In questo articolo vediamo la scomposizione della somma e della differenza di cubi.
Le regole per la scomposizione di una somma e di una differenza di cubi sono le seguenti:
Per la somma di cubi abbiamo che:
$$A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^3\right)$$
Mentre per la differenza di cubi:
$$A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A^2+AB+B^3\right)$$
dove in particolare:
$$\left(A+B\right)\ \ \ \ \ e\ \ \ \ \left(A-B\right)$$
sono i binomio delle basi dei cubi
$$\left(A^2-AB+B^3\right)\ \ \ \ \ e\ \ \ \ \left(A^2+AB+B^3\right) $$
Sono i falsi quadrati di questi binomi.
Nel falso quadrato troviamo il quadrato del primo termine più il quadrato del secondo termine più l’opposto del prodotto tra il primo e il secondo termine detto anche anti prodotto.
Vediamole meglio nel dettaglio
LA SCOMPOSIZONE DELLA SOMMA DI CUBI
La somma e la differenza di cubi sono entrambe scomponibili a differenza della somma e della differenza di quadrati.
Una somma di due cubi, scritta in generale così:
$$A^3+B^3$$
Si può scomporre come il prodotto tra il binomio delle radici cubiche:
$$A+B$$
che moltiplica il falso quadrato di questo binomio:
$$A^2-AB+B^2$$
Notiamo che nel falso quadrato sono presenti i due quadrati:
$$A^2+B^2$$
Ma al posto del doppio prodotto di A e B è presente l’anti prodotto, ovvero l’opposto del prodotto
$$-AB=-A·B$$
Dunque ricapitolando:
$$A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right)$$
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ESEMPIO DI SOMMA DI CUBI – SCOMPOSIZIONE
Ad esempio consideriamo questo semplice caso di somma di cubi:
$$8x^3+27y^3$$
Notiamo che:
$$\text{$8x^3$ è il cubo di $2x$: $(2x)^3$}$$
$$\text{$27y^3$ è il cubo di $3y$: $(3y)^3$}$$
Dunque il binomio delle basi (radici cubiche) è:
$$2x+3y$$
Mentre il falso quadrato è:
$$\left(2x\right)^2-\left(2x\right)\left(3y\right)+\left(3y\right)^2=4x^2-6xy+9y^2$$
Dunque possiamo scomporre il polinomio:
$$8x^3+27y^3=\left(2x+3y\right)\left(4x^2-6xy+9y^2\right) $$
LA DIFFERENZA DI CUBI -REGOLA ED ESEMPIO
La differenza di cubi:
$$A^3-B^3$$
si può vedere anche come una somma di cubi:
$$A^3-B^3=A^3+\left(-B\right)^3$$
Pertanto non risulta difficile ricavare la formula di scomposizione:
$$A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A^2+AB+B^2\right) $$
Ad esempio:
$$\frac{125}{8}-x^3=\left(\frac{5}{2}\right)^3-\left(x\right)^3$$
$$\frac{125}{8}-x^3=\left(\frac{5}{2}-x\right)\left(\frac{25}{4}+\frac{5}{2}x+x^2\right) $$
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