Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Secondo Grado

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Secondo Grado, che ti permetteranno di prepararti al quiz dedicato [(Nota per te: qui puoi inserire il link al quiz se l’articolo è visto prima, o semplicemente “presenti nel quiz correlato”)].

Ripasso: Come Risolvere le Disequazioni di Secondo Grado

Risolvere una disequazione di secondo grado (es. $ax^2 + bx + c > 0$) non è come risolvere un’equazione. Non basta trovare le “x”, ma bisogna trovare l’intervallo di valori per cui la disequazione è vera.

Il metodo più rapido ed efficace è il Metodo della Parabola.

1. L’Equazione Associata

Si considera la funzione $y = ax^2 + bx + c$, che sul piano cartesiano è una parabola. Risolvere la disequazione (es. $> 0$) significa trovare per quali $x$ la parabola si trova sopra l’asse delle ascisse (cioè $y > 0$).

Per farlo, dobbiamo prima trovare dove la parabola interseca l’asse $x$. Troviamo quindi le soluzioni (chiamate $x_1$ e $x_2$) dell’equazione associata: $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Studio del $\Delta$ (Discriminante)

Calcoliamo il $\Delta = b^2 – 4ac$ dell’equazione associata:

• $\Delta > 0$: La parabola interseca l’asse in due punti distinti ($x_1$ e $x_2$).
• $\Delta = 0$: La parabola tocca l’asse in un solo punto ($x_1 = x_2$).
• $\Delta < 0$: La parabola non tocca mai l’asse $x$.

3. Studio di $a$ (Concavità)

Guardiamo il coefficiente $a$:

• $a > 0$: La parabola ha la concavità verso l’alto (sorride 🙂).
• $a < 0$: La parabola ha la concavità verso il basso (è triste 🙁).

4. La Regola (per $a > 0$)

Per semplificare, si consiglia di girare la disequazione affinché $a$ sia sempre positivo (cambiando segno e verso, se necessario).

Se $a > 0$, la parabola “sorride”. A questo punto, basta guardare il $\Delta$ e la richiesta:

• Caso $\Delta > 0$ (Due intersezioni $x_1$ e $x_2$):
  • Se cerchi $> 0$ (sopra l’asse): la soluzione è all’esterno. Valori Esterni: $x < x_1 \lor x > x_2$.
  • Se cerchi $< 0$ (sotto l’asse): la soluzione è all’interno. Valori Interni: $x_1 < x < x_2$.
• Caso $\Delta = 0$ (Un punto di tangenza $x_1$):
  • Se cerchi $> 0$: È sempre vera, tranne nel punto $x_1$. Soluzione: $\forall x \neq x_1$.
  • Se cerchi $\ge 0$: È Sempre Vera.
  • Se cerchi $< 0$: È Mai Vera (Impossibile).
  • Se cerchi $\le 0$: È vera solo nel punto $x_1$. Soluzione: $x = x_1$.
• Caso $\Delta < 0$ (Nessuna intersezione):
  • La parabola (che sorride) è tutta sopra l’asse $x$.
  • Se cerchi $> 0$: È Sempre Vera.
  • Se cerchi $< 0$: È Mai Vera (Impossibile).

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Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Secondo Grado

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Casi Standard $\Delta > 0$)

Esercizio 1: $\Delta > 0$, $a > 0$, Richiesta $> 0$ (Valori Esterni)

Domanda: Risolvi $x^2 – 7x + 10 > 0$.

Risposta Corretta: $x < 2 \lor x > 5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Parabola: $y = x^2 – 7x + 10$. La concavità è verso l’alto ($a=1 > 0$).
• Equazione Associata: $x^2 – 7x + 10 = 0$.
• Calcola $\Delta$: $\Delta = (-7)^2 – 4(1)(10) = 49 – 40 = 9$.
• Soluzioni (Radici): $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$.
  • $x_1 = (7-3)/2 = 2$
  • $x_2 = (7+3)/2 = 5$
• Analisi: La parabola sorridente interseca l’asse in $x=2$ e $x=5$.
• Richiesta: Cerchiamo dove è $> 0$ (sopra l’asse). Questo avviene all’esterno delle radici.
• Soluzione: $x < 2 \lor x > 5$.

Esercizio 2: $\Delta > 0$, $a > 0$, Richiesta $< 0$ (Valori Interni)

Domanda: Risolvi $x^2 + 2x – 8 < 0$.

Risposta Corretta: $-4 < x < 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Parabola: $y = x^2 + 2x – 8$. Concavità verso l’alto ($a=1 > 0$).
• Equazione Associata: $x^2 + 2x – 8 = 0$.
• Calcola $\Delta/4$ ($b$ pari): $k=1$. $\Delta/4 = (1)^2 – (1)(-8) = 1 + 8 = 9$.
• Soluzioni (Radici): $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{1} = -1 \pm 3$.
  • $x_1 = -1 – 3 = -4$
  • $x_2 = -1 + 3 = 2$
• Analisi: La parabola sorridente interseca l’asse in $x=-4$ e $x=2$.
• Richiesta: Cerchiamo dove è $< 0$ (sotto l’asse). Questo avviene all’interno delle radici.
• Soluzione: $-4 < x < 2$.

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Livello Intermedio (Casi $\Delta = 0$) – Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Secondo Grado

Esercizio 3: $\Delta = 0$, Richiesta $\ge 0$

Domanda: Risolvi $x^2 – 10x + 25 \ge 0$.

Risposta Corretta: Sempre Vera (Per ogni $x$ reale)

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Parabola: $y = x^2 – 10x + 25$. Concavità verso l’alto ($a=1 > 0$).
• Equazione Associata: $x^2 – 10x + 25 = 0$. Riconosciamo un quadrato di binomio: $(x-5)^2 = 0$.
• Calcola $\Delta$: $\Delta = (-10)^2 – 4(1)(25) = 100 – 100 = 0$.
• Soluzione (Radice): $x_1 = x_2 = 5$.
• Analisi: La parabola sorridente tocca l’asse in un solo punto, $x=5$. Non va mai sotto l’asse.
• Richiesta: Cerchiamo dove è $\ge 0$ (sopra o coincidente con l’asse). La parabola è sempre sopra l’asse, tranne in $x=5$ dove è uguale a zero.
• Soluzione: La disequazione è vera per ogni $x$ appartenente ai numeri reali.

Esercizio 4: $\Delta = 0$, Richiesta $> 0$

Domanda: Risolvi $x^2 – 10x + 25 > 0$.

Risposta Corretta: $\forall x \neq 5$ (Vera tranne che per $x=5$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Parabola: Come Esercizio 3, la parabola tocca l’asse in $x=5$.
• Richiesta: Cerchiamo dove è strettamente $> 0$ (solo sopra l’asse, non uguale).
• Analisi: La parabola è sempre sopra l’asse ($> 0$), tranne nel punto $x=5$, dove è uguale a 0.
• Soluzione: La disequazione è vera per tutti i numeri reali, escluso il punto in cui vale zero. $\forall x \neq 5$.

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Livello Avanzato (Casi $\Delta < 0$ e $a < 0$)

Esercizio 5: $\Delta < 0$, Richiesta $> 0$

Domanda: Risolvi $x^2 + 2x + 5 > 0$.

Risposta Corretta: Sempre Vera (Per ogni $x$ reale)

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Parabola: $y = x^2 + 2x + 5$. Concavità verso l’alto ($a=1 > 0$).
• Equazione Associata: $x^2 + 2x + 5 = 0$.
• Calcola $\Delta/4$ ($b$ pari): $k=1$. $\Delta/4 = (1)^2 – (1)(5) = 1 – 5 = -4$.
• Analisi $\Delta$: $\Delta < 0$. L’equazione non ha soluzioni.
• Analisi: La parabola (sorridente, $a>0$) non tocca MAI l’asse $x$. Ciò significa che si trova completamente sopra l’asse $x$.
• Richiesta: Cerchiamo dove è $> 0$.
• Soluzione: Poiché è sempre sopra l’asse, è sempre positiva. La soluzione è $\forall x \in \mathbb{R}$.

Esercizio 6: Caso $a < 0$ (Metodo del Cambio Segno)

Domanda: Risolvi $-2x^2 + 7x – 3 \ge 0$.

Risposta Corretta: $1/2 \le x \le 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Analisi $a$: Qui $a = -2 < 0$. La parabola è triste 🙁. Per evitare confusione, cambiamo tutti i segni e invertiamo il verso della disequazione.
• Cambio Segno: Moltiplichiamo per -1:$(-2x^2 + 7x – 3) \cdot (-1) \le 0 \cdot (-1)$$2x^2 – 7x + 3 \le 0$.
• Nuova Disequazione: Ora risolviamo $2x^2 – 7x + 3 \le 0$ ($a > 0$, parabola sorridente 🙂).
• Equazione Associata: $2x^2 – 7x + 3 = 0$.
• Calcola $\Delta$: $\Delta = (-7)^2 – 4(2)(3) = 49 – 24 = 25$.
• Soluzioni (Radici): $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$.
  • $x_1 = (7-5)/4 = 2/4 = 1/2$
  • $x_2 = (7+5)/4 = 12/4 = 3$
• Analisi: La parabola sorridente interseca l’asse in $x=1/2$ e $x=3$.
• Richiesta (Nuova): Cerchiamo dove è $\le 0$ (sotto l’asse o coincidente). Questo avviene per Valori Interni.
• Soluzione: $1/2 \le x \le 3$.

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Livello Molto Avanzato (Nascoste e Frazionarie) – Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Secondo Grado

Esercizio 7: Nascosta (Prodotti Notevoli)

Domanda: Risolvi $(x+3)^2 < 2x + 11$.

Risposta Corretta: $-2 < x < -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Sviluppa Calcoli: Dobbiamo portarla alla forma $ax^2+bx+c < 0$.
• $x^2 + 6x + 9 < 2x + 11$.
• Porta in Forma Normale: $x^2 + 6x – 2x + 9 – 11 < 0$.
• $x^2 + 4x – 2 < 0$.
• Analisi: Parabola sorridente ($a=1 > 0$).
• Equazione Associata: $x^2 + 4x – 2 = 0$.
• Calcola $\Delta/4$ ($b$ pari): $k=2$. $\Delta/4 = (2)^2 – (1)(-2) = 4 + 2 = 6$. (Non è un quadrato perfetto).
• Soluzioni (Radici): $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{1} = -2 \pm \sqrt{6}$.
  • $x_1 = -2 – \sqrt{6} \approx -4.45$
  • $x_2 = -2 + \sqrt{6} \approx 0.45$
• (Errore mio: volevo risposte intere. Riformulo la domanda per un risultato più pulito)

Esercizio 7 (Riformulato Correttamente): Risolvi $(x+3)^2 < 4x + 12$.

Risposta Corretta: $-1 < x < 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Sviluppa Calcoli: $x^2 + 6x + 9 < 4x + 12$.
• Porta in Forma Normale: $x^2 + 6x – 4x + 9 – 12 < 0$.
• $x^2 + 2x – 3 < 0$.
• Equazione Associata: $x^2 + 2x – 3 = 0$.
• Calcola $\Delta/4$: $k=1$. $\Delta/4 = (1)^2 – (1)(-3) = 1 + 3 = 4$.
• Soluzioni (Radici): $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4}}{1} = -1 \pm 2$.
  • $x_1 = -1 – 2 = -3$
  • $x_2 = -1 + 2 = 1$
• Analisi: Parabola sorridente ($a>0$) con radici $x=-3$ e $x=1$.
• Richiesta: Cerchiamo dove è $< 0$. Per Valori Interni.
• Soluzione: $-3 < x < 1$.
• (Ancora un errore di calcolo mio nella riformulazione. Scusami, la rifaccio da zero per garantire la correttezza)

Esercizio 7 (Riformulato Definitivo): Risolvi $(x+1)^2 > 2x + 10$.

Risposta Corretta: $x < -3 \lor x > 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Sviluppa Calcoli: $x^2 + 2x + 1 > 2x + 10$.
• Sposta Termini: $x^2 + 2x – 2x + 1 – 10 > 0$.
• Riduci: $x^2 – 9 > 0$.
• Analisi: Questa è una disequazione incompleta pura.
• Equazione Associata: $x^2 – 9 = 0 \rightarrow x^2 = 9 \rightarrow x = \pm 3$.
• Analisi: Parabola sorridente ($a=1 > 0$) con radici $x=-3$ e $x=3$.
• Richiesta: Cerchiamo dove è $> 0$. Per Valori Esterni.
• Soluzione: $x < -3 \lor x > 3$.

Esercizio 8: Disequazione Frazionaria

Domanda: Risolvi $\frac{x^2 – 4}{x+1} > 0$.

Risposta Corretta: $-2 < x < -1 \lor x > 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Tipo: Disequazione Frazionaria. Dobbiamo studiare il segno del Numeratore (N) e del Denominatore (D) separatamente, e poi combinarli nel grafico dei segni.
• Studio N > 0: $x^2 – 4 > 0$.
  • Equazione associata: $x^2 – 4 = 0 \rightarrow x = \pm 2$.
  • Parabola sorridente, $> 0$ per Valori Esterni: $x < -2 \lor x > 2$.
• Studio D > 0: $x+1 > 0$.
  • Disequazione di primo grado: $x > -1$.
• Grafico dei Segni: Costruiamo il grafico con i tre capisaldi (-2, -1, 2).
  • Linea N ($x^2-4$): + + + (-2) - - - (-1) - - - (2) + + +
  • Linea D ($x+1$): - - - (-2) - - - (-1) + + + (2) + + +
  • Linea Frazione (N/D): (Pos/Neg)=NEG | (Neg/Neg)=POS | (Neg/Pos)=NEG | (Pos/Pos)=POS
• Richiesta: Cerchiamo dove la frazione è $> 0$ (Positiva).
• Soluzione: Negli intervalli dove il segno finale è “+”.
• $S = \{-2 < x < -1 \lor x > 2\}$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Biquadratiche e Sistemi)

Esercizio 9: Disequazione Biquadratica

Domanda: Risolvi $x^4 – 5x^2 + 4 < 0$.

Risposta Corretta: $-2 < x < -1 \lor 1 < x < 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Tipo: Biquadratica. Usiamo la sostituzione $y = x^2$.
• Sostituzione: La disequazione diventa $y^2 – 5y + 4 < 0$.
• Risolvi in $y$: Risolviamo la disequazione di secondo grado in $y$.
  • Equazione associata: $y^2 – 5y + 4 = 0$.
  • Soluzioni: $y_1=1, y_2=4$.
  • Parabola sorridente, richiesta $< 0$ (Valori Interni).
  • La soluzione in $y$ è $1 < y < 4$.
• Contro-Sostituzione: Sostituiamo $y$ con $x^2$: $1 < x^2 < 4$.
• Analisi: Questo è un sistema di disequazioni:
  1. $x^2 > 1$
  2. $x^2 < 4$
• Risolvi 1 ($x^2 > 1$): $x^2 – 1 > 0$. Radici $\pm 1$. Valori Esterni: $x < -1 \lor x > 1$.
• Risolvi 2 ($x^2 < 4$): $x^2 – 4 < 0$. Radici $\pm 2$. Valori Interni: $-2 < x < 2$.
• Grafico del Sistema: Dobbiamo trovare le $x$ che soddisfano entrambe le condizioni.
  • Soluzione 1: +++ (-2) +++ (-1) --- (1) +++ (2) +++
  • Soluzione 2: --- (-2) +++ (-1) +++ (1) +++ (2) ---
  • Intersezione: La soluzione è dove entrambe sono +++.
• Soluzione: $-2 < x < -1 \lor 1 < x < 2$.

Esercizio 10: Sistema di Disequazioni

Domanda: Risolvi il sistema: $\begin{cases} x^2 – 9 \le 0 \\ x – 1 > 0 \end{cases}$

Risposta Corretta: $1 < x \le 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Tipo: Sistema. Dobbiamo trovare gli intervalli in cui entrambe le disequazioni sono vere.
• Disequazione 1 (D1): $x^2 – 9 \le 0$.
  • Equazione associata: $x^2 – 9 = 0 \rightarrow x = \pm 3$.
  • Parabola sorridente, richiesta $\le 0$ (Valori Interni).
  • Soluzione D1: $-3 \le x \le 3$.
• Disequazione 2 (D2): $x – 1 > 0$.
  • Disequazione di primo grado.
  • Soluzione D2: $x > 1$.
• Grafico di Sistema: Cerchiamo l’intervallo in cui le soluzioni si sovrappongono.
  • Capisaldi: -3, 1, 3.
  • Soluzione D1: --- [-3] ++++++++++ [1] ++++++++++ [3] ---
  • Soluzione D2: --- [-3] ---------- (1) ++++++++++ [3] +++
• Analisi Grafico: Entrambe le linee sono “piene” (vere) solo tra 1 (escluso) e 3 (incluso).
• Soluzione: $1 < x \le 3$.

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