è dunque:
E il fattore noto è l’opposto del termine noto del divisore:
Ovvero il numero 2, sostituiamo quest’ultimo in P(x), ovvero ci calcoliamo P(2):
Risultato corretto.
RESTO NULLO, FATTORE ANNULLANTE E SCOMPOSIZIONE DEL POLINOMIO
Quando il resto di una divisione polinomiale vale zero significa che abbiamo trovato una scomposizione del dividendo P(x).
Infatti se:
Allora possiamo riscrivere P(x) come il prodotto tra il divisore G(x) e il quoziente Q(x).
Nel caso sia applicabile la divisione con Ruffini avremo:
In particolare essendo che il resto vale zero:
Il fattore noto prende il nome di fattore annullante.
ESEMPIO
Consideriamo la seguente divisione polinomiale:
Siccome il divisore è di primo grado e il polinomio divisore
è di primo grado e presenta come coefficiente della x il numero 1, possiamo applicare la divisione con Ruffini.
In particolare il fattore noto vale 1.
Per trovare il resto della divisione sostituiamo 1 in P(x):
Siccome il resto vale zero diremo che 1 è un fattore annullante del polinomio P(x).
E P(x) può essere scomposto come:
Dove Q(x) rappresenta il quoziente della divisione.
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