QUADRATO DI BINOMIO
La regola di scomposizione del quadrato di binomio è:
$$ A^2 +2AB+B^2 = (A+B)^2 $$
La possiamo ricavare leggendo da destra verso sinistra la regola per lo sviluppo di un quadrato di binomio:
$$(A+B)^2 = A^2+AB+B^2 $$
Se ci troviamo di fronte ad un polinomio in cui abbiamo due quadrati ed un doppio prodotto abbiamo un quadrato di binomio.
Nel caso generale dunque osserviamo il polinomio:
$$ A^2 +2AB+B^2 \\ \ \\ \ \\ \text{$A^2$ è il quadrato di $A$} \\ \text{$B^2$ è il quadrato di $B$} \\ \text{$2AB$ è il doppio prodotto tra $A$ e $B$} $$
Proviamo ad esempio a considerare il seguente polinomio:
$$ 9x^2-6x+1 $$
Come possiamo notare vi sono due quadrati:
$$ 9x^2= (3x)^2 \quad \text{e} \quad 1=1^2 $$
Se facciamo il doppio prodotto delle radici quadrate:
$$ 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x $$
Otteniamo proprio il termine centrale, dunque:
$$ 9x^2-6x+1 = (3x+1)^2$$
Badate bene al fatto che il doppio prodotto può anche essere negativo!
In tal caso significa che le basi sono tra di loro discordi.
Ad esempio il seguente polinomio:
$$ 4x^2-12x+9 $$
Possiamo riscriverlo così:
$$ (2x+3)^2 $$
Oppure anche cambiando il segno alla base:
$$ (3-2x)^2 $$
ESERCIZI SULLA SCOMPOSIZIONE DEL QUADRATO DI BINOMIO
Vediamo ora una serie di esercizi di scomposizione del quadrato di binomio.
$$ \begin{array}{cccc} x^2+4x+4 & x^2+12x+36 & x^2-10x+25 \\ 4x^2-20x+25 & 9x^2-24x+16 &100x^2+140x +49 \\ \frac{25}{4} a^2+ 6ab +\frac{35}{25} b^2 \end{array}$$
ESERCIZIO 1
$$ x^2+4x+4 $$
Notiamo che:
$$ \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} \\ \text{$4$ è il quadrato di $2$} \\ \text{$4x$ è il doppio prodotto tra $x$ e $2$} $$
Dunque:
$$ x^2+4x+4 = (x+2)^2$$
Adesso che abbiamo capito il senso vediamo gli altri esercizi:
I DUE ERRORI COMUNI SUL QUADRATO DI BINOMIO
I due errori tipici sulla scomposizione del quadrato di binomio sono i seguenti
PRIMO ERRORE
Il primo è quello di pensare che una somma di quadrati sia il quadrato di una somma.
$$ A^2 +B^2 = (A+B)^2 $$
In questo caso mancherebbe infatti il doppio prodotto tra A e B.
Per capire questo errore basta sostituire al posto della A e della B due numeri a caso.
Consideriamo per esempio
$$ A = 2 \quad B= 3 $$
Se facciamo la somma dei quadrati otteniamo 13
$$ 2^2+3^2 = 4+9 = 13 $$
Se facciamo invece il quadrato della somma otteniamo 25:
$$ (2+3)^2 = 5^2 = 25 $$
Chiaramente 13 è diverso da 25:
$$ 13 \ne 25 \to A^2+B^2 \ne (A+B)^2 $$
La quantità che manca a completare il 25 partendo dal 13 è il 12.
Questo 12 è proprio il doppio prodotto tra la A e la B.
$$ 2AB = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 $$
SECONDO ERRORE
Il secondo errore comune è confondere il quadrato di un binomio con il falso quadrato di un binomio.
In questo secondo caso anziché il doppio prodotto è presente il prodotto semplice.
Con una lettura superficiale si potrebbe dire che:
$$ A^2 \color{red}{+AB}+B^2 = (A+B)^2 $$
Consideriamo ancora il caso numerico di primo con:
$$ A = 2 \quad B= 3 $$
Il quadrato della somma (come già calcolato sopra) è:
$$ (2+3)^2 = 5^2 = 25 $$
Mentre il falso quadrato :
$$ A^2+AB+B^2 $$
Vale:
$$ 2^2+2 \cdot 3 +3^2 = 4+6+9 = 19 $$
Per arrivare al 25 mancano 6 unità, ovvero ancora una volta il prodotto AB.
Troviamo il falso quadrato nella scomposizione della somma e della differenza di cubi.
QUADRATO DI BINOMIO E TRINOMIO SPECIALE DI SECONDO GRADO
Alcune tipologie di quadrati di binomio possono essere ricondotti a trinomi speciali di secondo grado.
Consideriamo ad esempio il seguente trinomio:
$$ x^2+4x+4 $$
Seguendo le indicazioni viste fino a questo punto si capisce immediatamente che questo è un quadrato di binomio:
$$ x^2+4x+4 = (x+2)^2$$
Trattandosi inoltre di un trinomio di secondo grado in cui il coefficiente della x vale 1, possiamo trattarlo come un trinomio speciale di secondo grado.
$$ x^2 +sx+p $$
In particolare dobbiamo cercare due numeri con:
$$ \text{ somma $=s=4 $} \\ \text{prodotto $=p=4$} $
Questi due numeri valgono entrambi 2, infatti:
$$ 2+2=4 \quad \text{e} \quad 2 \cdot 2 = 4 $$
La scomposizione dunque diventa:
$$(x+2)(x+2) = (x+2)^2 $$
COMPLETARE UN QUADRATO DI BINOMIO
Un esercizio abbastanza singolare è quello in cui ci vengono dati due elementi e ci viene richiesto di completare un quadrato di binomio.
PRIMO ESEMPIO (DUE QUADRATI)
Supponiamo ad esempio di avere il seguente binomio in cui abbiamo la somma di due quadrati:
$$ x^2 +4y^2 $$
Quale dovrebbe essere il terzo termine per ottenere un quadrato di binomio?
$$ x^2 +4y^2 \color{blue} {+ ???} $$
Il quesito in questo caso è abbastanza semplice.
Nel testo infatti sono già presenti due quadrati:
$$ \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} \\ \text{$4y^2$ è il quadrato di $2y$} $$
L’unica quantità che manca all’appello è il doppio prodotto delle radici, ovvero:
$$ 2 \cdot x \cdot (2y) = 4xy $$
Dunque possiamo scrivere che:
$$ x^2 +4y^2 \color{blue} {+ 4xy} = (x+2y)^2$$
SECONDO ESEMPIO ( UN QUADRATO ED UN DOPPIO PRODOTTO)
Oppure pensiamo a questo esercizio:
$$ x^2 +6x \color{blue} {+ ???} $$
In questo caso abbiamo certamente un quadrato:
$$ \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} $$
Dubitiamo fortemente che 6x sia un quadrato è quindi stabiliamo che sia un doppio prodotto.
Dobbiamo quindi completare il quadrato di binomio con un altro quadrato.
Supponiamo il quadrato di una certa quantità incognita che chiamiamo c.
$$ x^2 +6x \color{blue} {+ c^2} \\ \color{blue}{ \text{$c^2$ è il quadrato di $c$ (incognita)} } $$
Ora quindi il doppio prodotto 6x è dato da:
$$ 2 \cdot x \color{blue}{c} = 6x $$
Semplificando ambo i membri per 2x otteniamo il valore della c:
$$ 2 \cdot x \color{blue}{c} = 6x \to color{blue}{c=3}$$
Da cui elevando alla seconda abbiamo il quadrato di c che completa il quadrato di binomio
$$ 2 \cdot x \color{blue}{c} = 6x \to color{blue}{c=3 \to c^2 = 9} $$
Quindi abbiamo completato il nostro quadrato:
$$ x^2+6x \color{blue}{+9} = (x+3)^2 $$
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E COMPLETAMENTO DEL QUADRATO
In molti non lo sanno ma le equazioni di secondo grado possono essere risolte con il metodo del completamento del quadrato.
Consideriamo per esempio la seguente equazione:
$$ x^2 -6x+5 = 0 $$
Ora lasciamo le x sul lato di sinistra e spostiamo i numeri sulla destra:
$$ x^2-6x= -5 $$
Il termine che ci serve a completare il quadrato sul lato sinistra è +9
Pertanto sommiamo 9 su entrambi i lati dell’equazione:
$$ x^2-6x \color{blue}{+9}= -5 \color{blue}{+9}$$
A sinistra abbiamo il quadrato di un binomio, mentre a destra 4 (che è il quadrato di 2.
$$ x^2-6x+9=4 \to (x-3)^2 = 2^2$$
Ora mettiamo la radice su entrambi i lati dell’equazione:
$$ \color{red}{\sqrt{\color{black}{(x-3)^2}} \color{black}{=} \sqrt{ \color{black}{2^2} }}$$
La radice di un quadrato è il modulo (valore assoluto)della sua radice:
$$ |x-3| = 3 $$
Andiamo a sciogliere il modulo:
$$ x-3 = \pm 2 $$
Da cui abbiamo le due soluzione
$$ x = 1 \lor x = 5 $$
QUADRATO DI BINOMIO, POTENZA DI UN BINOMIO E TRIANGOLO DI TARTAGLIA.
Il quadrato di binomio si trova al livello 2 del triangolo di Tartaglia.
Questo magico triangolo, ideato nella prima metà del 1500 dal matematico bresciano Niccolò Tartaglia ci dice ad ogni livello come è fatta una potenza di binomio.
Come si può vedere al vertice della piramide compare il numero1.
Il vertice è il livello zero della piramide, e questo significa che:
$$ (A+B)^0 = 1 $$
Sul primo livello compare i numeri 1 e 1
Ciò significa che:
$$ (A+B)^1 = 1 \cdot A^1 + 1 \cdot B^1 $$
Sul livello 2 ci sono i numeri: 1 2 1
Questo significa che:
$$ (A+B)^2 = 1 A^2 + 2 AB = 1 B^2 $$
Questo è il nostro quadrato di binomio.
QUADRATO DI BINOMIO E PARABOLA
Alcune famiglie di quadrati di binomio possono essere visualizzato sul grafico cartesiano come parabole con vertice tangente all’asse x.
Mi riferisco in particolare ai quadrati di binomio del tipo:
$$ (ax+b)^2 $$
Se consideriamo infatti il seguente fascio di funzioni:
$$ y = (ax+b)^2 $$
Rappresentano traslazioni sull’asse x, con dilatazioni o restringimenti della parabola base:
$$ y= x^2 $$
Vediamo alcuni esempi nel grafico sottostante.
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