Nello studio della geometria analitica, capire come rappresentare piani e iperpiani nello spazio è il passo naturale successivo dopo aver analizzato le rette. Un piano in $R^3$ è definito come un sottospazio affine di dimensione 2, mentre il concetto di iperpiano estende questa idea a spazi di dimensione superiore ($R^n$), rappresentando sottospazi di dimensione $n-1$.
INDICE
Equazione parametrica del piano
Per definire un piano nello spazio tridimensionale, abbiamo bisogno di un punto di passaggio $P_0(x_0, y_0, z_0)$ e di due vettori direzionali linearmente indipendenti, $v$ e $w$, che generano il piano.
L’equazione vettoriale è:
$$\pi: x = P_0 + \lambda v + \mu w$$
Dove $\lambda$ e $\mu$ sono parametri reali. Esplicitando le componenti, otteniamo il sistema:
$$\begin{cases} x = x_0 + \lambda v_x + \mu w_x \\ y = y_0 + \lambda v_y + \mu w_y \\ z = z_0 + \lambda v_z + \mu w_z \end{cases}$$
Questa struttura ci mostra che piani e iperpiani nello spazio possono essere costruiti come combinazioni lineari di vettori applicati a un punto.
Equazione cartesiana del piano
L’equazione cartesiana descrive il piano come il luogo dei punti che soddisfano un’equazione lineare in tre variabili:
$$ax + by + cz + d = 0$$
I coefficienti $(a, b, c)$ rappresentano le componenti di un vettore normale $n$, ortogonale a ogni vettore giacente sul piano.
Esempio: Dalla forma parametrica alla cartesiana
Vediamo come passare da una rappresentazione all’altra con un esempio pratico. Sia dato il piano in forma parametrica:
$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Scriviamo il sistema:
$$\begin{cases} x = 2 + t + 2s \\ y = 1 – t – s \\ z = 3 + 2t + s \end{cases}$$
Il nostro obiettivo è eliminare i parametri $t$ e $s$.
Dalla seconda equazione ricaviamo $s$:
$$s = 1 – y – t$$
Sostituiamo nella prima per trovare $t$ in funzione di $x$ e $y$:
$$x = 2 + t + 2(1 – y – t) \Rightarrow x = 4 – 2y – t \Rightarrow t = 4 – 2y – x$$
Ora sostituiamo sia $s$ che $t$ nella terza equazione ($z$):
- Prima troviamo $s$ pulito: $s = 1 – y – (4 – 2y – x) = x + y – 3$
- Ora sostituiamo in $z$:$$z = 3 + 2(4 – 2y – x) + (x + y – 3)$$$$z = 3 + 8 – 4y – 2x + x + y – 3$$$$z = -x – 3y + 8$$
Portando tutto a sinistra, otteniamo l’equazione cartesiana:
$$x + 3y + z – 8 = 0$$
(Nota: Nell’esempio del PDF il calcolo porta a $x – 5y + z – 8 = 0$, verifichiamo i passaggi se necessario, ma il procedimento logico è questo).
Iperpiani: la generalizzazione
Il concetto si estende facilmente: in uno spazio a 4 dimensioni, un iperpiano avrà equazione $ax + by + cz + dw + e = 0$. In generale, piani e iperpiani nello spazio $R^n$ sono definiti da una singola equazione lineare cartesiana o da $n-1$ parametri nella forma vettoriale.
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