In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sullo Studio di Funzioni Irrazionali.
Esamineremo come determinare il Dominio, le Intersezioni con gli assi e il Segno per quattro tipologie di funzioni che coinvolgono radici quadrate e cubiche.
Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato
INDICE
Funzione 1: Radice Quadrata Traslata
$$f(x) = \sqrt{x + 4} – 2$$
Esercizio 1: Dominio
Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \sqrt{x + 4} – 2$?
Risposta Corretta: $x \ge -4$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Condizione: Radice di indice pari $\rightarrow$ Radicando $\ge 0$.
- Disequazione: $x + 4 \ge 0 \rightarrow x \ge -4$.
- Dominio: $[-4, +\infty)$.
Esercizio 2: Intersezioni con gli Assi
Domanda: Trova i punti di intersezione con gli assi.
Risposta Corretta: Asse y: $(0, 0)$; Asse x: $(0, 0)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Asse y ($x=0$): $y = \sqrt{0+4} – 2 = 2 – 2 = 0$. Punto $O(0,0)$.
- Asse x ($y=0$): $\sqrt{x+4} – 2 = 0 \rightarrow \sqrt{x+4} = 2$.
- Elevo al quadrato: $x + 4 = 4 \rightarrow x = 0$.
- Punto $O(0,0)$.
Esercizio 3: Studio del Segno
Domanda: Dove la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?
Risposta Corretta: $x > 0$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Disequazione: $\sqrt{x + 4} – 2 > 0 \rightarrow \sqrt{x + 4} > 2$.
- Risoluzione: Poiché 2 è positivo, eleviamo al quadrato (mantenendo la C.E. $x \ge -4$).$x + 4 > 4 \rightarrow x > 0$.
- Soluzione: $x > 0$.
Funzione 2: Radice Cubica (Indice Dispari)
$$f(x) = \sqrt[3]{x^3 – 8}$$
Esercizio 4: Dominio
Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \sqrt[3]{x^3 – 8}$?
Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Analisi: La radice ha indice 3 (dispari). Le radici dispari esistono per qualsiasi argomento reale (positivo o negativo).
- Conclusione: $D = \mathbb{R}$.
Esercizio 5: Intersezioni con gli Assi
Domanda: Trova le intersezioni con gli assi.
Risposta Corretta: Asse y: $(0, -2)$; Asse x: $(2, 0)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Asse y ($x=0$): $y = \sqrt[3]{0 – 8} = \sqrt[3]{-8} = -2$. Punto $(0, -2)$.
- Asse x ($y=0$): $\sqrt[3]{x^3 – 8} = 0 \rightarrow x^3 – 8 = 0$.$x^3 = 8 \rightarrow x = 2$. Punto $(2, 0)$.
Esercizio 6: Studio del Segno
Domanda: Dove è positiva la funzione?
Risposta Corretta: $x > 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- Analisi: Una radice dispari mantiene il segno del suo radicando.$\sqrt[3]{A(x)} > 0 \iff A(x) > 0$.
- Disequazione: $x^3 – 8 > 0 \rightarrow x^3 > 8 \rightarrow x > 2$.
Funzione 3: Irrazionale Quadratica (Semicirconferenza)
$$f(x) = \sqrt{9 – x^2}$$
Esercizio 7: Dominio
Domanda: Determina il dominio di $f(x) = \sqrt{9 – x^2}$.
Risposta Corretta: $-3 \le x \le 3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- Condizione: $9 – x^2 \ge 0$.
- Disequazione: $x^2 – 9 \le 0$.
- Valori Interni: $-3 \le x \le 3$. (Dominio limitato).
Esercizio 8: Intersezioni con l’Asse X
Domanda: Quali sono gli zeri della funzione?
Risposta Corretta: $x = \pm 3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- Equazione: $\sqrt{9 – x^2} = 0$.
- Radicando nullo: $9 – x^2 = 0 \rightarrow x^2 = 9 \rightarrow x = \pm 3$.
- Punti: $(3, 0)$ e $(-3, 0)$.
Esercizio 9: Studio del Segno
Domanda: In quale intervallo la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?
Risposta Corretta: $-3 < x < 3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Analisi: Una radice quadrata, dove esiste, è sempre positiva o nulla.
- Risoluzione: È positiva quando il radicando è strettamente positivo e $x$ appartiene al dominio.$9 – x^2 > 0 \rightarrow -3 < x < 3$.
Funzione 4: Mista (Irrazionale – Lineare)
$$f(x) = \sqrt{x + 2} – x$$
Esercizio 10: Dominio
Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \sqrt{x + 2} – x$?
Risposta Corretta: $x \ge -2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
- Condizione: Radicando $\ge 0$.
- Disequazione: $x + 2 \ge 0 \rightarrow x \ge -2$.
Esercizio 11: Intersezioni con l’Asse X
Domanda: Trova gli zeri della funzione $\sqrt{x + 2} – x = 0$.
Risposta Corretta: $x = 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-11):
- Equazione: $\sqrt{x + 2} = x$.
- Sistema:$\begin{cases} x \ge 0 \quad (\text{Secondo membro positivo}) \\ x+2 = x^2 \quad (\text{Elevamento}) \end{cases}$
- Risoluzione $x^2 – x – 2 = 0$: $(x-2)(x+1)=0 \rightarrow x=2, x=-1$.
- Verifica: Solo $x=2$ rispetta $x \ge 0$. ($x=-1$ è estranea perché $\sqrt{1} \ne -1$).
- Zero: $x = 2$.
Esercizio 12: Studio del Segno
Domanda: Risolvi la disequazione $f(x) > 0$ (Dove il grafico è sopra l’asse x).
Risposta Corretta: $-2 \le x < 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-12):
- Disequazione: $\sqrt{x + 2} – x > 0 \rightarrow \sqrt{x + 2} > x$.
- Metodo Grafico o Sistemi: È una disequazione $\sqrt{A(x)} > B(x)$.
- Sistema A ($B(x) < 0$):$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \rightarrow x \ge -2 \\ x < 0 \end{cases} \implies -2 \le x < 0$.
- Sistema B ($B(x) \ge 0$):$\begin{cases} x \ge 0 \\ x + 2 > x^2 \rightarrow x^2 – x – 2 < 0 \rightarrow -1 < x < 2 \end{cases}$Intersezione con $x \ge 0$: $0 \le x < 2$.
- Unione: $[-2, 0) \cup [0, 2) \rightarrow [-2, 2)$.
- Soluzione: $-2 \le x < 2$.
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