Esercizi Svolti: Studio di Funzione Esponenziale

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sullo Studio di Funzioni Esponenziali.

Analizzeremo 4 funzioni di tipologia diversa, concentrandoci su Dominio, Intersezioni e Segno. Ricorda che la funzione base $e^x$ (o $a^x$ con $a>0$) ha dominio $\mathbb{R}$ ed è sempre strettamente positiva. Le restrizioni arrivano solo dall’esponente!

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato

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Funzione 1: Esponente Polinomiale

$$f(x) = e^{x^2 – 1} – 1$$

Esercizio 1: Dominio

Domanda: Qual è il dominio della funzione $f(x) = e^{x^2 – 1} – 1$?

Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: L’esponenziale è definito ovunque il suo esponente è definito.
• Esponente: $x^2 – 1$ è un polinomio, definito per ogni $x$ reale.
• Conclusione: $D = \mathbb{R}$.

Esercizio 2: Intersezioni con gli Assi

Domanda: Trova i punti di intersezione con gli assi.

Risposta Corretta: Asse y: $(0, e^{-1}-1)$; Asse x: $(\pm 1, 0)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Asse y ($x=0$): $y = e^{0^2 – 1} – 1 = e^{-1} – 1 = \frac{1}{e} – 1$.
• Asse x ($y=0$): $e^{x^2 – 1} – 1 = 0 \rightarrow e^{x^2 – 1} = 1$.
• Risoluzione: Ricordando che $1 = e^0$, uguagliamo gli esponenti:$x^2 – 1 = 0 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = \pm 1$.
• Punti: $(1, 0)$ e $(-1, 0)$.

Esercizio 3: Studio del Segno

Domanda: Dove la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?

Risposta Corretta: $x < -1 \lor x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Disequazione: $e^{x^2 – 1} – 1 > 0 \rightarrow e^{x^2 – 1} > 1$.
• Esponenti: $e^{x^2 – 1} > e^0$. Poiché la base $e > 1$, manteniamo il verso.$x^2 – 1 > 0$.
• Soluzione: Valori esterni alle radici. $x < -1 \lor x > 1$.

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Funzione 2: Esponente Fratto

$$f(x) = e^{\frac{x+1}{x}} – e$$

Esercizio 4: Dominio

Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = e^{\frac{x+1}{x}} – e$?

Risposta Corretta: $x \ne 0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Condizione: L’unica restrizione è nell’esponente, che è una frazione. Il denominatore non deve essere nullo.
• Calcolo: $x \ne 0$.
• Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Esercizio 5: Intersezioni con l’Asse X

Domanda: Trova gli zeri della funzione (Asse y non esiste per C.E.).

Risposta Corretta: Nessuna intersezione ($x=0$ non acc.)

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Equazione: $e^{\frac{x+1}{x}} – e = 0 \rightarrow e^{\frac{x+1}{x}} = e^1$.
• Uguaglianza Esponenti: $\frac{x+1}{x} = 1$.
• Risoluzione: $x + 1 = x \rightarrow 1 = 0$.
• Conclusione: Equazione impossibile. La funzione non tocca mai l’asse x.

Esercizio 6: Studio del Segno

Domanda: Dove la funzione è positiva?

Risposta Corretta: $x > 0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Disequazione: $e^{\frac{x+1}{x}} > e^1$.
• Esponenti: $\frac{x+1}{x} > 1 \rightarrow \frac{x+1}{x} – 1 > 0$.
• Calcolo: $\frac{x + 1 – x}{x} > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0$.
• Soluzione: Una frazione con numeratore positivo (1) è positiva quando il denominatore è positivo.$x > 0$.

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Funzione 3: Esponente Irrazionale

$$f(x) = 4^{\sqrt{x}} – 16$$

Esercizio 7: Dominio

Domanda: Determina il dominio di $f(x) = 4^{\sqrt{x}} – 16$.

Risposta Corretta: $x \ge 0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Condizione: L’esponente contiene una radice quadrata. Il radicando deve essere non negativo.
• Calcolo: $x \ge 0$.

Esercizio 8: Intersezioni con l’Asse X

Domanda: Quali sono gli zeri della funzione?

Risposta Corretta: $x = 4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Equazione: $4^{\sqrt{x}} – 16 = 0 \rightarrow 4^{\sqrt{x}} = 16$.
• Base Comune: $16 = 4^2$.$4^{\sqrt{x}} = 4^2 \rightarrow \sqrt{x} = 2$.
• Risoluzione: Eleviamo al quadrato. $x = 4$. (Accettabile nel dominio $x \ge 0$).

Esercizio 9: Studio del Segno

Domanda: In quale intervallo la funzione è positiva?

Risposta Corretta: $x > 4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Disequazione: $4^{\sqrt{x}} > 16 \rightarrow 4^{\sqrt{x}} > 4^2$.
• Esponenti: $\sqrt{x} > 2$.
• Risoluzione: $x > 4$.

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Funzione 4: Esponente con Valore Assoluto

$$f(x) = e^{|x – 2|} – e$$

Esercizio 10: Dominio

Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = e^{|x – 2|} – e$?

Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Analisi: Il valore assoluto è definito ovunque, così come l’esponenziale.
• Conclusione: $D = \mathbb{R}$.

Esercizio 11: Intersezioni con l’Asse X

Domanda: Trova gli zeri della funzione.

Risposta Corretta: $x = 3; x = 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-11):

• Equazione: $e^{|x – 2|} = e^1$.
• Uguaglianza Esponenti: $|x – 2| = 1$.
• Sdoppiamento Modulo:
  1. $x – 2 = 1 \rightarrow x = 3$.
  2. $x – 2 = -1 \rightarrow x = 1$.
• Punti: $(3, 0)$ e $(1, 0)$.

Esercizio 12: Studio del Segno

Domanda: Risolvi la disequazione $f(x) > 0$.

Risposta Corretta: $x < 1 \lor x > 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-12):

• Disequazione: $e^{|x – 2|} > e^1$.
• Esponenti: $|x – 2| > 1$.
• Proprietà Modulo:
  • $x – 2 < -1 \rightarrow x < 1$.
  • $x – 2 > 1 \rightarrow x > 3$.
• Soluzione: $x < 1 \lor x > 3$.