DIVISIONI POLINOMIALI

La divisione polinomiale è una divisione che viene effettuata tra due polinomi P(x) e G(x) che si presenta nella forma:

$$ P(x) \div G(x) $$

Questa operazione polinomiale è ammessa solo quando il grado del polinomio P(x)(dividendo) è maggiore o uguale al grado di G(x) (divisore)

Per risolvere la divisione polinomiale ci avvaliamo di una procedura tabellare.

Ovvero ci sarà una tabella in cui dovremo fare delle operazioni al fine di ottenere il quoziente Q(x) e il resto R(x)

$$ P(x) \div G(x) = Q(x) \quad \text{con resto}\ R(x) $$

DALLE DIVISIONI NUMERICHE ALLE DIVISIONI CON I POLINOMI

La divisione è un’operazione che nasce dai numeri e molti di noi l’hanno trattata sin dalle scuole elementari

Se ci chiedessero ad esempio quanto fa 6 diviso 2, quasi tutti risponderemmo.

$$ 6 \div 2 = 3 $$

Il 3 è il quoziente della divisione.

Se ci chiedessero invece di dividere 17 per 3, saremmo un po’ titubanti nel rispondere.

$$ 17 \div 3 = 5,333333 $$

Di sicuro però la maggior parte di noi sa che il 3 nel 17 ci sta 5 volte con il resto di 2

$$ \color{blue}{17} \div \color{green}{3} = \color{red}{5} \quad \text{con resto } \color{violet}{2}$$

Quindi possiamo anche scrivere che:

$$ \color{blue}{17} = \color{red}{5} \cdot \color{green}{3} + \color{violet}{2} $$

Scritto in termini più generici:

$$ \color{blue}{\text{dividendo}} = \color{red}{\text{quoziente}} \cdot \color{green}{\text{divisore}} + \color{violet}{\text{resto}} $$

Seguendo lo stesso ragionamento ci chiedono di dividere una vincita di 196 euro in 16 persone arrotondando all’euro e mettendo il resto nella cassa comune.

Con  un po’ di sforzo arriveremo a dire

$$ \color{blue}{196} \div \color{green}{16} = \color{red}{12} \quad \text{con resto } \color{violet}{4}$$

Quindi avremo che:

$$ \color{blue}{196} = \color{red}{12} \cdot \color{green}{16} + \color{violet}{4} $$

Riprendendo i numeri di questo ultimo esempio, sappiamo che possiamo scrivere  i numeri 196, 12 e 16 come segue:

$$ \begin{array}{c} \color{blue}{196 = 10^2 +9 \cdot 10 +6} \\ \color{green}{16= 10^1 + 6 } \\ \color{red}{12= 10^1 +2} \end{array}

Immaginate ora che al posto del 10 avessimo una x, queste quantità diventerebbero dei polinomi:

$$ \begin{array}{ ccc}\color{blue}{196 = x^2 +9 x +6} \\ \color{green}{16= x + 6 } \\ \color{red}{12= x +2} \end{array}$$

E la divisione:

$$ \color{blue}{196} \div \color{green}{16} = \color{red}{12} \quad \text{con resto } \color{violet}{4}$$

 potrebbe essere scritta come una divisione tra polinomi:

$$ \begin{array}{c} \color{blue}{(x^2 +9 x +6)} \div \color{green}{(x+6)} = \color{red}{(x+2)} \quad \text{con resto } \color{violet}{4} \\ \to \color{blue}{(x^2 +9 x +6)} = \color{red}{(x+2)} \cdot \color{green}{(x+6)} + \color{violet}{4} \end{array}$$

In generale possiamo anche scrivere:

$$ \begin{array}{c} \color{blue}{P(x)} \div \color{green}{G(x)} = \color{red}{Q(x)} \quad \text{con resto } \color{violet}{R(x)} \\ \to \color{blue}{P(x)} = \color{red}{Q(x)} \cdot \color{green}{G(x)} + \color{violet}{R(x)} \end{array}$$

Come possiamo risolvere una divisione polinomiale?

PROCEDURA TABELLARE DELLA DIVISIONE POLINOMIALE

Per risolvere una divisione polinomiale utilizziamo una procedura in cui i nostri polinomi sono inseriti in una tabella.

Dobbiamo poi andare ad applicare una serie di operazioni (algoritmo) che ci permette di ricavare il quoziente e il resto della divisione.

Vediamo insieme un esempio di divisione polinomiale.

0- IMPOSTIAMO LA DIVISIONE

Consideriamo i due seguenti polinomi:

$$ P(x)= 2x^4 -x^3+3x-1 \quad G(x)= x^2-x-1 $$

Vogliamo effettuare la divisione tra P(x) e G(x):

$$ P(x) \div G(x) \to (2x^4 -x^3+3x-1) \div(x^2-x-1 ) $$

1- VERIFICHIAMO LA FATTIBILITA’

La divisione è ammissibile in quanto il grado del dividendo (P(x)) è maggiore o uguale al grado del divisore (G(x)).

Andiamo ora a scrivere il polinomio P(x) in modo ordinato decrescente e completo.

2- POLINOMI ORDINATI E COMPLETI

Il polinomio in questione è già ordinato in maniera decrescente:

P(x)= 2x^4 -x^3+3x-1

In quanto gli esponenti vanno dal più alto al più basso.

Tuttavia non è completo nel senso che abbiamo i gradi: 4,3,1,0 della x.

Pertanto ci manca il grado 2, a cui attribuiamo coefficiente nullo:

P(x)= 2x^4 -x^3+0x^2 +3x-1

Per quanto riguarda il divisore G(x) la cosa importante è che sia ordinato (decrescente).

È facoltativo scriverlo anche completo.

Nel nostro caso G(x) presenta tutte e due le caratteristiche:

$$ G(x)= x^2-x-1 $$

3- IMPOSTIAMO LA TABELLA

Andiamo ora a posizionare come vedete in figura i polinomi all’interno di una tabella.

I due polinomi risultano divisi da una barra verticale e sotto il divisore mettiamo una barra orizzontale.

4- DIVIDIAMO I PRIMI TERMINI

Dividiamo ora il primo termine del primo polinomio per il primo termine del secondo polinomio:

Nel nostro caso l’operazione è:

$$ (2x^4)\div (x^2) = 2x^2 $$

Andiamo a scrivere il risultato sotto il primo termine del polinomio a destra:

5- MOLTIPLICAZIONE DEL QUOZIENTE PARZIALE PER IL DIVISORE

A questo punto andiamo a moltiplicare il risultato appena ottenuto per il divisore G(x)

$$ (2x^2) \cdot (x^2-x-1) = 2x^4-2x^3-2x^2 $$

 e riportiamo questo risultato cambiandolo di segno :

$$-2x^4+2x^3+2x^2$$

6- SOMMA ALGEBRICA A SINISTRA

Ora andiamo a sommare algebricamente i polinomi sul lato sinistro della tabella:

$$(2x^4- x^3+0x^2+3x-1) + (-2x^4+2x^3+2x^2)=x^3 +2x^2+3x-1$$

A seguito di questa operazione il termine con grado massimo scompare.

Riportiamo questo risultato sotto una barra orizzontale a sinistra.

4- DIVIDIAMO I PRIMI TERMINI

Arrivati a questo punto dividiamo il primo termine del risultato appena ottenuto per il primo termine del divisore G(x)

$$+x^3 \div x^2= +x$$

Andiamo poi a sommare questo risultato al risultato che abbiamo a destra sotto la barra orizzontale:

$$2x^2+\color{red}{+x}$$

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5- MOLTIPLICAZIONE DEL QUOZIENTE PARZIALE PER IL DIVISORE

Prendiamo ora il 2x che abbiamo appena ottenuto e lo moltiplichiamo per il divisore G(x):

$$+x \cdot(x^2-x-1)= +x^3-x^2-x$$

Cambiamo il segno a questo ultimo risultato:

$$ -x^3+x^2+x$$

E lo riportiamo a sinistra sotto l’ultimo polinomio scritto.

6- SOMMA ALGEBRICA A SINISTRA

Ora andiamo a sommare algebricamente i polinomi sul lato sinistro della tabella:

$$(+x^3+2x^2+3x-1)+(-x^3+x^2+x)= +3x^2+4x-1$$

A seguito di questa operazione il termine con grado massimo scompare.

Riportiamo questo risultato sotto una barra orizzontale a sinistra.

Essendo che il polinomio ottenuto ha grado pari a 2, ovvero a quello del dividendo G(x), ripetiamo i punti 4,5,6 dell’algoritmo.

Se i passaggi che andremo a fare vi sembrano abbastanza chiari fate scorrere rapidamente la prossima parte.

Altrimenti seguitela ancora con cautela.

4- DIVIDIAMO I PRIMI TERMINI

Arrivati a questo punto dividiamo il primo termine del risultato appena ottenuto per il primo termine del divisore G(x)

$$(+3x^2)\div (x^2)= +3$$

Andiamo poi a sommare questo risultato al risultato che abbiamo a destra sotto la barra orizzontale:

$$2x^2-x \color{red}{+3}$$

5- MOLTIPLICAZIONE DEL QUOZIENTE PARZIALE PER IL DIVISORE

Prendiamo ora il +3 che abbiamo appena ottenuto e lo moltiplichiamo per il divisore G(x):

$$+3 \cdot(x^2-x-1) = 3x^2-3x-3$$

Cambiamo il segno a questo ultimo risultato:

$$-3x^2+3x+3$$

E lo riportiamo a sinistra sotto l’ultimo polinomio scritto.

6- SOMMA ALGEBRICA A SINISTRA

Ora andiamo a sommare algebricamente i polinomi sul lato sinistro della tabella:

$$(+3x^2+4x-1)+(-3x^2+3x+3)=+7x+2$$

A seguito di questa operazione il termine con grado massimo scompare.

Riportiamo questo risultato sotto una barra orizzontale a sinistra.

7- DETERMINAZIONE DEL QUOZIONTE E DEL RESTO

Arrivati a questo il polinomio ottenuto:

$$+7x+2$$

Non è più divisibile per G(x) in quanto il suo grado (uno) è inferiore rispetto a quello del divisore (due).

Quindi abbiamo ottenuto il nostro quoziente:

$$Q(x)= 2x^2+x+3$$

E il nostro resto:

$$R(x)= +7x+2$$

Ricapitolando:

$$ (2x^4 -x^3+3x-1) \div(x^2-x-1 )= 2x^2-x-3 \quad \text{con resto }\ 7x+2$$

8- VERIFICA DEI RISULTATI

Se vale la relazione:

$$P(x)\div G(x)= Q(x) \quad \text{con resto } R(x) $$

Allora deve valere che:

$$P(x) = Q(x) \cdot G(x)+R(x) $$

Nel nostro caso:

$$\begin{array}{cccccc} P(x) &=& 2x^4-x^3+3x-1 & G(x)&=& x^2+x+3 \\ Q(x)&=& 2x^2+x+3 & R(x)&=& 7x+2 \end{array} $$

Andiamo ora a calcolare:

$$\begin{array}{ccccc} Q(x) \cdot G(x) +R(x) &=& (2x^2+x+3)(x^2+x+3)+(7x+2) \\ &=& 2x^4+x^3+3x^2+x^3+x^2+3x+3x^2+3x+9 \\ &=& 2x^4-x^3+3x-1 &=& P(x) \end{array}$$

Abbiamo in questo modo verificato che la soluzione è corretta.

CASI PARTICOLARI

Vogliamo a questo punto presentare due casi particolari in cui potremmo trovarci.

RESTO UGUALE A ZERO

Se sviluppando la divisione troviamo un resto nullo:

$$P(x)\div G(x)= Q(x) \quad \text{con resto } R(x)=0 $$

Allora abbiamo anche trovato una scomposizione in fattori del polinomio P(x).

Infatti poiché se i risultati sono corretti deve valere che:

$$P(x) = Q(x) \cdot G(x)+R(x) $$

Se il resto R(x)=0, avremo che:

$$P(x) = Q(x) \cdot G(x) $$

Ovvero abbiamo una fattorizzazione del polinomio P(x).

Ad esempio se sviluppassimo la divisione polinomiale:

$$ (x^3-1) \div (x^2+x+1) $$

Troveremo che:

$$ Q(x)= x-1 \quad R(x)=0 $$

Dunque:

$$ x^3-1 = (x^2+x+1)(x-1)$$

Che è la scomposizione di una differenza di cubi.

DIVISORE DI GRADO 1

Quando il divisore G(x) è di primo grado e del tipo:

$$ G(x)= x-f $$

È possibile utilizzare una regola più semplice per sviluppare la divisione polinomiale:

$$ P(x) \div (x-f) $$

 detta regola di Ruffini.

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