QUADRATO DI BINOMIO
La regola di scomposizione del quadrato di binomio è:
La possiamo ricavare leggendo da destra verso sinistra la regola per lo sviluppo di un quadrato di binomio:
Se ci troviamo di fronte ad un polinomio in cui abbiamo due quadrati ed un doppio prodotto abbiamo un quadrato di binomio.
Nel caso generale dunque osserviamo il polinomio:
Osserviamo immediatamente la presenza di due quadrati:
Se proviamo ora a fare il doppio prodotto delle radici di questi quadrati:
Che è proprio il terzo termine del polinomio.
Dunque:
Proviamo ad esempio a considerare il seguente polinomio:
Come possiamo notare vi sono due quadrati:
Se facciamo il doppio prodotto delle radici quadrate:
Otteniamo proprio il termine centrale, dunque:
Badate bene al fatto che il doppio prodotto può anche essere negativo!
In tal caso significa che le basi sono tra di loro discordi.
Ad esempio il seguente polinomio:
Possiamo riscriverlo così:
Oppure anche cambiando il segno alla base:
ESERCIZI SULLA SCOMPOSIZIONE DEL QUADRATO DI BINOMIO
Vediamo ora una serie di esercizi di scomposizione del quadrato di binomio.
ESERCIZIO 1
Notiamo che:
Dunque:
Adesso che abbiamo capito il senso vediamo gli altri esercizi:
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I DUE ERRORI SUL QUADRATO DI BINOMIO
I due errori tipici sulla scomposizione del quadrato di binomio sono i seguenti
Il primo è quello di pensare che una somma di quadrati sia il quadrato di una somma.
In questo caso mancherebbe infatti il doppio prodotto tra A e B.
Per capire questo errore basta sostituire al posto della A e della B due numeri a caso.
Consideriamo per esempio
Se facciamo la somma dei quadrati otteniamo 13
Se facciamo invece il quadrato della somma otteniamo 25:
Chiaramente 13 è diverso da 25:
La quantità che manca a completare il 25 partendo dal 13 è il 12.
Questo 12 è proprio il doppio prodotto tra la A e la B.
Il secondo errore comune è mettere il prodotto semplice anziché il doppio prodotto
Con una lettura superficiale si potrebbe dire che:
Consideriamo ancora il caso numerico di primo con:
Il quadrato della somma (come già calcolato sopra) è:
Mentre il trinomio che sembra un quadrato
Vale:
Per arrivare al 25 mancano 6 unità, ovvero ancora una volta il prodotto AB.
Il polinomio:
Viene anche detto falso quadrato!
Questo proprio in virtù della sua somiglianza allo sviluppo di un quadrato.
QUADRATO DI BINOMIO E TRINOMIO SPECIALE DI SECONDO GRADO
Alcune tipologie di quadrati di binomio possono essere ricondotti a trinomi speciali di secondo grado.
Consideriamo ad esempio il seguente trinomio:
Seguendo le indicazioni viste fino a questo punto si capisce immediatamente che questo è un quadrato di binomio:
Trattandosi inoltre di un trinomio di secondo grado in cui il coefficiente della x vale 1, possiamo trattarlo come un trinomio speciale di secondo grado.
In particolare dobbiamo cercare due numeri con:
Questi due numeri valgono entrambi 2, infatti:
Che coincide proprio con:
COMPLETARE UN QUADRATO DI BINOMIO
Un esercizio abbastanza singolare è quello in cui ci vengono dati due elementi e ci viene richiesto di completare un quadrato di binomio.
Supponiamo ad esempio di avere il seguente binomio:
Quale dovrebbe essere il terzo termine per ottenere un quadrato di binomio?
Il quesito in questo caso è abbastanza semplice.
Nel testo infatti sono già presenti due quadrati:
L’unica quantità che manca all’appello è il doppio prodotto delle radici, ovvero:
Dunque possiamo scrivere che:
Oppure pensiamo a questo esercizio:
In questo caso abbiamo certamente un quadrato:
Dubitiamo fortemente che 6x sia un quadrato è quindi stabiliamo che sia un doppio prodotto.
Dobbiamo quindi completare il quadrato di binomio con un altro quadrato.
Supponiamo il quadrato di una certa quantità incognita che chiamiamo c.
Ora quindi il doppio prodotto 6x è dato da:
Semplificando ambo i membri per 2x otteniamo il valore della c:
Da cui elevando alla seconda abbiamo il quadrato di c che completa il quadrato di binomio
Quindi abbiamo completato il nostro quadrato:
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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E COMPLETAMENTO DEL QUADRATO
In molti non lo sanno ma le equazioni di secondo grado possono essere risolte con il metodo del completamento del quadrato.
Consideriamo per esempio la seguente equazione:
Ora lasciamo le x sul lato di sinistra e spostiamo i numeri sulla destra:
Il termine che ci serve a completare il quadrato sul lato sinistra è +9
Pertanto sommiamo 9 su entrambi i lati dell’equazione:
A sinistra abbiamo il quadrato di un binomio, mentre a destra 4 (che è il quadrato di 2.
Ora mettiamo la radice su entrambi i lati dell’equazione:
La radice di un quadrato è il modulo (valore assoluto)della sua radice:
Andiamo a sciogliere il modulo:
Da cui abbiamo le due soluzione
QUADRATO DI BINOMIO, POTENZA DI UN BINOMIO E TRIANGOLO DI TARTAGLIA.
Il quadrato di binomio si trova al livello 2 del triangolo di Tartaglia.
Questo magico triangolo, ideato nella prima metà del 1500 dal matematico bresciano Niccolò Tartaglia ci dice ad ogni livello come è fatta una potenza di binomio.
Come si può vedere al vertice della piramide compare il numero1.
Il vertice è il livello zero della piramide, e questo significa che:
Sul primo livello compare i numeri 1 e 1
Ciò significa che:
Sul livello 2 ci sono i numeri: 1 2 1
Questo significa che:
Questo è il nostro quadrato di binomio.
Se vuoi approfondire sulla piramide o triangolo di Tartaglia e sulla potenza di un binomio, clicca qui.
QUADRATO DI BINOMIO E PARABOLA
Alcune famiglie di quadrati di binomio possono essere visualizzato sul grafico cartesiano come parabole con vertice tangente all’asse x.
Mi riferisco in particolare ai quadrati di binomio del tipo:
Se consideriamo infatti il seguente fascio di funzioni:
Rappresentano traslazioni sull’asse x, con dilatazioni o restringimenti della parabola base:
Vediamo alcuni esempi nel grafico sottostante.
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