Il trinomio speciale di secondo grado, detto anche trinomio caratteristico o particolare è un polinomio di secondo grado che si presenta nella seguente forma:
Dove:
Esso è uno dei prodotti notevoli più importanti di tutta la storia della matematica.
In alcuni testi viene indicato anche con il nome di trinomio somma-prodotto.
FORMAZIONE DEL TRINOMIO SPECIALE DI SECONDO GRADO
Il trinomio speciale di secondo grado si forma mediante la moltiplicazione di due binomi di grado uno, del tipo:
Svolgendo i calcoli abbiamo che:
Se raccogliamo a fattor comune la x scriviamo:
Notiamo che il coefficiente della x (A+B) è una somma (s), mentre il termine noto AB è un prodotto (p)
Da qui ne deriva la scrittura finale del trinomio speciale.
Per esempio consideriamo la seguente moltiplicazione:
GIOCA CON LA MATEMATICA
Proviamo a fare questo gioco.
Scegliamo a caso due numeri e forma un trinomio speciale.
Comincio io.
Ora tocca a te!
SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO SPECIALE
Quando ci troviamo di fronte ad un trinomio del tipo:
È possibile riscriverlo (scomporlo) come una moltiplicazione di due binomi di primo grado.
Tale procedimento risulta tuttavia più complesso della risoluzione vista prima.
Infatti riusciremo a scomporlo solamente se troviamo una coppia di numeri A e B, tali che:
Ma come facciamo?
Possiamo dire la procedura per l’insieme dei numeri relativi.
PROCEDURA PER LA SCOMPOSIZIONE QUANDO A e B SONO RELATIVI
Cerchiamo di spiegare la procedura con un caso concreto che di solito risulta più efficace.
Per semplicità prendiamone uno di cui già conosciamo la scomposizione, di modo da sapere esattamente dove siamo diretti.
Consideriamo ad esempio il polinomio sviluppato prima:
Noi sappiamo da prima che questo polinomio è formato dal prodotto:
Ora però facciamo finta di non saperlo.
Ripartiamo dunque dal trinomio:
Sappiamo che la somma (s) e il prodotto (p) sono rispettivamente:
Analizziamo il prodotto in valore assoluto (senza considerare il suo segno) per il momento, questo vale 6.
Cerchiamo nei numeri naturali tutte le coppie di numeri il cui prodotto è 6.
Queste sono certamente in un numero finito:
Ora dobbiamo considerare il segno del prodotto:
Se questo è positivo (che è il nostro caso) consideriamo la somma dei numeri:
Nel nostro caso diremo:
Diversamente se il prodotto è negativo si considera la differenza dei numeri (in valore assoluto)
Rappresento questi step fino a qui con uno schema:
Siccome il nostro prodotto è positivo guardiamo la somma dei numeri.
In questa somma dobbiamo trovare proprio il valore di s=5.
Nel nostro caso lo abbiamo in corrispondenza della coppia 3,2
Ora resta da stabilire il segno di questi due numeri che certamente sarà concorde.
Quindi potremmo avere due casi:
Siccome anche il segno della somma è positivo scegliamo la coppia:
Dunque la scomposizione è:
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ESEMPIO NUMERO 2 – TRINOMIO SPECIALE
Vediamo cosa succede se il trinomio di partenza fosse stato
Notiamo bene che rispetto al caso precedente stiamo solo modificando il segno della somma: –5
In questo caso l’analisi risulta essere in toto identica a quella precedente ma la coppia finale di numeri è quella negativa: –2,–3
ESEMPIO NUMERO 3
Vediamo di modificare ancora il testo iniziale:
Ora la somma e il prodotto sono pari rispettivamente a:
La coppia cercata è dunque:
Rappresentiamo la procedura
ESEMPIO NUMERO 4
Come vedete le possibili combinazioni di scelta dato un singolo trinomio sono molte.
Vediamo ancora qualche esempio:
Ora la somma e il prodotto sono pari rispettivamente a:
La coppia cercata è dunque:
Rappresentiamo la procedura
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ESEMPIO NUMERO 5
Proseguiamo ancora con questo esempio:
Ora la somma e il prodotto sono pari rispettivamente a:
La coppia cercata è dunque:
Rappresentiamo la procedura
ESEMPIO NUMERO 6
Fino a quando i prodotti sono relativamente semplici (come fino ad ora) il numero delle coppie è relativamente limitato.
Se consideriamo questo esempio di trinomio notevole di secondo grado:
Dove:
Ci rendiamo conto che il prodotto 24 presenta un discreto numero di coppie di divisori:
Seguendo la procedura scopriamo che la coppia cercata è :
Rappresentiamo la procedura
QUANDO IL TRINOMIO SPECIALE NON E’ SCOMPONIBILE ?
Un trinomio speciale
non è scomponibile secondo la procedura vista quando non riusciamo a trovare due numeri relativi A e B tali che:
Dunque non riusciamo a riscriverlo nella forma:
NB: Sottolineo il fatto che i numeri sono relativi!!!
Consideriamo ad esempio il seguente caso:
Seguendo la procedura vista sino ad ora notiamo che l’unica coppia di naturale che restituisce 2 è:
Ma la somma (dal momento che il prodotto è positivo) da come valore 3 e non 2!
Lo stesso accade per i seguenti casi:
Insomma, sembrerebbero di più i casi sfavorevoli rispetto ai casi favorevoli
Se tiriamo ad indovinare due numeri a caso al posto di s e p nella struttura del trinomio speciale:
Probabilmente non riusciremmo a scomporlo secondo questo metodo!
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E TRINOMIO SPECIALE
La scomposizione del trinomio speciale d secondo grado può essere utilizzata per risolvere equazioni di secondo grado.
Consideriamo ad esempio la seguente equazione di secondo grado:
Se facciamo la scomposizione di sinistra otteniamo:
Applicando la legge di annullamento del prodotto per i due fattori della scomposizione, otteniamo le soluzioni dell’equazione di secondo grado.
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UNA TEORIA PIU’ GENERALE: LA SCOMPOSIZIONE NEI NUMERI REALI
Le soluzioni sono proprio l’opposto dei numeri che scompongono il trinomio speciale.
Dunque la scomposizione del trinomio speciale può essere riscritta in funzione delle radici (soluzioni) del polinomio in questo modo:
Questa formula permette la scomposizione in senso più ampio del trinomio speciale.
Anche dei trinomi che con la procedura tradizionale non eravamo in grado di scomporre.
Consideriamo la seguente equazione di secondo grado:
Non riusciamo a scomporre questo trinomio con il metodo tradizionale!
Possiamo applicare la forma per la risoluzione delle equazioni di secondo grado:
Calcoliamo prima il delta:
La scomposizione del trinomio speciale è dunque:
Sarebbe stato un po’ difficile trovarla con un metodo simile a quello tradizionale.
LA SCOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO SPECIALE NEI NUMERI COMPLESSI
Dunque sembrerebbe che la scomposizione possa essere fatta in senso allargato solo quando il delta dell’equazione di secondo grado è maggiore di zero.
Questo è vero fin tanto che ci troviamo nel campo dei numeri reali.
Ricordiamo che uno dei teoremi della matematica ci dice che:
Un’equazione di grado n ammette sempre n soluzioni (nel campo complesso)
Dunque potremo anche trovare la scomposizione del falso quadrato:
La scomposizione è dunque:
TRINOMIO SPECIALE E PARABOLA
Un modo certamente particolare per rappresentare un trinomio speciale su un sistema cartesiano è la parabola.
Ad esempio possiamo visualizzare il trinomio speciale:
Con la parabola di equazione:
Tale parabola ha una concavità rivolta verso l’alto e come punto di intersezioni con l’asse delle x, i suoi zeri:
HAI QUALCHE DOMANDA???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
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