QUADRATO DI BINOMIO – SCOMPOSIZIONE

QUADRATO DI BINOMIO

La regola di scomposizione del quadrato di binomio  è:

$$ A^2 +2AB+B^2 = (A+B)^2 $$

La possiamo ricavare leggendo da destra verso sinistra la regola per lo sviluppo di un quadrato di binomio:

$$(A+B)^2 = A^2+AB+B^2 $$

Se ci troviamo di fronte ad un polinomio in cui abbiamo due quadrati ed un doppio prodotto abbiamo un quadrato di binomio.

Nel caso generale dunque osserviamo il polinomio:

$$ A^2 +2AB+B^2 \\ \ \\ \ \\ \text{$A^2$ è il quadrato di $A$} \\ \text{$B^2$ è il quadrato di $B$} \\ \text{$2AB$ è il doppio prodotto tra $A$ e $B$} $$

Proviamo ad esempio a considerare il seguente polinomio:

$$ 9x^2-6x+1 $$

Come possiamo notare vi sono due quadrati:

$$ 9x^2= (3x)^2 \quad \text{e} \quad 1=1^2 $$

Se facciamo il doppio prodotto delle radici quadrate:

$$ 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x $$

Otteniamo proprio il termine centrale, dunque:

$$ 9x^2-6x+1 = (3x+1)^2$$

Badate bene al fatto che il doppio prodotto può anche essere negativo!

In tal caso significa che le basi sono tra di loro discordi.

Ad esempio il seguente polinomio:

$$ 4x^2-12x+9 $$

Possiamo riscriverlo così:

$$ (2x+3)^2 $$

Oppure anche cambiando il segno alla base:

$$ (3-2x)^2 $$

ESERCIZI SULLA SCOMPOSIZIONE DEL QUADRATO DI BINOMIO 

Vediamo ora una serie di esercizi di scomposizione del quadrato di binomio.

$$ \begin{array}{cccc} x^2+4x+4 & x^2+12x+36 & x^2-10x+25 \\ 4x^2-20x+25 & 9x^2-24x+16 &100x^2+140x +49 \\ \frac{25}{4} a^2+ 6ab +\frac{35}{25} b^2 \end{array}$$

ESERCIZIO 1

$$ x^2+4x+4 $$

Notiamo che:

$$ \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} \\ \text{$4$ è il quadrato di $2$} \\ \text{$4x$ è il doppio prodotto tra $x$ e $2$} $$

Dunque:

$$ x^2+4x+4 = (x+2)^2$$

Adesso che abbiamo capito il senso vediamo gli altri esercizi:

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I DUE ERRORI COMUNI SUL QUADRATO DI BINOMIO

I due errori tipici sulla scomposizione del quadrato di binomio sono i seguenti

PRIMO ERRORE

Il primo è quello di pensare che una somma di quadrati sia il quadrato di una somma.

$$ A^2 +B^2 = (A+B)^2 $$

In questo caso mancherebbe infatti il doppio prodotto tra A e B.

Per capire questo errore basta sostituire al posto della A e della B due numeri a caso.

Consideriamo per esempio 

$$ A = 2 \quad B= 3 $$

Se facciamo la somma dei quadrati otteniamo 13

$$ 2^2+3^2 = 4+9 = 13 $$

Se facciamo invece il quadrato della somma otteniamo 25:

$$ (2+3)^2 = 5^2 = 25 $$

Chiaramente 13 è diverso da 25:

$$ 13 \ne 25 \to A^2+B^2 \ne (A+B)^2 $$

La quantità che manca a completare il 25 partendo dal 13 è il 12.

Questo 12 è proprio il doppio prodotto tra la A e la B.

$$ 2AB = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 $$

SECONDO ERRORE

Il secondo errore comune è confondere il quadrato di un binomio con il falso quadrato di un binomio.

In questo secondo caso anziché il doppio prodotto è presente il prodotto semplice.

Con una lettura superficiale si potrebbe dire che:

$$ A^2 \color{red}{+AB}+B^2 = (A+B)^2 $$

Consideriamo ancora il caso numerico di primo con:

$$ A = 2 \quad B= 3 $$

Il quadrato della somma (come già calcolato sopra) è:

$$ (2+3)^2 = 5^2 = 25 $$

Mentre il falso quadrato :

$$ A^2+AB+B^2 $$

Vale:

$$ 2^2+2 \cdot 3 +3^2 = 4+6+9 = 19 $$

Per arrivare al 25 mancano 6 unità, ovvero ancora una volta il prodotto AB.

Troviamo il falso quadrato nella scomposizione della somma e della differenza di cubi.

QUADRATO DI BINOMIO E TRINOMIO SPECIALE  DI SECONDO GRADO

Alcune tipologie di quadrati di binomio possono essere ricondotti a trinomi speciali di secondo grado.

Consideriamo ad esempio il seguente trinomio:

$$ x^2+4x+4 $$

Seguendo le indicazioni viste fino a questo punto si capisce immediatamente che questo è un quadrato di binomio:

$$ x^2+4x+4 = (x+2)^2$$

Trattandosi inoltre di un trinomio di secondo grado in cui il coefficiente della x vale 1, possiamo trattarlo come un trinomio speciale di secondo grado.

$$ x^2 +sx+p $$

In particolare dobbiamo cercare due numeri con:

$$ \text{ somma $=s=4 $} \\ \text{prodotto $=p=4$} $

Questi due numeri valgono entrambi 2, infatti:

$$ 2+2=4 \quad \text{e} \quad 2 \cdot 2 = 4 $$

La scomposizione dunque diventa:

$$(x+2)(x+2) = (x+2)^2 $$

COMPLETARE UN QUADRATO DI BINOMIO

Un esercizio abbastanza singolare è quello in cui ci vengono dati due elementi e ci viene richiesto di completare un quadrato di binomio.

PRIMO ESEMPIO (DUE QUADRATI)

Supponiamo ad esempio di avere il seguente binomio in cui abbiamo la somma di due quadrati:

$$ x^2 +4y^2 $$

Quale dovrebbe essere il terzo termine per ottenere un quadrato di binomio?

$$ x^2 +4y^2 \color{blue} {+ ???} $$

Il quesito in questo caso è abbastanza semplice.

Nel testo infatti sono già presenti due quadrati:

$$ \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} \\ \text{$4y^2$ è il quadrato di $2y$} $$

L’unica quantità che manca all’appello è il doppio prodotto delle radici, ovvero:

$$ 2 \cdot x \cdot (2y) = 4xy $$

Dunque possiamo scrivere che:

$$ x^2 +4y^2 \color{blue} {+ 4xy} = (x+2y)^2$$

SECONDO ESEMPIO ( UN QUADRATO ED UN DOPPIO PRODOTTO)

Oppure pensiamo a questo esercizio:

$$ x^2 +6x \color{blue} {+ ???} $$

In questo caso abbiamo certamente un quadrato:

$$ \text{$x^2$ è il quadrato di $x$} $$

Dubitiamo fortemente che 6x sia un quadrato è quindi stabiliamo che sia un doppio prodotto.

Dobbiamo quindi completare il quadrato di binomio con un altro quadrato.

Supponiamo il quadrato di una certa quantità incognita che chiamiamo c.

$$ x^2 +6x \color{blue} {+ c^2} \\ \color{blue}{ \text{$c^2$ è il quadrato di $c$ (incognita)} } $$

Ora quindi il doppio prodotto 6x è dato da:

$$ 2 \cdot x \color{blue}{c} = 6x $$

Semplificando ambo i membri per 2x otteniamo il valore della c:

$$ 2 \cdot x \color{blue}{c} = 6x \to color{blue}{c=3}$$

Da cui elevando alla seconda abbiamo il quadrato di c che completa il quadrato di binomio

$$ 2 \cdot x \color{blue}{c} = 6x \to color{blue}{c=3 \to c^2 = 9} $$

Quindi abbiamo completato il nostro quadrato:

$$ x^2+6x \color{blue}{+9} = (x+3)^2 $$

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E COMPLETAMENTO DEL QUADRATO

In molti non lo sanno ma le equazioni di secondo grado possono essere risolte con il metodo del completamento del quadrato.

Consideriamo per esempio la seguente equazione:

$$ x^2 -6x+5 = 0 $$

Ora lasciamo le x sul lato di sinistra e spostiamo i numeri sulla destra:

$$ x^2-6x= -5 $$

Il termine che ci serve a completare il quadrato sul lato sinistra è +9

Pertanto sommiamo 9 su entrambi i lati dell’equazione:

$$ x^2-6x \color{blue}{+9}= -5 \color{blue}{+9}$$

A sinistra abbiamo il quadrato di un binomio, mentre a destra 4 (che è il quadrato di 2.

$$ x^2-6x+9=4 \to (x-3)^2 = 2^2$$

Ora mettiamo la radice su entrambi i lati dell’equazione:

$$ \color{red}{\sqrt{\color{black}{(x-3)^2}} \color{black}{=} \sqrt{ \color{black}{2^2} }}$$

La radice di un quadrato è il modulo (valore assoluto)della sua radice:

$$ |x-3| = 3 $$

Andiamo a sciogliere il modulo:

$$ x-3 = \pm 2 $$

Da cui abbiamo le due soluzione

$$ x = 1 \lor x = 5 $$

QUADRATO DI BINOMIO, POTENZA DI UN BINOMIO E TRIANGOLO DI TARTAGLIA.

Il quadrato di binomio si trova al livello 2 del triangolo di Tartaglia.

Questo magico triangolo, ideato nella prima metà del 1500 dal matematico bresciano Niccolò Tartaglia ci dice ad ogni livello come è fatta una potenza di binomio.

Come si può vedere al vertice della piramide compare il numero1.

Il vertice è il livello zero della piramide, e questo significa che:

$$ (A+B)^0 = 1 $$

Sul primo livello compare i numeri 1 e 1

Ciò significa che:

$$ (A+B)^1 = 1 \cdot A^1 + 1 \cdot B^1 $$

Sul livello 2 ci sono i numeri:  1 2 1

Questo significa che:

$$ (A+B)^2 = 1 A^2 + 2 AB = 1 B^2 $$

Questo è il nostro quadrato di binomio.

QUADRATO DI BINOMIO E PARABOLA

Alcune famiglie di quadrati di binomio possono essere visualizzato sul grafico cartesiano come parabole con vertice tangente all’asse x.

Mi riferisco in particolare ai quadrati di binomio del tipo:

$$ (ax+b)^2 $$

Se consideriamo infatti il seguente fascio di funzioni:

$$ y = (ax+b)^2 $$

Rappresentano traslazioni sull’asse x, con dilatazioni o restringimenti della parabola base:

$$ y= x^2 $$

Vediamo alcuni esempi nel grafico sottostante.

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