Esercizi Svolti: Studio di Funzione con Valore Assoluto

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sullo Studio di Funzioni con Valore Assoluto.

Il valore assoluto $|A(x)|$ rende la funzione sempre positiva o nulla nell’argomento, ma complica la risoluzione di equazioni e disequazioni.

Analizzeremo 4 funzioni:

1. Lineare con modulo (traslazione).
2. Quadratica con modulo (ribaltamento).
3. Fratta con modulo al denominatore.
4. Fratta con modulo al numeratore (studio del segno misto).

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato

---

Funzione 1: Il Modulo Lineare Traslato

$$f(x) = |x – 3| – 2$$

Esercizio 1: Dominio

Domanda: Qual è il dominio della funzione $f(x) = |x – 3| – 2$?

Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: Il valore assoluto non impone restrizioni di esistenza (a differenza di radici o logaritmi). L’argomento è un polinomio.
• Conclusione: $D = \mathbb{R}$.

Esercizio 2: Intersezioni con gli Assi

Domanda: Trova i punti di intersezione con gli assi.

Risposta Corretta: Asse y: $(0, 1)$; Asse x: $(1, 0)$ e $(5, 0)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Asse y ($x=0$): $y = |0 – 3| – 2 = |-3| – 2 = 3 – 2 = 1$. Punto $A(0, 1)$.
• Asse x ($y=0$): $|x – 3| – 2 = 0 \rightarrow |x – 3| = 2$.
  • Caso 1: $x – 3 = 2 \rightarrow x = 5$.
  • Caso 2: $x – 3 = -2 \rightarrow x = 1$.
  • Punti $B(1, 0)$ e $C(5, 0)$.

Esercizio 3: Studio del Segno

Domanda: Dove la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?

Risposta Corretta: $x < 1 \lor x > 5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Disequazione: $|x – 3| – 2 > 0 \rightarrow |x – 3| > 2$.
• Proprietà Modulo: $|A| > k \iff A < -k \lor A > k$.
  • $x – 3 < -2 \rightarrow x < 1$.
  • $x – 3 > 2 \rightarrow x > 5$.
• Soluzione: $x < 1 \lor x > 5$.

---

Funzione 2: La Parabola con Modulo

$$f(x) = |x^2 – 1| – 3$$

Esercizio 4: Dominio

Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = |x^2 – 1| – 3$?

Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Analisi: Funzione composta da polinomi e valore assoluto. Nessuna restrizione.
• Conclusione: $D = \mathbb{R}$.

Esercizio 5: Intersezioni con l’Asse X

Domanda: Trova gli zeri della funzione (intersezioni asse x).

Risposta Corretta: $x = \pm 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Equazione: $|x^2 – 1| – 3 = 0 \rightarrow |x^2 – 1| = 3$.
• Sdoppiamento:
  • Caso 1: $x^2 – 1 = 3 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x = \pm 2$.
  • Caso 2: $x^2 – 1 = -3 \rightarrow x^2 = -2$ (Impossibile nei reali).
• Zeri: $x = 2$ e $x = -2$.

Esercizio 6: Studio del Segno

Domanda: Dove la funzione è positiva?

Risposta Corretta: $x < -2 \lor x > 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Disequazione: $|x^2 – 1| > 3$.
• Sdoppiamento:
  • $x^2 – 1 < -3 \rightarrow x^2 < -2$ (Mai verificata, impossibile).
  • $x^2 – 1 > 3 \rightarrow x^2 > 4 \rightarrow x < -2 \lor x > 2$.
• Soluzione Totale: $x < -2 \lor x > 2$.

---

Funzione 3: Fratta con Modulo al Denominatore

$$f(x) = \frac{x – 2}{|x|}$$

Esercizio 7: Dominio

Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \frac{x – 2}{|x|}$?

Risposta Corretta: $x \ne 0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Condizione: Il denominatore deve essere diverso da zero.
• Calcolo: $|x| \ne 0 \rightarrow x \ne 0$.
• Conclusione: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Esercizio 8: Intersezioni con gli Assi

Domanda: Trova i punti di intersezione con gli assi.

Risposta Corretta: Asse y: Nessuna; Asse x: $(2, 0)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Asse y ($x=0$): Impossibile, $x=0$ è escluso dal dominio. Nessuna intersezione.
• Asse x ($y=0$): Una frazione è zero se il numeratore è zero.$x – 2 = 0 \rightarrow x = 2$.Punto $(2, 0)$.

Esercizio 9: Studio del Segno

Domanda: Per quali $x$ si ha $f(x) > 0$?

Risposta Corretta: $x > 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Studio Numeratore: $x – 2 > 0 \rightarrow x > 2$.
• Studio Denominatore: $|x| > 0$. Il valore assoluto è sempre positivo (tranne in 0, che è escluso). Quindi il denominatore è positivo $\forall x \in D$.
• Conclusione: Il segno dipende solo dal numeratore.
• Soluzione: $x > 2$.

---

Funzione 4: Fratta con Modulo al Numeratore

$$f(x) = \frac{|x| – 1}{x}$$

Esercizio 10: Dominio

Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \frac{|x| – 1}{x}$?

Risposta Corretta: $x \ne 0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Condizione: Denominatore diverso da zero.
• Conclusione: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Esercizio 11: Intersezioni con l’Asse X

Domanda: Quali sono gli zeri della funzione?

Risposta Corretta: $x = 1; x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-11):

• Numeratore = 0: $|x| – 1 = 0 \rightarrow |x| = 1$.
• Soluzioni: $x = 1$ e $x = -1$.
• Verifica Dominio: Entrambi sono diversi da 0. Accettabili.

Esercizio 12: Studio del Segno

Domanda: Dove la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?

Risposta Corretta: $-1 < x < 0 \lor x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-12):

• Numeratore ($|x|-1 > 0$): $|x| > 1 \rightarrow x < -1 \lor x > 1$.
• Denominatore ($x > 0$): $x > 0$.
• Tabella dei Segni:
  • Capisaldi: -1, 0, 1.
  • Int. $x < -1$: N(+) / D(-) = Negativo.
  • Int. $-1 < x < 0$: N(-) / D(-) = Positivo.
  • Int. $0 < x < 1$: N(-) / D(+) = Negativo.
  • Int. $x > 1$: N(+) / D(+) = Positivo.
• Soluzione: $-1 < x < 0 \lor x > 1$.

💡 Approfondisci le Basi Matematiche

Inizia oggi a scoprire i corsi di matematica! Accetta la sfida e intraprendi un viaggio affascinante che riparte dai numeri, attraversa monomi e polinomi, padroneggia lo studio di funzione e l’algebra lineare, fino a immergerti nel rigore profondo dell’Analisi I e delle funzioni a due variabili. Il futuro ti aspetta, e parla in formule.